Vídeo: Resolvendo Inequações Quadráticas

Resolva a inequação (𝑥 + 9) (𝑥 − 2) ≤ 22𝑥 − 74.

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Transcrição do vídeo

Resolva a inequação 𝑥 mais nove vezes 𝑥 menos dois menor ou igual a 22 𝑥 menos 74. Vamos resolver esta inequação em três etapas.

Em primeiro lugar, vamos reorganizar a inequação que temos, colocando-a na forma 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero. Então, vamos esboçar um gráfico de 𝑓 de 𝑥. E veremos que uma vez que tenhamos traçado o gráfico 𝑓 de 𝑥, poderemos concluir.

Ora, naturalmente, começamos com o nosso primeiro passo. Escrevemos a inequação que temos. Expandimos os parêntesis no membro esquerdo, por isso 𝑥 mais nove vezes 𝑥 menos dois fica 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 menos 18. Acrescentamos 74 a ambos os membros, por isso temos 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais 56 no membro esquerdo e apenas 22𝑥 no membro direito.

E finalmente subtraímos 22𝑥 a ambos os membros para obter 𝑥 ao quadrado menos 15𝑥 mais 56 menor ou igual a zero. Escrevemos a inequação na forma exigida para o primeiro passo, e agora estamos prontos para passar para o segundo passo.

Ok, agora temos que fazer um gráfico 𝑓 de 𝑥. O que é 𝑓 de 𝑥? Bem, é o membro esquerdo da inequação que obtivemos depois de concluir o primeiro passo. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 é uma função quadrática. E, claro, para representar graficamente uma função quadrática, é muito útil conhecer os fatores, pois estes informam sobre as interseções do gráfico com o eixo O𝑥.

Então, vamos tentar fatorizar 𝑓 de 𝑥. Estamos à procura de dois números cuja soma é menos 15 e cujo produto é 56. Dois números que satisfazem estes requisitos são menos sete e menos oito.

E assim, 𝑓 de 𝑥 quando fatorizado fica 𝑥 menos sete vezes 𝑥 menos oito. Então, vamos tentar esboçar um gráfico. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 tem zeros em 𝑥 igual a sete e 𝑥 é igual a oito, então sabemos que o seu gráfico deve passar pelos pontos sete, zero e oito, zero, que estão marcados.

Também sabemos que como 𝑓 de 𝑥 é uma função quadrática, o seu gráfico será uma parábola. Então, a única questão é se é uma parábola voltada para cima ou para baixo. Como podemos saber? Bem, para o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏 𝑥 mais 𝑐, se o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, 𝑎, for maior que zero, então temos uma parábola voltada para cima; e se 𝑎 é menor que zero, então temos uma parábola voltada para baixo. Então, que caso é que temos aqui?

O coeficiente de 𝑥 ao quadrado é apenas um, que é maior que zero e, portanto, temos uma parábola voltada para cima. Como resultado, o gráfico de 𝑓 de 𝑥 parece-se com algo assim. Agora temos um esboço do gráfico de 𝑓 de 𝑥. É claro que este esboço não é particularmente preciso, mas é bom o suficiente para o que precisamos.

Podemos agora tirar a conclusão. A inequação que estamos a tentar resolver agora é 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero. 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a zero quando o seu gráfico está abaixo do eixo O𝑥, o que acontece entre 𝑥 igual a sete e 𝑥 igual a oito.

Então esta é a solução para a inequação informalmente, mas precisamos torná-la matemática. Primeiro que tudo, precisamos de esclarecer o que entendemos por entre, os nossos 𝑥 igual a sete e 𝑥 igual a oito incluídos no conjunto-solução desta inequação.

Observando o gráfico, podemos lembrar que 𝑓 de sete é zero e, portanto, é definitivamente menor ou igual a zero; da mesma forma, 𝑓 de oito é zero e, portanto, satisfaz 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero. Então, 𝑥 igual a sete e 𝑥 igual a oito, estão incluídos no conjunto-solução.

Aqui está uma maneira de escrever isso matematicamente; dizemos que sete é menor ou igual a 𝑥 que é menor ou igual a oito. E o facto de utilizarmos o sinal menor ou igual a em vez do sinal de menor diz-nos que sete e oito são valores permitidos de 𝑥.

Também podemos escrever este facto utilizando a notação de conjunto e a notação de intervalo. Então, dizemos que 𝑥 está no intervalo de sete a oito. E o facto de estarmos a utilizar parêntesis retos, em vez de parênteses curvos, indica que os pontos nas extremidades sete e oito estão incluídos neste intervalo.

Vamos apenas recapitular o que fizemos. Pegámos nesta inequação e reorganizámos para a forma 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero; este foi o primeiro passo. Se o sinal da desigualdade fosse apenas um sinal menor é claro que teríamos reorganizado para 𝑓 de 𝑥 menor que zero. O importante é que do lado direito do sinal da desigualdade seja o que for, temos zero.

Em seguida, pegámos neste 𝑓 de 𝑥 e esboçámos o seu gráfico, e fatorizámos 𝑓 de 𝑥 para permitir-nos esboça-lo. Finalmente, concluímos do gráfico qual era a solução.

Havia duas coisas que precisávamos do gráfico para podermos tirar a conclusão: precisávamos das interseções com o eixo O𝑥, sete e oito, e também precisávamos de conhecer a orientação da parábola que passa por esses dois pontos.

Se tivéssemos desenhado uma parábola voltada para baixo, teríamos a resposta errada. Para verificar se temos a resposta certa, pode querer verificar se os valores dentro do intervalo que temos realmente satisfazem a inequação original que tínhamos: 𝑥 mais nove vezes 𝑥 menos dois menor ou igual a 22𝑥 menos 74. Além disso, pode querer verificar se os valores fora desse intervalo não satisfazem a inequação.

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