Vídeo: Resolvendo Puzzles Criptoaritméticos

Neste video, vamos aprender sobre puzzles criptoaritméticos e a ver como utilizar uma variedade de técnicas para resolvê-los.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender a resolver enigmas cirptoaritméticos. Algumas pessoas chamam-nos de “criptoaritmos” ou “alfaméticos”. Mas são um tipo de quebra-cabeça que envolve pensar criticamente sobre caracteres alfabéticos em cálculos aritméticos.

Em geral, acredita-se que a criptoaritmética foi inventada há muito tempo na China e denominada aritmética de letras ou aritmética verbal. Muitos enigmas semelhantes apareceram também na Índia durante a Idade Média, com cálculos apresentados com muitos algarismos em falta representados por pontos. E o desafio era determinar os algarismos que faltavam.

Por exemplo, neste quebra-cabeças de divisão, todos os algarismos, exceto os sete, foram substituídos por pontos. E tem que preencher todos os espaços em branco. E há apenas uma solução única que funciona. Portanto, é bem complicado. Agora, fazer um refinamento a este tipo de quebra-cabeças é colocar símbolos ou letras diferentes para representar cada algarismo único no cálculo.

Por exemplo, este aqui: ABC vezes DE. E depois temos o cálculo em baixo. Nesta forma, cada letra representa um algarismo. E sabemos, por exemplo, onde quer que vejamos a letra C, estará sempre a substituir o mesmo algarismo neste quebra-cabeças específico.

Outra ideia foi escolher as letras cuidadosamente para que formassem palavras. E, idealmente, tinha alguma relação uma com a outra quando foram escritas. Um grande exemplo disso foi o enigma criado por Henry Dewdney na Strand Magazine em 1924: SEND (ENVIA) mais PLUS (MAIS) é igual a MONEY (DINHEIRO).

A história era que era um telegrama enviado por um filho para os seus pais quando ele ficou sem dinheiro na faculdade. Este é o tipo de quebra-cabeças sobre o qual vamos falar. E além de nos restringirmos a quebra-cabeças que têm palavras aparentemente significativas, existem algumas regras extras que também se aplicam a este tipo de criptoaritmética.

Cada letra corresponde consistentemente a um algarismo diferente de zero a nove. Por exemplo, S poderia representar cinco, M poderia representar um e assim por diante. Mas não seria permitido ter o mesmo algarismo representado por duas letras diferentes. Então não poderíamos ter S e M a representar o algarismo um. Cada letra é utilizada sempre para representar o mesmo algarismo no quebra-cabeças.

Por exemplo, E aparece três vezes neste quebra-cabeças e deve representar o mesmo algarismo em cada caso. Nenhum número no quebra-cabeças pode ter um zero à esquerda. Portanto nem S nem M aqui poderiam representar o algarismo zero. Nós também só vamos falar sobre a adição de dois números. Pode criar quebra-cabeças com mais de dois números a adicionar. Ou pode reorganizá-los para fazer um cálculo de subtração. Mas nós não vamos considerar isso.

Para sermos rigorosos, também consideraremos um quebra-cabeças criptoaritmético adequado para ter apenas uma única solução, embora alguns criadores de quebra-cabeças não apliquem esta regra. O processo para resolver criptoaritmos não é apenas seguir uma fórmula simples. Requer um pouco de raciocínio, algumas tentativas-erros e muita perseverança. Vamos analisar e resolver o problema SEND (ENVIA) mais MORE (MAIS) é igual a MONEY (DINHEIRO) para ver como isso pode ser feito.

Existem outras maneiras. Mas felizmente que as técnicas de que falamos ajudem a resolver os seus enigmas. É claro que, se puder escrever um pouco de código de programação, é bastante simples criar um programa simples que tente todas as possibilidades de determinar o código certo. Escreverei este em Python e fiz deliberadamente com que passasse por todas as possibilidades sem tentar torná-lo mais eficiente, só para ver quanto tempo demorava — pouco menos de dois minutos, embora a minha versão equivalente do QB 64 tenha demorado apenas 0.7 segundos.

Por exemplo, eu não eliminei S igual a zero e M igual a zero para minha consulta, o que significa que saiu com 24 respostas inaceitáveis ​​em que M era igual a zero. Eu também não fiz nenhuma outra melhoria, como perceber que o M deve ser igual a um porque não pode levar mais do que um ao adicionar dois números, mas mais do que isso depois. Então, com as letras S, E, N, D, M, O, R e Y, cada uma com 10 valores possíveis, zero a nove, que perfaz um total de 10 ao elevado a oito combinações para tentar, 100 milhões de combinações.

Imagine realizar esta abordagem à mão, levaria uma eternidade. De qualquer forma, agora vamos passar por algumas coisas que pode verificar para ajudá-lo a resolver este quebra-cabeças manualmente. Em primeiro lugar, faça uma lista de todas as letras no seu quebra-cabeças. Poderíamos fazer uma tabela dos seus valores possíveis de zero a nove e eliminá-los à medida que eliminamos todas as possibilidades. Por exemplo, dissemos que nenhum dos algarismos iniciais pode ser zero. Então S e M não podem ser zero. Então podemos riscá-las.

Agora existem algumas outras maneiras rápidas de separar alguns números. Por exemplo, se tivéssemos algo assim. Temos a mesma letra A na coluna duas vezes. E o resultado também tem o mesmo algarismo nessa coluna. A única possibilidade é que A seja igual a zero. Agora todos os algarismos funcionarão naquele lugar. Mas, infelizmente, no nosso problema, não temos a mesma letra na coluna. Então isto não será muito útil para nós.

E se tivéssemos a mesma letra na coluna para os dois números, mas depois uma letra diferente na coluna para a resposta? Então B teria que ser par: 0, 2, 4, 6 ou 8. Mas, novamente, isso não nos vai ajudar, porque este não é o padrão que temos na nossa coluna. E se tivéssemos algo assim? Nós tínhamos uma letra aqui e na mesma posição na resposta e depois uma letra diferente aqui.

Bem, novamente, B deve ser igual a zero para que isto seja verdade. Mas, novamente, isto não nos vai ajudar com o nosso problema específico. Ok, e sobre isto? Nós temos a mesma letra numa coluna que não é a coluna das unidades. Bem, nós temos duas possibilidades. Esses dois algarismos aqui podem somar algo como 10 ou 11 ou 12, o que cria um algarismo para levar, o mais um, que vai para esta coluna. Ou talvez somem um número menor que 10, pelo que não haveria o levar.

Agora, se um for levado para a coluna, então se A for igual a nove, teremos nove mais nove, 18 mais o um levado seria 19. Teríamos nove naquele algarismo ali. Se não houvesse um “leva”, então A igual a zero funcionaria. Interessante, mas novamente não nos vai ajudar no nosso problema específico aqui. E quanto a esta situação em que um dos algarismos na nossa soma também aparece na resposta, mas não na coluna das unidades?

Agora, novamente, a coluna pode totalizar 10 ou mais e ter um “leva” ou talvez não tenha e não tenha “leva”. Bem, se nós não tivéssemos nenhum “leva”, então A deveria ser zero para que algo mais B fosse igual a B. Mas se tivéssemos um “leva”, então A teria que ser igual a nove. Então, existem duas possibilidades. Contudo, adivinhou novamente! Na verdade, isso não nos vai ajudar no nosso problema específico.

Então, podemos considerar situações um pouco mais complicadas, nas quais as nossas conclusões não são tão claras. Por exemplo, este aqui. Sabemos que o C só pode ser um, porque quando soma dois números, o máximo que pode obter é um. E também sabemos que A mais B deve ser pelo menos 10. Então A mais B é maior que nove para gerar aquele “leva”. Mas se nós tivéssemos levado da coluna das unidades para esta coluna, então A mais B poderia ser igual a nove, porque nove mais um é igual a 10 e isso gera o nosso “leva” na coluna das centenas.

Ok, e isso não nos vai ajudar no nosso problema em particular. Mas é este tipo de análise, este estilo de análise, que nos ajuda a eliminar certas possibilidades da nossa grelha. Agora, antes de voltarmos para SEND (ENVIA) mais MORE (MAIS) é igual a MONEY (DINHEIRO), vamos fazer MOO mais MOO igual a COW (VACA) para considerar mais algumas dicas de lógica. Sabemos que não temos números a começar em zero pelo que M e C não são zero. E O mais O é igual a W. Ou se esse resultado for maior que 10, então O mais O é igual a 10 mais W.

Porque em O mais O estamos a adicionar um número a si mesmo, estamos a duplicar esse número, sabemos que W é par. E se olharmos para a próxima coluna, vemos que O mais O é igual a O nessa coluna. E isso diz-nos que deve ter havido algum “leva” da coluna para que o resultado seja diferente. Então, agora sabemos que O deve ser pelo menos cinco para gerar esse “leva” e deve ser transferido para a coluna dos 100.

Então, O mais O na coluna das unidades gera o W, que dissemos ser par. Quando levamos um e fazemos O mais O mais um, o resultado deve ser ímpar. E também sabemos que O mais O mais um dá um resultado que termina no algarismo O. Então o que poderia ser? Zero mais zero mais um não é igual a zero. Um mais um mais um não é igual a um. Dois mais dois mais um não é igual a dois. Mas nove mais nove mais um é igual a 19. Então, O deve ser nove.

E podemos substituir todos os Os por noves. Bem, agora sabemos que O é nove, sabemos que M não pode ser nove, W não pode ser nove e C não pode ser nove. Então, se fizéssemos uma grelha, poderíamos riscá-las. De facto, mais importante que isso, aqui sabemos que W deve ser — nove mais nove é 18 — W deve ser oito. E mais uma vez sabemos que C e M não podem ser oito. Agora, porque temos este “leva” aqui, sabemos que M mais M mais um é igual a C.

E isso diz-nos que este não é um “critoaritmo” adequado porque não tem uma resposta única. Existem várias possibilidades para M e C. Sabemos que não há “leva” para a coluna dos 1000. Então M mais M mais um é menor que 10. Então M mais M, que são dois M, é menor que nove. E M é menor que quatro e um meio. Bem, sabíamos que M não poderia ser zero, oito ou nove. Mas agora excluímos sete, seis e cinco também.

Então as possibilidades são um, dois, três ou quatro. Mas se M fosse quatro, então C aqui seria nove. Mas C não pode ser nove porque sabemos que já temos outra letra com nove, O. Então M não pode ser quatro também. Existem três possibilidades: um, dois e três. Então, se M é um, um mais um mais um é igual a três. Se M é dois, dois mais dois mais um é igual a cinco. E se M é três, três mais três mais um é sete.

Então, como dissemos, existem três combinações possíveis de valores que M, O, C e W poderiam ter. Agora, de volta ao nosso evento principal, SEND (ENVIAR) mais MORE (MAIS) é igual a MONEY (DINHEIRO). Bem, a resposta tem um algarismo extra. E o máximo que poderia ser levado ao adicionar dois números é um. Portanto, sabemos que M é igual a um e nenhuma das outras letras é igual a um. Então, podemos riscá-las, mas também sabemos que M não é igual a nenhum dos outros algarismos. Então podemos riscar isto também.

E podemos começar a organizar estas respostas numa pequena grelha. Temos um aqui e aqui. Agora sabemos que S mais M nos dá um número de dois algarismos para que haja um “levar” para aqui. E nós já sabemos que M é igual a um. Então S deve ser oito se houver um “leva” daqui até aqui ou nove se não houver. Agora, neste caso, O aqui pode ser zero ou um. Mas nós já sabemos que M é um. Então, O deve ser zero. Assim, podemos atualizar a nossa solução de trabalho e a nossa tabela.

Agora, como O é igual a zero, então a única forma de ter E mais O maior que nove, para gerar o “leva” que precisamos aqui em baixo, é por E ser nove e por ter havido um “leva” da coluna anterior. Mas então o algarismo de resposta seria zero e a letra na parte inferior seria O não N. Então, não podemos ter nenhum “leva” para a coluna dos 1000. E isso significa que S deve ser nove para gerar nosso “leva” na coluna 10000.

Mais uma vez, podemos atualizar a nossa tabela e a nossa solução de trabalho com S é igual a nove. Agora lembre-se, na coluna dos 100 dissemos que o E mais O é igual a N sem “levar” e O igual a zero. Então devemos ter levado da coluna dos 10. E N deve ser uma unidade maior que E ou seria E mais zero igual a E. Então poderíamos escrever N mais E igual a um. Agora lembre-se, na coluna dos 100 dissemos que E mais O é igual a N sem “levar” e O é igual a zero. Então devemos ter levado da coluna dos 10.

Agora N deve ser uma unidade maior que E ou seria E mais O igual a E. Agora poderíamos escrever N é igual a E mais um. Agora, olhando para a nossa grelha, se N é uma unidade maior que E, então N claramente não pode ser dois e E não pode ser oito. Agora, porque precisamos ter o “leva” dos 10 para a coluna dos 100, sabemos que N mais R, possivelmente mais um se levarmos da coluna das unidades, deve ser maior que nove. Na verdade, podemos ser um pouco mais específicos nisto.

Como sabemos que o algarismo na resposta a N mais R possivelmente mais um é E, podemos escrever N mais R possivelmente mais um é igual a 10 mais E. Agora temos um sistema de equações que podemos resolver. Subtraindo o primeiro do segundo dá-nos R possivelmente mais um é igual a nove. Mas lembre-se S é igual a nove, então R não pode ser igual a nove. Isso significa que nós tivemos que fazer isto adicionando um a R para obter nove. E isto significa que R deve ser igual a oito.

E podemos preencher isto na nossa grelha e na solução de trabalho. Mas lembre-se disto, N é igual a E mais um. E sabemos que N não pode ser oito agora. Então, também sabemos que E não pode ser sete. Então podemos riscar isto da grade. Agora, olhando para a coluna das unidades, podemos ver que Y tem que ser pelo menos dois. Então D mais E deve ser maior ou igual a 12. Lembre-se, nós determinámos que tivemos que adicionar este aqui, então deve haver um “leva” daqueles para a coluna dos 10.

Agora, olhando para os valores possíveis restantes para E e D, têm que ser seis e sete, de qualquer maneira, ou cinco e sete para somar pelo menos 12. Mas lembre-se, dissemos que N é uma unidade maior que E. Então, se E fosse seis e D fosse sete, então N também seria sete. E isso não é permitido. Então, E não pode ser seis e deve ser cinco. E isso significa que o N deve ser seis, o que nos deixa com sete para D. E significa que podemos ver facilmente que Y deve agora ser dois, porque sete e cinco são 12.

O que precisamos de fazer então é uma verificação final da nossa soma. Sete e cinco são 12. Seis e oito são 14, mais um é 15. Cinco e zero são cinco, mais um é seis. Nove e um são 10. E um e nada é um. Então sim! Parece que está certo. E aí podemos escrever a nossa resposta. Agora, às vezes, chega a um ponto em que fez muita dedução lógica e só precisa utilizar um pouco de tentativa-erro com os últimos números. E é aí que a grelha é útil.

Pode ver a letra que tem o menor número possível de algarismos e tentar um deles para ver onde nos leva. Se acabar com uma contradição ou uma situação impossível, essa letra obviamente não tem esse valor. Então pode riscá-lo e tentar outro. Agora sabe como resolver possivelmente o mais famoso enigma criptoaritmético de todos os tempos. Espero que possa resolver um pouco mais por si próprio.

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