Lesson Video: Concavidade e Pontos de Inflexão

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Neste vídeo, aprenderemos como determinar a concavidade de uma função e os seus pontos de inflexão utilizando a segunda derivada. Nesta altura, deve sentir-se confiante a determinar a primeira e a segunda derivadas de uma função utilizando regras das derivadas e ter boas práticas na utilização do teste da primeira derivada para estabelecer a natureza dos pontos críticos. Agora, vamos ver o que significa uma função ter concavidade voltada para cima ou concavidade para baixo ou ter um ponto de inflexão. E veremos como podemos utilizar a segunda derivada como um método alternativo ao teste da primeira derivada.

Vamos considerar a forma de alguns gráficos conhecidos. Aqui, temos o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, 𝑔 de 𝑥 é menos 𝑥 ao quadrado e ℎ de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo. 𝑓 de 𝑥 igual 𝑥 ao quadrado é um bom exemplo de uma função que tem concavidade para cima em todo o seu domínio. A curva dobra-se para cima em todo o seu domínio, e o valor do seu declive está a aumentar. Outra maneira de pensar sobre isto é dizer que, se um gráfico de uma função estiver acima de todas as tangentes nalgum intervalo, este terá concavidade para cima nesse intervalo. Da mesma forma, 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 ao quadrado é um bom exemplo de uma função com concavidade para baixo. A curva dobra-se para baixo em todo o seu domínio e o valor do seu declive está a diminuir.

Desta vez, podemos dizer que uma maneira alternativa de ver isto é dizer que, se o gráfico da função estiver abaixo de todas as suas tangentes nalgum intervalo, terá concavidade para baixo nesse intervalo. Com a nossa função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, o ponto crítico é em zero, zero é mínimo. E, de facto, é um mínimo absoluto. É o ponto mais baixo da curva em todo o seu domínio. E para o gráfico 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 ao quadrado, o ponto crítico é em zero, zero é um máximo absoluto. É o ponto mais alto da curva em todo o seu domínio.

ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo oferece algo um pouco diferente. O ponto de viragem é em zero, zero é conhecido como ponto de inflexão. Este é um ponto crítico no qual o comportamento da função muda. Vai de concavidade para baixo para concavidade para cima ou vice-versa. Então, agora que temos uma definição, vamos ver como decidimos sobre a natureza do ponto crítico e, portanto, a sua concavidade. Vejamos o gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado novamente. A sua derivada 𝑓 linha de 𝑥 igual a dois 𝑥 é às vezes chamada de função de declives porque nos diz o gradiente ou o declive da tangente à curva em qualquer ponto. Podemos ver que o gradiente da tangente à curva em, digamos no ponto 𝑥 igual a menos um, imediatamente antes do ponto crítico ser negativo. E o gradiente da tangente à curva num ponto após o ponto crítico, digamos 𝑥 igual a um, é positivo.

No passado, teríamos verificado isto utilizando o teste da primeira derivada. Substituímos estes valores na equação da primeira derivada e verificamos se ela é realmente negativa antes do ponto crítico e positiva depois. Mas vamos pensar no que realmente está a acontecer com a derivada. Vai de um número menor que zero para um número maior que zero. Por outras palavras, a função 𝑓 linha de 𝑥 está a aumentar. Outra maneira de pensar sobre isto é dizer que a derivada de 𝑓 linha de 𝑥 deve ser maior que zero. Por outras palavras, 𝑓 duas linhas de 𝑥, a segunda derivada da nossa função, deve ser maior que zero. E este é o teste da segunda derivada.

Podemos calcular a segunda derivada no ponto crítico. E se for maior que zero, temos um mínimo local. E este teste permite-nos testar a concavidade. Se a segunda derivada da nossa função for maior que zero para todo o 𝑥 nalgum intervalo 𝐼, o gráfico terá concavidade para cima nesse intervalo. Também podemos observar o gráfico de 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 ao quadrado. Um pouco antes do nosso ponto crítico, a tangente tem um gradiente positivo ou um declive positivo. E logo após o nosso ponto crítico, a tangente tem um gradiente negativo. Isso significa que 𝑓 linha de 𝑥 está diminuindo. Em outras palavras, a derivada de 𝑓 linha de 𝑥 deve ser menor que zero. Ou 𝑓 duas linhas de 𝑥, a segunda derivada, deve ser menor que zero.

Portanto, se calcularmos a segunda derivada no ponto crítico e esta for menor que zero, isso indica-nos que temos um máximo local. E estendemos esta ideia e dizemos que, se a segunda derivada da nossa função for menor que zero para todo o 𝑥 nalgum intervalo 𝐼, o gráfico terá concavidade para baixo nesse intervalo. Mas há algo a faltar. E se 𝑓 duas linhas de 𝑥 da segunda derivada for igual a zero? Se a segunda derivada for igual a zero ou mesmo não definida, então poderíamos ter um ponto de inflexão. Mas não devemos assumir que qualquer ponto em que 𝑓 duas linhas de 𝑥 seja igual a zero é um ponto de inflexão. Em vez disso, nestas situações, temos que verificar a natureza da segunda derivada em ambos os lados do ponto e verificar se a concavidade realmente muda de concavidade para cima para concavidade para baixo ou vice-versa. Vamos dar uma olhadela num exemplo de como aplicar algumas destas definições.

Determine os intervalos nos quais a função 𝑓 de 𝑥 é menos quatro 𝑥 elevado a cinco mais 𝑥 ao cubo tem concavidade para cima e concavidade para baixo.

Lembre-se, se a segunda derivada da nossa função 𝑓 duas linhas de 𝑥 for maior que zero para todo o 𝑥 nalgum intervalo 𝐼, então 𝑓 terá concavidade para cima nesse intervalo. Da mesma forma, se a segunda derivada for menor que zero para todo o 𝑥 nalgum intervalo 𝐼, então 𝑓 terá concavidade para baixo nesse intervalo. Portanto, precisaremos de determinar a segunda derivada da nossa função e utilizá-la para determinar os intervalos nos quais 𝑓 duas linhas de 𝑥 é maior que zero e menor que zero.

Começaremos por determinar a primeira derivada da nossa função. É cinco multiplicado por menos quatro 𝑥 elevado a quatro mais três vezes 𝑥 ao quadrado, o que é menos 20𝑥 elevado a quatro mais três 𝑥 ao quadrado. Vamos derivar novamente para determinar a segunda derivada. Desta vez, é quatro vezes menos 20𝑥 ao cubo mais dois vezes três 𝑥 ao quadrado, o que é menos 80𝑥 ao cubo mais seis 𝑥. O nosso trabalho agora é determinar o intervalo onde esta derivada é maior que zero e em que é menor que zero. Começaremos por estabelecê-la igual a zero e resolver em ordem a 𝑥. Podemos fatorizar para obter dois vezes menos 40𝑥 ao quadrado mais três. E, em seguida, sabemos que, para o produto de dois 𝑥 e menos 40𝑥 ao quadrado mais três ser igual a zero, ou 𝑥 é igual a zero, o que significa que 𝑥 igual a zero, ou menos 40𝑥 ao quadrado mais três é igual a zero.

Resolveremos adicionando 40𝑥 ao quadrado a ambos os membros, dividindo por 40 e, em seguida, aplicando a raiz quadrada, lembrando-nos de determinar a raiz quadrada positiva e negativa de três sobre 40. Podemos racionalizar o denominador aqui e obtemos 𝑥 é igual a raiz positiva ou negativa 30 sobre 20. A seguir, esboçaremos o gráfico de 𝑓 duas linhas de 𝑥 para nos ajudar a decidir onde é menor que zero e igual a zero. É um gráfico de uma cúbica com um coeficiente negativo de 𝑥 ao cubo, que tem raízes raiz negativa de 30 sobre 20, raiz positiva 30 sobre 20 e zero. Então, será algo parecido com isto. Podemos ver que 𝑓 duas linhas de 𝑥 é menor que zero aqui e aqui. E é maior que zero aqui e aqui. Como a segunda derivada é maior que zero no intervalo aberto de menos infinito a raiz negativa de 30 sobre 20 e no intervalo aberto de zero a raiz de 30 sobre 20, 𝑓 de 𝑥 tem concavidade para cima nesses intervalos. Da mesma forma, tem concavidade para baixo no intervalo aberto da raiz negativa de 30 sobre 20, zero e raiz de 30 sobre 20 a infinito.

No próximo exemplo, veremos como determinar os pontos de inflexão de uma curva.

Determine os pontos de inflexão da curva 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos cinco.

Lembre-se, dizemos que poderíamos ter um ponto de inflexão na nossa curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 se a segunda derivada for igual a zero ou a segunda derivada for não definida nalgum ponto. Vamos formalizar isto um pouco. Em vez disso, diremos que se 𝑝 é um ponto de inflexão numa função contínua 𝑓, então 𝑓 duas linhas de 𝑥, a segunda derivada, é igual a zero ou não está definida e a curva muda de concavidade para cima para baixo ou vice-versa em 𝑝. Começaremos, como sempre, por determinar a localização de quaisquer pontos críticos e determinar a sua natureza. Derivamos a nossa função 𝑦 em ordem a 𝑥. A primeira derivada é dois 𝑥 mais dois.

Para determinar a localização de quaisquer pontos críticos, estabeleceremos isto igual a zero. Então, dois 𝑥 mais dois é igual a zero. Para resolver em ordem 𝑥, subtraímos dois de ambos os membros. E dividimos por dois. Portanto, há um ponto crítico em 𝑥 igual a menos um. E quanto à sua natureza? Desta vez, determinaremos a segunda derivada. A segunda derivada da nossa função é simplesmente dois. Curiosamente, a segunda derivada aqui é uma constante. E é maior que zero. Por outras palavras, a segunda derivada é maior que zero em todo o domínio. 𝑦 tem concavidade para cima e a concavidade nunca muda. Então, podemos dizer que esta curva não tem pontos de inflexão.

No próximo exemplo, veremos como utilizar a segunda derivada para determinar o ponto de inflexão numa curva.

Determine o ponto de inflexão no gráfico de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo menos nove 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥.

Se 𝑝 é um ponto de inflexão de uma função contínua 𝑓, a segunda derivada de 𝑓 de 𝑥 é igual a zero ou não está definida nesse ponto. E a concavidade do gráfico muda nesse ponto. Para responder a esta questão, começaremos por determinar a segunda derivada da nossa função. A primeira derivada é três 𝑥 ao quadrado menos dois vezes nove 𝑥 mais seis, o que simplifica para três 𝑥 ao quadrado menos 18 𝑥 mais seis. A segunda derivada é seis 𝑥 menos 18. Sabemos que pode haver um ponto de inflexão quando a segunda derivada é igual a zero. Então, estabeleceremos isto igual a zero e resolveremos em ordem a 𝑥. Adicionamos 18 aos dois membros da equação e depois dividimos por seis. E vemos que 𝑥 é igual a três.

Mas apenas porque a segunda derivada de 𝑓 de três é igual a zero, isso não garante que seja um ponto de inflexão. Vamos verificar novamente a concavidade da curva em ambos os lados deste ponto. Verificaremos 𝑓 duas linhas de dois e 𝑓 duas linhas de quatro. 𝑓 duas linhas de dois é seis vezes dois menos 18, que é menos seis. E 𝑓 duas linhas de quatro é seis vezes quatro menos 18, que é seis. A segunda derivada de 𝑓 em dois é menor que zero e em quatro é maior que zero. A curva vai de concavidade para baixo a concavidade para cima. Então, 𝑥 igual a três é realmente um ponto de inflexão. Agora que sabemos disso; podemos substituir 𝑥 igual a três na expressão de 𝑓 de 𝑥 para determinar 𝑓 de três. É três ao cubo menos nove vezes três ao quadrado mais seis vezes três, que é menos 36. O ponto de inflexão da nossa função é três menos 36.

Nos dois exemplos finais, veremos como as regras das derivadas também podem ser aplicadas para nos ajudar a testar a concavidade em pontos de inflexão, em particular, observando as funções trigonométricas e logarítmicas.

Dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a sen de quatro 𝑥 mais cos de quatro 𝑥, onde 𝑥 é maior ou igual a zero e menor ou igual a 𝜋 sobre dois, determine os pontos de inflexão de 𝑓.

Lembre-se, um ponto de inflexão numa curva é um ponto em que a curva muda de concavidade para baixo para concavidade para cima ou vice-versa. Isto acontece quando 𝑓 duas linhas de 𝑥 é igual a zero ou não está definida. Mas lembre-se: 𝑓 duas linhas de 𝑥 ser igual a zero não garante que tenhamos um ponto de inflexão. Por isso, realizamos sempre um segundo teste para verificar. Vamos começar por determinar a primeira derivada da nossa função. Podemos citar as derivadas do sen 𝑎 de 𝑥 e cos 𝑎 de 𝑥. E vemos que o 𝑓 linha de 𝑥 é igual a quatro cos de quatro 𝑥 menos quatro sen de quatro 𝑥.

A seguir, determinamos a segunda derivada. E vemos que 𝑓 duas linhas de 𝑥 é igual a menos 16 sen de quatro 𝑥 menos 16 cos de quatro 𝑥. Estamos à procura de um ponto de inflexão. Então, vamos estabelecer isto igual zero e resolver em ordem a 𝑥, observando que estamos a olhar para o intervalo fechado zero a 𝜋 sobre dois radianos. Dividimos por menos 16 e subtraímos cos de quatro 𝑥 de ambos os membros. Recordamos então o facto de que tan é igual a sen 𝑥 sobre cos 𝑥. Portanto, sen de quatro 𝑥 dividido por cos de quatro 𝑥 é tan de quatro 𝑥. E vemos que tan de quatro 𝑥 é igual a menos um. Determinamos arctan de menos um que sabemos ser menos 𝜋 sobre quatro radianos.

Lembre-se, porém, tan de 𝑥 é periódica com um período 𝜋 radianos. Portanto, isto diz-nos que pode haver mais que uma solução. Alteramos o nosso intervalo multiplicando por quatro. E vemos que quatro 𝑥 deve ser maior ou igual a zero e menor ou igual a dois 𝜋. E encontraremos todos os valores de quatro 𝑥 neste intervalo adicionando múltiplos de 𝜋 à nossa solução. Adicionando 𝜋 a menos 𝜋 sobre quatro e obtemos três 𝜋 sobre quatro. Vamos a adicionar 𝜋 novamente e temos sete 𝜋 por quatro. Finalmente, podemos dividir por quatro e vemos que 𝑥 é igual a três 𝜋 sobre 16 e sete 𝜋 sobre 16 radianos. Lembre-se, apenas porque a segunda derivada é igual a zero, não garante que tenhamos um ponto de inflexão. Portanto, verificamos a concavidade em ambos os lados destes valores.

Podemos escolher 𝑥 para ser igual a 0.5 e 0.6. Estes são valores de cada lado de três 𝜋 sobre 16. E também verificaremos com 𝑥 igual a 1.3 e 𝑥 igual a 1.4, que são valores de ambos os lados de sete 𝜋 sobre 16. 𝑓 duas linhas de 0.5 é um valor negativo e 𝑓 duas linhas de 0.6 é um valor positivo. Da mesma forma, 𝑓 duas linhas de 1.3 é maior que zero e 𝑓 duas linhas de 1.4 é menor que zero. E vemos que, sobre o ponto 𝑥 igual a três 𝜋 sobre 16, o gráfico passa de concavidade para baixo para concavidade para cima. E em 𝑥 igual a sete 𝜋 sobre 16, passa de concavidade para cima para concavidade para baixo. E estes são, de facto, os dois pontos de inflexão. Podemos substituir cada valor em 𝑓 de 𝑥 para determinar as coordenadas em 𝑦 correspondentes. Os pontos de inflexão situam-se em três 𝜋 sobre 16 zero e sete 𝜋 sobre 16 zero.

Determine, se houver, os pontos de inflexão de 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado vezes o logaritmo natural de dois 𝑥.

Para determinar os pontos de inflexão, calcularemos a segunda derivada da nossa função e a estabelecê-la-emos igual a zero. Observe que a nossa própria função é o produto de duas funções. Então, precisamos de utilizar a regra do produto para derivá-la. Esta diz que, para duas funções deriváveis, 𝑢 e 𝑣, a derivada do seu produto é 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥. Seja 𝑢 igual a três 𝑥 ao quadrado e 𝑣 igual ao logaritmo natural de dois 𝑥. Então, d𝑢 sobre d𝑥 é seis 𝑥 e d𝑣 sobre d𝑥 é um sobre 𝑥. Então, 𝑓 linha, a primeira derivada da nossa função é três 𝑥 ao quadrado vezes um sobre 𝑥 mais seis 𝑥 vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 ou três 𝑥 mais seis 𝑥 vezes o logaritmo natural de dois 𝑥. Vamos derivar isto novamente.

Utilizamos a regra do produto para descobrir que a derivada de seis 𝑥 vezes o logaritmo natural de dois 𝑥 é seis mais seis vezes o logaritmo natural de dois 𝑥. E a segunda derivada é nove mais seis vezes o logaritmo natural de dois 𝑥. Vamos estabelecê-la igual a zero. Para resolver em ordem a 𝑥, subtraímos nove e depois dividimos por seis. Colocamos os dois membros como potências de base 𝑒. E a seguir, dividimos por dois. Então, potencialmente, há um ponto de inflexão em 𝑥 igual a um meio 𝑒 elevado a menos três sobre dois. Mas devemos verificar se este é realmente um ponto de inflexão verificando os valores de 𝑓 duas linhas ou da segunda derivada em ambos os lados.

Um meio de 𝑒 elevado a menos três sobre dois é de aproximadamente 0.112. Então, vamos tentar 𝑥 igual a 0.1 e 𝑥 igual a 0.12. A segunda derivada 𝑓 duas linhas de 0.1 é menor que zero. E 𝑓 duas linhas de 0.12 é maior que zero. A curva vai de concavidade para baixo para concavidade para cima. E podemos dizer que de facto temos um ponto de inflexão em 𝑥 igual a um meio 𝑒 elevado a menos três sobre dois. Substituindo este valor de 𝑥 na função original, obtemos menos nove sobre oito 𝑒 ao cubo. 𝑓 tem um ponto de inflexão em 𝑒 elevado a menos três sobre dois sobre dois, menos nove sobre oito 𝑒 ao cubo.

Neste vídeo, vimos que, se a segunda derivada de 𝑥 for maior que zero para todo o 𝑥 nalgum intervalo 𝐼, o gráfico de 𝑓 terá concavidade para cima em 𝐼. Também vimos que, se o inverso for verdadeiro, 𝑓 terá concavidade para baixo em 𝐼. Também vimos que um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade do gráfico muda. E isso ocorre quando a segunda derivada é igual a zero ou não está definida num ponto. E vimos que, por si só, o 𝑓 duas linhas de 𝑥 ser igual a zero ou não estar definida não garante realmente um ponto de inflexão. E assim realizamos o teste da segunda derivada e verificamos a concavidade de ambos os lados.