Vídeo: Introduzindo Crescimento e Decrescimento Exponencial

Introduzindo e trabalhando com o formato geral de equações representando crescimento e decrescimento exponencial (𝑦 = [quantidade inicial] ∗ [multiplicador]^𝑥). Também aprendemos a reconhecê-lo em tabelas de valores e gráficos e a explorar vários valores do multiplicador.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos analisar o crescimento e o decrescimento exponencial. Antes de assistir, você já deve estar familiarizado com relações lineares e crescimento linear. Também aprenderemos a reconhecer o crescimento e o decrescimento exponencial em tabelas de valores, equações e descrições. Vamos começar examinando um exemplo de um modelo de crescimento constante ou uma função linear.

Todos os dias, Anna faz duas cadeiras. Para começar, ela não fez cadeiras. Depois de um dia, ela fez duas cadeiras. Depois de dois dias, são quatro. Três dias são seis; e assim por diante. Isso é o que chamamos de modelo de crescimento constante. Cada vez que adicionamos um ao número de dias que passaram, adicionamos dois ao número de cadeiras que a Anna criou. E quer passemos do dia um para o dia dois ou do quinhentos para o quinhentos e um, o número de cadeiras extras será sempre de duas por um dia extra.

Agora podemos usar os dias como as coordenadas 𝑥 e o número total de cadeiras como as coordenadas 𝑦, e podemos traçar um gráfico. E se juntarmos os pontos, pareceria algo assim. A equação desta reta é 𝑦 igual a dois 𝑥. Ou vou escrever como 𝑦 é igual a dois 𝑥 mais zero no momento. Agora o multiplicador 𝑥 nos diz a inclinação desse gráfico. E isso significa que se eu aumentar a coordenada 𝑥 em um, então a coordenada 𝑦 correspondente aumentaria em dois. A inclinação é dois. E o zero mais no final simplesmente nos diz onde esta reta corta o eixo 𝑦. O fato de ser zero nos diz que quando 𝑥 é zero, 𝑦 é igual a zero também.

Agora, o fato de ser uma linha reta significa que obtemos o mesmo aumento em 𝑦 para o mesmo aumento em 𝑥, independentemente do local na reta que você procura. Então, se estamos falando aqui ou aqui ou aqui ou aqui ou aqui, a inclinação é sempre a mesma e a taxa de aumento é sempre a mesma. Agora, o ponto principal a ser feito neste estágio é que esse é um crescimento constante ou crescimento linear. Este não é um crescimento exponencial. Vamos ver isso em seguida. Vamos pensar em uma situação diferente agora.

Em um laboratório, uma placa de petri contém quinhentas bactérias e elas estão se reproduzindo. A população cresce cinquenta por cento a cada hora. Agora você pode ver uma tabela de valores mostrando quantas bactérias existem nas primeiras cinco horas. E arredondamos esses números na segunda linha, o número de bactérias, para o número inteiro mais próximo. Olhando para os números na tabela, você pode ver que a cada hora aumentamos a população de bactérias em cinquenta por cento. Apesar de estarmos aplicando o mesmo percentual de aumento a cada hora, mais cinquenta por cento, porque temos mais e mais bactérias ao longo do tempo, estamos adicionando cinquenta por cento de mais e mais. Os incrementos por hora estão ficando maiores. É uma taxa crescente de aumento. E chamamos esse tipo de situação de crescimento exponencial.

Agora, para descobrir quantas bactérias teremos na próxima hora, o que temos a fazer é multiplicar o número de bactérias que tivemos na última hora em um vírgula cinco. Por exemplo, indo da primeira hora à segunda hora, começamos com setecentas e cinquenta bactérias; enquanto na hora dois, teremos cem por cento de nossas bactérias originais e um extra de cinquenta por cento delas. Então a quantidade de bactérias que vamos ter é cento e cinquenta por cento de setecentos e cinquenta. Portanto, cento e cinquenta por cento significa cento e cinquenta dividido por cem. E isso é um vírgula cinco. Portanto, nosso multiplicador para calcular cento e cinquenta por cento de algo é um vírgula cinco.

Então, um vírgula cinco é a nossa proporção comum. A cada hora, estamos multiplicando o número de bactérias em um vírgula cinco para descobrir quantas bactérias teremos na próxima hora. Isso faz disso uma progressão geométrica. Então, vamos começar na hora zero com quinhentas bactérias. Uma hora depois, teremos quinhentas vezes um vírgula cinco bactérias. Uma hora depois, vamos aproveitar o valor que tivemos depois da primeira hora, e multiplicaremos esse valor por um vírgula cinco. E uma hora depois, multiplicamos esse número por um vírgula cinco e assim por diante. Bem, isso significa que depois de uma hora, multiplicaremos quinhentos por um vírgula cinco, o que podemos escrever assim. Quinhentos vezes um vírgula cinco elevado a um. Depois de duas horas, multiplicaremos um vírgula cinco duas vezes, o que podemos escrever assim. Quinhentos vezes um vírgula cinco ao quadrado. Depois de três horas, serão quinhentos vezes um vírgula cinco ao cubo. E depois de quatro horas, serão quinhentos vezes um vírgula cinco elevado a quatro.

Agora, este primeiro número aqui, poderíamos dizer que é apenas uma vez. Bem, um vírgula cinco elevado a zero é apenas um. Então, outra maneira de escrever isso seria quinhentos vezes um vírgula cinco elevado a zero. Então, o padrão é: depois de zero horas, são quinhentos vezes um vírgula cinco elevado a zero. Depois de uma hora, são quinhentos vezes um vírgula cinco elevado a um. Depois de duas horas, são quinhentos vezes um vírgula cinco elevado a dois. E assim por diante; três horas, é elevado a três; e quatro horas, é elevado a quatro.

Agora podemos resumir isso em uma fórmula. Se deixarmos 𝑥 ser o número de horas que passaram, então o número de bactérias que teremos na placa de petri será quinhentas vezes um vírgula cinco elevado a 𝑥. Lembre-se, os quinhentos eram a quantidade inicial de bactérias, e o um vírgula cinco é o nosso multiplicador horário. Porque nós estávamos adicionando cinquenta por cento, temos que multiplicar por um vírgula cinco. Esse tipo de fórmula é o que chamamos de crescimento exponencial. E se traçamos isso como um gráfico, é assim que ele se parece.

Observe como, na primeira hora, o número de bactérias aumenta em duzentos e cinquenta. Mas entre a quarta e a quinta horas, embora ainda estejamos aumentando a população em cinquenta por cento, agora são mais de mil duzentos e sessenta e seis, para o número inteiro mais próximo, de bactérias. A taxa de aumento está aumentando. A curva está ficando mais íngreme e mais íngreme. Agora, comparando isso com o modelo de taxa de crescimento constante, você pode ver que a curva do crescimento exponencial está ficando cada vez mais longe do crescimento constante. Para esta reta aqui, estamos adicionando as duzentas e cinquenta bactérias extras a cada hora, enquanto com esta curva aqui, estamos adicionando um extra de cinquenta por cento da população, independentemente do que começou no início daquela hora.

Portanto, aqui está uma fórmula geral para crescimento exponencial. 𝑦 é igual à quantidade inicial que tínhamos vezes o multiplicador da potência, ou para o expoente, de 𝑥. É daí que vem o nome “crescimento exponencial”, porque é o expoente de 𝑥 na fórmula. Então, esse expoente 𝑥 nos informa quantas vezes estamos multiplicando o valor inicial pelo multiplicador. E também é importante notar que quando 𝑥 é igual a zero, o multiplicador para a potência de zero é um. Então acabamos com o nosso montante inicial. Outra consequência interessante disso é que, se nosso multiplicador for maior do que um, obteremos um crescimento exponencial. Os valores 𝑦 aumentam cada vez que à medida de 𝑥 se tornam maiores e maiores. Adicionaremos a mesma porcentagem de quantias maiores para cada aumento correspondente em 𝑥. Assim, os incrementos propriamente ditos serão maiores. Quanto maior o multiplicador, mais rápida a curva também se move para cima.

E se o multiplicador é igual a um, então temos apenas uma linha reta constante. Então, não importa quantas vezes eu multiplique dois por um, ainda estou recebendo dois. Então, para essa equação, tenho uma quantidade inicial de dois e meu multiplicador é um. Mas assim que meu multiplicador fica maior que um, então eu tenho uma curva de crescimento exponencial. E quanto maior o multiplicador, mais rápido a curva se move para cima. Quando os multiplicadores são maiores, as coordenadas 𝑦 ficam muito grandes muito rapidamente. Isso também vale a pena ressaltar; quando o multiplicador está entre zero e um, obtemos um decrescimento exponencial. Estamos efetivamente reduzindo a coordenada 𝑦 por uma porcentagem fixa a cada vez que 𝑥 aumenta em um determinado valor.

Também é importante notar que com o decrescimento exponencial, estamos diminuindo pela mesma porcentagem de cada vez. Então, teremos decrescimentos cada vez menores. Nós nunca chegaremos a zero se começarmos com um número positivo. E nós também nunca obteremos uma resposta negativa. A coordenada 𝑦 fica mais próxima e mais próxima de zero. Agora, esse efeito, a curva se aproximando cada vez mais do eixo 𝑥, mas nunca atingindo-o, é chamado de assintótica. Então, aqui, o eixo 𝑥 é uma assíntota. É a reta que a curva está se aproximando cada vez mais, mas nunca a toca.

Vamos apenas tirar um momento para resumir o que aprendemos então. A fórmula geral para o crescimento ou decrescimento exponencial é neste formato. 𝑦 é igual a uma quantidade inicial multiplicada por um multiplicador à potência ou ao expoente de 𝑥. E o valor do multiplicador é fundamental para determinar se será constante ou se teremos crescimento ou decrescimento exponencial. Se o multiplicador estiver entre zero e um, obtemos decrescimento exponencial. A coordenada 𝑦 fica mais próxima e mais próxima de zero, sem nunca chegar lá. Se o multiplicador for igual a um, não teremos crescimento ou decrescimento exponencial. Acabamos de obter um valor constante, porque estamos multiplicando nosso valor inicial por um monte de vezes. E se o nosso multiplicador for maior que um, temos um crescimento exponencial. A coordenada 𝑦 fica maior e maior a uma taxa crescente.

Agora, vamos tentar reconhecer algum crescimento e decrescimento exponencial de algumas tabelas de valores, descrições e algumas equações. Aqui, temos valores de 𝑥 zero, um, dois e três. E os valores 𝑦 correspondentes são dez, vinte, quarenta e oitenta. Agora, os incrementos à medida que eu aumento 𝑥 por um estão ficando maiores. Portanto, há crescimento e há crescimento crescente. Mas o fator importante aqui é que à medida que eu aumento 𝑥 por um, eu sempre duplico minha coordenada 𝑦. Eu tenho uma razão comum de dois entre esses termos. Isso faz com que seja uma progressão geométrica.

Agora, o importante é que quando 𝑥 é um, eu multipliquei esse valor inicial de 𝑦 por dois uma vez. Quando 𝑥 é dois, multipliquei o valor inicial de 𝑦 por dois duas vezes. E quando 𝑥 é três, eu multipliquei o valor inicial de 𝑦 por dois três vezes. Então, eu tenho uma fórmula que se parece com isso. 𝑦 é igual a dez, o montante inicial, vezes dois, esse multiplicador, elevado a 𝑥. Isso torna o crescimento exponencial. A fórmula está no formato de crescimento exponencial. Temos uma quantidade inicial de dez e um multiplicador maior que um. Então, nossa resposta é: é crescimento exponencial.

O próximo exemplo, nós temos as mesmas coordenadas 𝑥: zero, um, dois e três. E as correspondentes coordenadas 𝑦 são: dez, vinte, sessenta e duzentos e quarenta. Agora as coordenadas 𝑦 estão ficando maiores. E elas não estão aumentando a uma taxa constante; elas estão ficando maiores a uma taxa crescente. Por isso não é uma relação linear. Potencialmente, poderia ser um crescimento exponencial. Então temos crescimento crescente cada vez mais, mas não temos a mesma razão comum. Se estamos indo de 𝑥 igual a zero a 𝑥 é igual a um, estamos dobrando a coordenada 𝑦. E entre 𝑥 igual a um e 𝑥 igual a dois, estamos triplicando a coordenada 𝑦. E entre 𝑥 igual a dois e 𝑥 igual a três, estamos multiplicando essa coordenada 𝑦 por quatro.

Então, como não temos uma razão comum, esse formato aqui 𝑦 é igual ao valor inicial vezes algum multiplicador elevado a 𝑥, não temos um multiplicador comum. Então isso não funciona. Não é um crescimento exponencial. Agora, neste caso, temos as mesmas coordenadas 𝑥, e as coordenadas 𝑦 estão aumentando. Mas a taxa na qual as coordenadas 𝑦 estão aumentando é linear; elas estão sempre aumentando no mesmo valor: dez. Portanto, as coordenadas 𝑦 estão sempre aumentando na mesma quantidade. Os multiplicadores não são constantes; eles estão diminuindo. Então não é crescimento exponencial; é crescimento linear.

Agora, com este conjunto de dados, como nossas coordenadas 𝑥 estão aumentando em um por vez, as coordenadas 𝑦 estão diminuindo. Mas elas estão diminuindo cada vez menos. De fato, cada termo 𝑦 é metade do termo 𝑦 anterior. Agora, podemos escrever uma fórmula geral para esses números nesse formato. Temos 𝑦 igual ao nosso valor inicial de trinta e dois vezes o multiplicador da razão comum de zero vírgula cinco elevado a 𝑥 ou para o expoente 𝑥. E esse multiplicador está entre zero e um. E essa combinação de fatores nos diz que temos um decrescimento exponencial.

Um esquema de poupança paga juros a uma taxa de zero vírgula nove por cento ao ano. Isso representa crescimento linear ou exponencial?

Bem, com uma taxa de juros de zero vírgula nove por cento, não é um esquema de poupança particularmente generoso. Mas a cada ano, você terá cem por cento do que teve no ano passado mais um extra de zero vírgula nove por cento. Então, no final de um ano, você terá cem vírgula nove por cento do valor que teve no final do ano anterior. Agora lembre-se, cem vírgula nove por cento significa cem vírgula nove dividido por cem, o que significa que, para calcular uma porcentagem, temos um multiplicador de um vírgula zero zero nove. E um vírgula zero zero nove é maior que um, então esse será um crescimento exponencial.

Vamos apenas dar uma olhada na fórmula. Primeiro, precisamos definir algumas variáveis. Que 𝑥 é igual ao número de anos. Que 𝑦 é igual ao valor da conta poupança, em dólares. E seja 𝑎 o valor inicial que investimos naquela conta, em dólares. Assim, a quantidade de economia que teremos na conta, após o ano 𝑥, será nosso valor inicial 𝑎 vezes um vírgula zero zero nove, nosso multiplicador, elevado a 𝑥. E o multiplicador é maior que um. E isso significa que teremos crescimento exponencial.

Próximo então, a função exponencial 𝑦 é igual a zero vírgula sete vezes um vírgula três elevado a 𝑥 cresce ou decresce?

Bem, a questão nos diz que é uma função exponencial e também se encaixa no padrão. Nossa quantia inicial é zero vírgula sete, e nosso multiplicador é um vírgula três. E, claro, um vírgula três é maior que um, o que nos diz que temos um crescimento exponencial. Então a resposta para a pergunta é: está crescendo. Agora isso foi projetado para ser uma pergunta um pouco sorrateira. O montante inicial aqui estava entre zero e um. Mas lembre-se de que é o valor do multiplicador que é crucial para determinar se é um crescimento ou decrescimento exponencial. E o multiplicador era maior que um, então é por isso que era um crescimento exponencial.

Uma última pergunta então: 𝑦 é igual a seis elevado a 𝑥. Isso representa crescimento ou decrescimento exponencial ou linear?

Mais uma vez, essa é uma questão um tanto furtiva, porque essa fórmula não está no formato que estamos acostumados, mas podemos escrever dessa forma. Isto é o mesmo que 𝑦 é igual a um vezes seis à potência de 𝑥. Portanto, nosso valor inicial é um, e nosso multiplicador é maior que um. E segue o formato geral para nossa equação exponencial. Então, ela preenche todos os requisitos para crescimento exponencial.

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