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Vídeo da aula: Aplicações das Leis do Seno e Cosseno Mathematics • 2º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como usar as leis do cosseno e do seno para resolver problemas do mundo real.

17:52

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como usar a lei do cosseno e do seno para resolver problemas do mundo real. Como estamos nos concentrando nas aplicações dessas leis, vamos supor, neste ponto, familiaridade com as próprias leis. E não vamos explicar o básico dessas leis ou como prová-las neste vídeo.

Em primeiro lugar, um lembrete rápido do que as leis do seno e cosseno realmente são e quando elas podem ser usadas. Suponha que tenhamos um triângulo 𝐴𝐵𝐶 rotulado da seguinte maneira. Lembre -se de que a convenção é usar letras maiúsculas para representar os ângulos e usar letras minúsculas para representar os lados, com os lados sempre opostos ao ângulo da mesma letra. Nenhum dos ângulos neste triângulo são necessariamente ângulos retos. Portanto, o primeiro ponto chave que precisamos lembrar é que as leis do seno e do cosseno nos permitem calcular os comprimentos laterais e as medidas dos ângulos em triângulos não retângulos.

A lei dos senos ou a lei dos senos em primeiro lugar. Isso nos diz que, em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de cada lado e o seno de seu ângulo oposto é constante, que podemos escrever como 𝑎 sobre sen 𝐴 igual a 𝑏 sobre sen 𝐵, que é igual a 𝑐 sobre sen 𝐶. E lembre-se, as letras minúsculas representam comprimentos laterais e as letras maiúsculas representam ângulos.

Não precisamos usar todas as três partes da lei dos senos, apenas duas partes dessa igualdade. As informações necessárias para aplicar a lei dos senos são dois ângulos e seus lados opostos. Portanto, podemos reconhecer a necessidade da lei dos senos quando estamos trabalhando com pares opostos de informações.

Esta primeira versão da lei dos senos é particularmente útil ao calcular o comprimento de um lado ausente, como os lados estão nos numeradores das frações, portanto, menos rearranjos são necessários. Também temos uma versão recíproca, que é particularmente útil para calcular a medida de um ângulo. sen 𝐴 sobre 𝑎 é igual a sen 𝐵 sobre 𝑏, que é igual a sen 𝐶 sobre 𝑐. Então essa é a lei dos senos, e agora vamos considerar a lei dos cossenos ou a lei do cosseno.

A forma mais comum em que você vê isso escrito é a seguinte. 𝑎 ao quadrado é igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos dois 𝑏𝑐 cos de 𝐴. Nós o usamos para calcular o comprimento do lado, neste caso o comprimento do lado 𝑎, quando conhecemos os outros dois lados do triângulo e o ângulo incluído. Então sabemos os lados 𝑏 e 𝑐 e o ângulo 𝐴.

Também podemos reorganizar a lei do cosseno para uma forma que nos permite calcular qualquer ângulo no triângulo se conhecermos todos os três comprimentos laterais. O rearranjo é direto e dá cos de 𝐴 é igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado tudo sobre dois 𝑏𝑐. Neste caso, como dissemos, sabemos todos os três comprimentos laterais e queremos calcular um dos ângulos.

Novamente, as provas e a aplicação básica dessas leis não serão consideradas neste vídeo. Em vez disso, vamos nos concentrar na aplicação dessas leis a alguns problemas da vida real. Vamos ver nossa primeira pergunta.

Um avião percorre 800 metros ao longo da pista antes de decolar em um ângulo de 10 graus. Ele percorre mais 1.000 metros neste ângulo, como visto na figura. Calcule a distância do plano ao seu ponto inicial. Dê sua resposta para duas casas decimais.

Olhando para o diagrama, podemos ver que temos um triângulo. Queremos calcular a distância do plano do seu ponto inicial. É esse comprimento aqui, ao qual podemos nos referir como 𝑑 metros. Conhecemos o comprimento dos outros dois lados deste triângulo. São 800 metros e 1.000 metros. E usando o fato de que os ângulos em uma linha reta somam 180 graus, podemos calcular o tamanho desse ângulo aqui. São 180 graus menos 10 graus, o que equivale a 170 graus.

Como este é um triângulo não retângulo, precisamos responder a esse problema usando a lei dos senos ou a lei dos cossenos. Então, o primeiro passo é decidir qual deles precisamos. E isso dependerá da combinação específica de informações que recebemos e do que queremos calcular.

Neste triângulo, conhecemos dois lados e o ângulo incluído. E queremos calcular o terceiro lado. Lembramos então que isso significa que devemos usar a lei dos cossenos. Vamos relembrar a lei dos cossenos. É 𝑎 ao quadrado igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos dois 𝑏𝑐 cos 𝐴. Agora, não há necessidade de rotular nosso triângulo usando as letras 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Em vez disso, lembramos apenas que as letras minúsculas 𝑏 e 𝑐 representam os dois lados que conhecemos e a letra maiúscula 𝐴 representa o ângulo incluído.

Então, usando 800 e 1.000 como os dois comprimentos laterais 𝑏 e 𝑐 e 170 graus como o ângulo 𝐴, temos a equação 𝑑 ao quadrado igual a 800 ao quadrado mais 1.000 ao quadrado menos duas vezes 800 vezes 1.000 vezes cos de 170 graus. Podemos digitar isso diretamente em nossa calculadora ou pode ser uma boa ideia dividir o cálculo em alguns estágios. Em ambos os casos, chegamos a 𝑑 ao quadrado igual a 3.215.692.405.

Agora, devemos lembrar que isso é 𝑑 ao quadrado. Não é 𝑑, então não terminamos. Temos que fazer a raiz quadrada para encontrar o valor de 𝑑. É um erro muito comum esquecer de fazer isso. Resolvendo a raiz quadrada dá 𝑑 igual a 1.793,235178. A pergunta nos pede para dar nossa resposta a duas casas decimais. Então, arredondando apropriadamente, calculamos a distância do plano a partir de seu ponto inicial. São 1.793,24 metros com duas casas decimais.

Neste exemplo, recebemos um diagrama para usar. Frequentemente, esse não será o caso, e precisaremos usar informações de uma descrição escrita para desenhar nosso próprio diagrama para nos ajudar a responder à questão. Vamos agora considerar um exemplo disso.

Um navio está navegando para o sul a uma velocidade de 36 quilômetros por hora. Um iceberg está 24 graus ao nordeste. Depois de uma hora, o navio está 33 graus a sudoeste do iceberg. Encontre a distância entre o navio e o iceberg neste momento, dando a resposta para o quilômetro mais próximo.

Grande parte da habilidade envolvida nesta questão está em desenhar o diagrama. Vamos começar com uma bússola mostrando as quatro direções. Em seguida, consideraremos cada afirmação separadamente e consideraremos como representá-la. Em primeiro lugar, sabemos que o navio está navegando para o sul. Inicialmente, somos informados de que um iceberg está 24 graus ao norte do ponto de partida do navio.

Agora, diretamente a leste seria diretamente à direita do navio em nosso diagrama. 24 graus ao nordeste significam que o iceberg está em algum lugar ao longo da linha como esta. Somos informados de que, depois de uma hora, o navio está 33 graus a sudoeste do iceberg. Bem, oeste seria a direção diretamente à esquerda do nosso iceberg. E usando ângulos alternos em retas paralelas, sabemos que o ângulo formado aqui é de 24 graus.

Portanto, o ângulo total entre a horizontal e a posição para a qual o navio se moveu é de 33 graus. E agora podemos ver que temos um triângulo. Podemos calcular os ângulos do nosso triângulo. Por exemplo, esse ângulo aqui é a diferença entre 33 graus e 24 graus. São nove graus. Também poderíamos calcular esse ângulo aqui, é de 24 graus, mais o ângulo entre sul e leste, que é 90 graus, dando um total de 114 graus.

A única informação que ainda não usamos é que o navio está viajando a uma velocidade de 36 quilômetros por hora. E sabemos que leva uma hora para o navio ir de sua posição original para sua nova posição. O navio, portanto, terá percorrido 36 quilômetros neste tempo. Portanto, também sabemos o comprimento de um lado do nosso triângulo.

O que nos foi pedido para calcular é a distância entre o navio e o iceberg neste momento. Então é esse lado aqui, ao qual podemos nos referir como 𝑑 quilômetros. Agora configuramos nosso diagrama e vemos que temos um triângulo não retângulo, o que significa que vamos aplicar a lei dos senos ou a lei dos cossenos. Vamos ver a combinação específica de informações que temos.

Conhecemos um ângulo de nove graus e o lado oposto de 36 quilômetros. Também conhecemos um ângulo de 114 graus. E queremos calcular o lado oposto de 𝑑 quilômetros. Portanto, temos pares de lados e ângulos opostos, o que nos diz que devemos usar a lei dos senos para responder a essa pergunta.

Lembre -se, isso nos diz que a razão entre cada comprimento de lado, representado por letras minúsculas, e o seno de seu ângulo oposto, representado por letras maiúsculas, é constante. 𝑎 sobre sen 𝐴 é igual a 𝑏 sobre sen 𝐵, que é igual a 𝑐 sobre sen 𝐶. Precisamos usar apenas duas partes dessa razão. E não há necessidade de rotular nosso triângulo usando as letras 𝐴, 𝐵 e 𝐶, desde que estejamos claros sobre o que elas representam.

Nosso lado 𝑑 é oposto ao ângulo de 114 graus e o lado de 36 quilômetros é oposto ao ângulo de nove graus. Então nós temos 𝑑 sobre sen de 114 graus é igual a 36 sobre sen de nove graus. Podemos resolver essa equação multiplicando cada lado pelo seno de 114 graus, que é apenas um valor. E dá 𝑑 igual a 36 sen 114 graus sobre sen de nove graus. Calculando em uma calculadora, certificando-se de que nossa calculadora esteja no modo de graus e temos 210,23267.

A pergunta nos pede para dar nossa resposta ao quilômetro mais próximo. Então, arredondando apropriadamente, temos que a distância entre o navio e o iceberg neste momento é de 210 quilômetros.

Agora vimos um exemplo de uso da lei dos senos e da lei dos cossenos para calcular o comprimento do lado. Em nosso próximo exemplo, veremos como podemos aplicar a lei dos cossenos para calcular todos os ângulos ausentes em um triângulo quando sabemos seus três comprimentos laterais.

Los Angeles fica a 1,744 milhas de Chicago, Chicago está a 712 milhas de Nova York e Nova York está a 2,451 milhas de Los Angeles. Encontre os ângulos no triângulo com seus vértices como as três cidades.

Agora, embora um pouco de conhecimento da geografia dos Estados Unidos da América possa ser útil aqui, não é essencial para responder ao problema. Podemos apenas desenhar um triângulo usando os três comprimentos dados na questão. E se o nosso triângulo estiver de cabeça para baixo, não é o fim do mundo. O triângulo deve se parecer um pouco com isso, e podemos adicionar as três distâncias.

Agora, este triângulo certamente não parece um triângulo retângulo. Então, vamos precisar aplicar a lei dos senos ou a lei dos cossenos a esse problema. Conhecemos todos os três comprimentos laterais e queremos calcular cada um dos ângulos, o que nos diz que devemos usar a lei dos cossenos. A versão rearranjada disso, que é útil para calcular ângulos, é cos de 𝐴 igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado tudo sobre dois 𝑏𝑐. Se você não consegue se lembrar disso, você terá que realizar o rearranjo da lei dos cossenos em sua forma tradicional.

Nesta questão, então, vamos usar 𝐴 para representar Los Angeles, 𝐶 para representar Chicago e 𝐵 para representar Nova York. Usaremos as letras minúsculas correspondentes para representar os lados opostos. Para calcular nosso primeiro ângulo, que é esse ângulo aqui, nós substituímos os valores relevantes. Dando cos de 𝐴 é igual a 1,744 ao quadrado mais 2,451 ao quadrado menos 712 ao quadrado tudo sobre dois multiplicado por 1,744 multiplicado por 2,451.

Podemos calcular isso em uma calculadora. E então, para encontrar o valor de 𝐴, precisamos usar a função cosseno inversa. Fazer isso dá 𝐴 igual a 2,334 graus. Então encontramos o primeiro ângulo no triângulo. E nós daremos nossa resposta a duas casas decimais.

Para calcular o próximo ângulo neste triângulo, que desta vez usaremos o ângulo 𝐶, não precisamos renomear nosso triângulo. Precisamos apenas lembrar que as letras 𝑏 e 𝑐 representam os dois lados que circundam o ângulo e a letra 𝑎 representa o lado oposto. Então, usamos 1,744 e 712 para os dois lados que envolvem o ângulo e 2,451 para o lado oposto. Isso dá cos de 𝐶 igual a menos 0,9901. E novamente, aplicando a função cosseno inversa, descobrimos que o ângulo 𝐶 é igual a 171,939 graus.

Então encontramos dois ângulos no triângulo. E, de fato, para encontrar o terceiro, poderíamos subtrair os dois ângulos que calculamos de 180 graus. Mas se não usarmos esse método, isso será uma verificação útil. Exatamente da mesma maneira, mas desta vez usando 712 e 2,451 como os dois lados que delimitam o ângulo e 1,744 como o lado oposto, descobrimos que a medida do ângulo 𝐵 é 5,726 graus.

Adicionando os três ângulos que encontramos, agora arredondados para duas casas decimais, dá 180 graus. Para que possamos ter alguma confiança em nossa resposta. As medidas dos três ângulos no triângulo formado por essas três cidades, cada uma com duas casas decimais, são 2,33 graus, 5,73 graus e 171,94 graus.

Em nosso exemplo final, vamos ver como podemos usar a lei dos senos e a lei dos cossenos para resolver problemas em outros contextos matemáticos.

𝑀 é o centro de uma circunferência e 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são pontos na borda da circunferência. Se 𝐵𝐶 é igual a 13 centímetros e a medida do ângulo 𝐶𝑀𝐵 é 84 graus, encontre a área da circunferência 𝑀, dando a resposta para o centímetro quadrado mais próximo.

Sabemos que a área de uma circunferência é 𝜋𝑟 ao quadrado. Então, realmente, esse problema é sobre como encontrar o raio dessa circunferência. Vamos começar colocando as informações que recebemos no diagrama. 𝐵𝐶 é de 13 centímetros e a medida do ângulo 𝐶𝑀𝐵 é de 84 graus. Não sabemos os comprimentos de 𝑀𝐶 ou 𝑀𝐵, mas cada um deles tem o raio da circunferência.

Agora, existem várias abordagens diferentes que podemos adotar. Mas uma abordagem é aplicar a lei dos cossenos no triângulo 𝐶𝑀𝐵. Isso afirma que 𝑎 ao quadrado é igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos dois 𝑏𝑐 cos 𝐴, onde 𝑏 e 𝑐 representam dois lados de um triângulo e 𝐴 representa o ângulo incluído. No nosso triângulo, 𝑎 tem 13 centímetros. O ângulo 𝐴 é de 84 graus. E os dois lados que circundam esse ângulo 𝐴 são cada um o raio da circunferência 𝑟.

Podemos, portanto, formar uma equação. 13 ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado mais 𝑟 ao quadrado menos dois 𝑟 ao quadrado cos de 84 graus. Podemos resolver essa equação para encontrar o valor de 𝑟 ao quadrado, que poderemos substituir diretamente em nossa fórmula de área. Fatorando o lado direito da nossa equação por 𝑟 ao quadrado, temos 169 igual a 𝑟 ao quadrado multiplicado por dois menos dois cos de 84 graus. Dividindo, temos que 𝑟 ao quadrado é igual a 169 sobre dois menos dois cos 84 graus. E vamos manter nosso valor de 𝑟 ao quadrado nesta forma exata.

Podemos então substituir esse valor de 𝑟 ao quadrado na fórmula da área e calcular em uma calculadora. Arredondando nossa resposta, temos que a área da circunferência 𝑀 para o centímetro quadrado mais próximo é de 296 centímetros quadrados.

Como mencionei, existem várias abordagens para esse problema, que você pode experimentar, se desejar. Poderíamos ter aplicado a lei dos senos no triângulo 𝐶𝑀𝐵. Ou poderíamos ter dividido ao meio para formar dois triângulos retângulos e, em seguida, usado trigonometria de ângulo reto.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Em primeiro lugar, a lei dos senos e a lei dos cossenos podem ser usadas para calcular os comprimentos laterais e as medidas dos ângulos em triângulos não retos. A lei dos senos em qualquer uma de suas duas formas pode ser usada para calcular um lado ou um ângulo quando estamos trabalhando com pares opostos de informações. A lei dos cossenos em sua primeira forma pode ser usada para calcular o comprimento do lado quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo incluído. E em sua forma reorganizada, pode ser usada para calcular qualquer ângulo quando conhecemos todos os três lados.

Podemos aplicar a lei dos senos e a lei dos cossenos a muitos problemas envolvendo triângulos. E embora não tenhamos visto um exemplo disso, também podemos aplicar as duas regras dentro do mesmo problema.

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