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Neste vídeo, aprenderemos como identificar, escrever, calcular e analisar funções exponenciais.
Uma função exponencial é uma função com uma regra da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 elevado a 𝑥, onde o número real constante 𝑏 é chamado de base, com 𝑏 maior que zero e 𝑏 diferente de um, e 𝑥 é chamado de expoente , que pode ser qualquer número real. Vamos dar uma olhadela em 𝑓 de 𝑥 para valores inteiros positivos de 𝑥. Para 𝑥 igual a um, temos 𝑏 elevado a um, que é apenas 𝑏. Para 𝑥 igual a dois, temos 𝑏 elevado a dois ou 𝑏 ao quadrado, que é igual a 𝑏 vezes 𝑏. Para 𝑥 igual a três, temos 𝑏 elevado a três ou 𝑏 ao cubo igual a 𝑏 vezes 𝑏 vezes 𝑏. E para 𝑥 igual a quatro, temos 𝑏 elevado a quatro igual a 𝑏 vezes 𝑏 vezes 𝑏 vezes 𝑏.
Podemos ver que o valor anterior de 𝑓 de 𝑥 é multiplicado por 𝑏 sempre que 𝑥 aumenta uma unidade. Portanto, 𝑓 de dois é igual a 𝑓 de um vezes 𝑏. 𝑓 de três é igual a 𝑓 de dois vezes 𝑏 e 𝑓 de quatro é igual a 𝑓 de três vezes 𝑏. Isto alude a uma propriedade mais geral da função exponencial. Para a função exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, o valor de 𝑓 de 𝑥 é sempre o produto de 𝑓 de 𝑥 menos um e 𝑏, o que significa que 𝑏 é sempre o quociente de 𝑓 de 𝑥 e 𝑓 de 𝑥 menos um. Ou seja, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑥 menos um vezes 𝑏, o que significa que 𝑏 é igual a 𝑓 de 𝑥 dividido por 𝑓 de 𝑥 menos um. Isto é verdadeiro não apenas para valores inteiros de 𝑥, mas também para qualquer valor de um número real de 𝑥. Muitas vezes podemos utilizar a relação entre 𝑏, 𝑓 de 𝑥 e 𝑓 de 𝑥 menos um para determinar o valor de 𝑏 a partir de um gráfico ou tabela.
Considere o gráfico que mostra 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 para um valor específico de 𝑏. Observe que o gráfico interseta o eixo O𝑦 em um. Este será o caso para qualquer valor de um número real de 𝑏 tal que 𝑏 maior que zero e 𝑏 diferente de um. Podemos determinar o valor de 𝑏 na função que o gráfico representa, selecionando dois pontos nos quais o gráfico passa com coordenadas em 𝑥 que diferem em uma unidade. Não importa os pontos que escolhemos, mas ambos devem ter coordenadas 𝑥 e 𝑦 fáceis de identificar. Neste caso, é mais fácil selecionar pontos com coordenadas em 𝑥 que são inteiros consecutivos. Então, vamos escolher 𝑥 igual a menos três e 𝑥 igual a menos dois. No gráfico, podemos ver que estes têm coordenadas em 𝑦 de oito e quatro, respetivamente. Portanto, temos 𝑓 de menos três igual a oito e 𝑓 de menos dois igual a quatro.
Lembre-se da definição anterior de que a base 𝑏 é igual a 𝑓 de 𝑥 dividido por 𝑓 de 𝑥 menos um, independentemente do valor de 𝑥 que escolhermos. Portanto, podemos escolher o nosso valor de 𝑥 como menos dois. Então, 𝑥 menos um é menos três. Portanto, temos 𝑏 igual a 𝑓 de menos dois sobre 𝑓 de menos três. E substituindo estes valores obtidos no gráfico, obtemos 𝑏 igual a quatro sobre oito. Portanto, temos 𝑏 igual a um meio. E, portanto, 𝑓 de 𝑥 é igual a um meio elevado a 𝑥.
A seguir, vamos olhar para uma tabela que representa a função 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 para outro valor específico de 𝑏. Para 𝑥 igual a um, temos 𝑔 de 𝑥 igual a dois. Para 𝑥 igual a dois, temos 𝑔 de 𝑥 igual a quatro. Para 𝑥 igual a três, temos 𝑔 de 𝑥 igual a oito. E para 𝑥 igual a quatro, temos 𝑔 de 𝑥 igual a 16. Como os valores de 𝑥 na tabela diferem em uma unidade, poderemos utilizar o mesmo procedimento anterior para determinar o valor de 𝑏, determinando o quociente de quatro e dois ou oito e quatro ou 16 e oito. No entanto, desta vez, substituiremos o primeiro par de valores de 𝑥 e 𝑦 na tabela na regra 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥.
Portanto, substituindo um em 𝑥 e dois em 𝑔 de 𝑥, isto implica que dois é igual a 𝑏 elevado a um e, portanto, 𝑏 é igual a dois. Até agora, considerámos apenas funções exponenciais desta forma particular. Mas as funções exponenciais podem assumir uma forma mais geral do que esta. Podemos multiplicar a base por uma constante, 𝑎, e podemos multiplicar o expoente por uma constante, 𝛼, e adicionar uma constante a ele, 𝛽. E, finalmente, podemos adicionar uma constante no final da função, 𝑐. Estas são apenas as transformações lineares padrão de uma função em que 𝑎 alonga o gráfico da função ao longo do eixo O𝑦 por um fator de 𝑎, 𝛼 comprime o gráfico da função ao longo do eixo O𝑥 por um fator de 𝛼, 𝛽 desloca a função ao longo do eixo O𝑥 em menos 𝛽 e 𝑐 desloca a função ao longo do eixo O𝑦 em 𝑐.
Portanto, alguns outros exemplos de funções exponenciais podem incluir 𝑔 de 𝑥 igual a quatro vezes dois elevado a 𝑥 ou ℎ de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 mais um ou 𝑘 igual a nove elevado a quatro 𝑥 mais três. Para 𝑔 de 𝑥, a base ainda é dois e o expoente ainda é 𝑥. Para ℎ de 𝑥, a base é 𝑒 e o expoente é 𝑥. E para 𝑘 de 𝑥, a base é nove e o expoente é quatro 𝑥 mais três. Vejamos um exemplo de como determinar a base e o expoente de uma função exponencial.
Quais são a base e o expoente da função 𝑓 de 𝑥 igual a cinco elevado a 𝑥 menos cinco?
Lembre-se de que uma função exponencial na sua forma mais simples é da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, onde 𝑏 é a base e 𝑥 é o expoente. Sabemos que a base 𝑏 é um número real, tal que 𝑏 é maior do que zero e 𝑏 não é igual a um e o expoente 𝑥 pode ser qualquer número real. Na função dada, temos uma base de cinco e esta é elevada a 𝑥 menos cinco. Isto ainda verifica os critérios de uma função exponencial. Portanto, a base é cinco e o expoente é 𝑥 menos cinco.
No próximo problema, temos uma tabela de valores para uma função exponencial e é solicitado que determinemos a expressão da função.
Escreva uma expressão exponencial na forma 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 para os números na tabela. 𝑥 é igual a dois, quatro e cinco com valores de 𝑦 correspondentes nove sobre 16, 81 sobre 256 e 243 sobre 1024.
Lembre-se de que uma função exponencial na sua forma mais simples assume a forma de 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, onde 𝑏 é a base, um número real maior do que zero e diferente de um, e 𝑥 é o expoente, que pode ser qualquer número real. Portanto, precisamos de determinar o valor de 𝑏 a partir dos valores da tabela para resolver o problema. Vamos começar por substituir um dos pares de valores de 𝑥 e 𝑦 da tabela na equação 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥.
Substituindo em dois por 𝑥 e o seu valor de 𝑦 correspondente nove sobre 16, obtemos nove sobre 16 igual a 𝑏 ao quadrado. Resolvendo em ordem a 𝑏, obtemos 𝑏 igual a mais ou menos a raiz quadrada de nove sobre 16. E utilizando regras dos números irracionais, obtemos mais ou menos a raiz quadrada de nove sobre a raiz quadrada de 16. Isto simplifica para mais ou menos três quartos. E como 𝑏 deve ser maior do que zero, deve ser a raiz quadrada positiva. Portanto, 𝑏 é igual a três quartos. Substituindo este valor de 𝑏 na equação da função, obtemos a nossa resposta final 𝑦 igual a três quartos elevado a 𝑥.
Uma maneira de verificar a nossa resposta é verificar os outros valores da tabela. Substituindo os outros valores de 𝑥 e 𝑦, obtemos 81 sobre 256 igual a 𝑏 elevado a quatro e 243 sobre 1024 igual a 𝑏 elevado a cinco. Se dividirmos a segunda equação pela primeira, obteremos 243 sobre 1024 dividido por 81 sobre 256 igual a 𝑏 elevado a cinco sobre 𝑏 elevado a quatro. O segundo membro aqui simplifica para 𝑏 elevado a cinco menos quatro e 𝑏 elevado a cinco menos quatro é apenas 𝑏 elevado a um, que é apenas 𝑏. E considerando o quociente do primeiro membro, também obtemos três quartos.
No processo de verificação da nossa resposta, utilizamos a regra do quociente, que é uma das propriedades dos expoentes. E afirma que ao dividir expressões exponenciais com a mesma base, mantemos a base e determinamos a diferença dos expoentes. Ou seja, 𝑏 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑛 é igual a 𝑏 elevado a 𝑚 menos 𝑛, onde 𝑏 é a base e 𝑚 e 𝑛 são os expoentes. Por exemplo, utilizaremos a regra do quociente para mostrar que cinco elevado a oito sobre cinco elevado a quatro é igual a cinco elevado a oito menos quatro, o que é igual a cinco elevado a quatro.
No problema a seguir, dão-nos novamente uma tabela de valores para uma função exponencial e é solicitado que determinemos a expressão da função. Desta vez, no entanto, a equação está em uma forma diferente de 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥.
Escreva uma expressão exponencial na forma 𝑦 igual a 𝑎 vezes 𝑏 elevado a 𝑥 para os números na tabela. Para 𝑥 igual a zero, um, dois e três, os valores de 𝑦 correspondentes são 18, seis, dois e dois terços.
Neste problema, somos solicitados a escrever uma expressão exponencial na forma 𝑦 igual a 𝑎 vezes 𝑏 elevado a 𝑥 para os números na tabela. Portanto, devemos determinar os valores de 𝑎 e 𝑏 para resolver o problema. Vamos começar por substituir um dos pares de valores de 𝑥 e 𝑦 da tabela na equação 𝑦 igual a 𝑎 vezes 𝑏 elevado a 𝑥. Substituindo o primeiro par de valores, então 𝑥 igual a zero e 𝑦 igual a 18, obtemos 18 igual a 𝑎 vezes 𝑏 elevado a zero. Como qualquer base elevada à potência de zero é igual a um, a expressão simplifica para 𝑎 igual a 18.
Ainda precisamos de determinar o valor de 𝑏, no entanto, e podemos fazer isto substituindo por outro par de valores de 𝑥 e 𝑦. Então, substituindo no próximo par de valores, 𝑥 igual a um e 𝑦 igual a seis, obtemos seis igual a 𝑎 vezes 𝑏 elevado a um. Qualquer base 𝑏 elevada à potência de um é apenas ela mesma, então isto simplifica para seis igual a 𝑎𝑏. Já descobrimos que o valor de 𝑎 é igual a 18. Então, podemos substituir isto na expressão para dar seis igual a 18𝑏. Resolver 𝑏 dá 𝑏 igual a um terço. Substituir estes valores de 𝑎 e 𝑏 na expressão exponencial dá-nos a nossa resposta final 𝑦 igual a 18 vezes um terço elevado a 𝑥.
Podemos verificar a nossa resposta substituindo os dois últimos valores de 𝑥 da tabela na expressão para garantir que dão os valores de 𝑦 corretos. Substituindo 𝑥 igual a dois, obtemos 𝑦 igual a 18 vezes um terço ao quadrado, que é igual a 18 vezes um nono, o que é igual a dois, o que está correto. E substituir 𝑥 igual a três dá 𝑦 igual a 18 vezes um terço ao cubo, que é igual a 18 vezes um sobre 27, o que é igual a dois terços, o que está novamente correto.
No processo de resolução do último problema, utilizamos uma das propriedades dos expoentes chamada regra do expoente zero, que afirma que qualquer base elevada à potência de zero é igual a um. Ou seja, 𝑏 elevado a zero é igual a um, onde 𝑏 é a base. Por exemplo, três elevado a zero é igual a um.
No próximo problema, veremos como determinar a expressão algébrica de uma função exponencial a partir do seu gráfico.
Observe o gráfico fornecido e responda às seguintes questões. Determine a interseção com O𝑦 no gráfico apresentado. Como este gráfico representa uma função exponencial, todos os valores de 𝑦 são multiplicados por 𝑏 quando 𝑥 aumenta Δ𝑥. Determine 𝑏 para Δ𝑥 igual a um. Determine a expressão algébrica que descreve o gráfico na forma 𝑦 igual a 𝑎𝑏 elevado a 𝑥 sobre Δ𝑥.
Vamos começar por determinar a interseção com O𝑦 do gráfico. Podemos ver que a reta do gráfico passa pelo ponto zero, 10. Portanto, a interseção com O𝑦 é 10. Agora, vamos determinar o valor de 𝑏 na equação do gráfico. No problema, é-nos dito que o gráfico representa uma função exponencial na qual todos os valores de 𝑦 são multiplicados por 𝑏 quando 𝑥 aumenta Δ𝑥. E pedem-nos para determinar 𝑏 quando Δ𝑥 é igual a um. Já vimos que o gráfico passa pelo ponto zero, 10. E também podemos ver que passa pelo ponto um, 20. A variação em 𝑥 entre estes dois pontos é um, portanto satisfaz Δ𝑥 igual a um.
Dizem-nos que os valores de 𝑦 são multiplicados por 𝑏 quando 𝑥 aumenta em Δ𝑥. Se o valor de 𝑦 do nosso primeiro ponto é 𝑦 um e o valor de 𝑦 do nosso segundo ponto é 𝑦 dois, então 𝑏 é igual a 𝑦 dois sobre 𝑦 um que é igual a 20 dividido por 10, que é igual a dois. E, finalmente, precisamos de determinar a expressão que descreve o gráfico na forma 𝑦 igual a 𝑎𝑏 elevado a 𝑥 sobre Δ𝑥. Já temos Δ𝑥 igual a um e determinámos o valor de 𝑏 igual a dois. Portanto, 𝑦 é igual a 𝑎 vezes dois elevado a 𝑥 sobre um, que é apenas igual a 𝑎 vezes dois elevado a 𝑥. Para determinar o valor de 𝑎, podemos substituir os valores de 𝑥 e 𝑦 dos pontos que sabemos estarem no gráfico.
Já descobrimos que a interseção com O𝑦 é 10, então sabemos que o ponto zero, 10 está no gráfico. Isto significa que podemos substituir os valores de 𝑥 igual a zero e 𝑦 igual a 10 na equação que nos dá 10 igual a 𝑎 vezes dois elevado a zero. Pela regra do expoente zero, dois elevado a zero é igual a um. Portanto, isto dá 𝑎 igual a 10. Isto dá-nos a nossa expressão e a resposta final 𝑦 é igual a 10 vezes dois elevado a 𝑥.
No próximo problema, determinamos o valor de uma expressão calculando uma função exponencial.
Dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro elevado a 𝑥, determine o valor de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um menos 𝑓 de 𝑥 menos um sobre 𝑓 de 𝑥.
Neste problema, somos solicitados determinar o valor de uma expressão para 𝑥 sem nos darem um valor de 𝑥, sugerindo que esta expressão tem o mesmo valor, independentemente do valor de 𝑥. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro elevado a 𝑥. Portanto, 𝑓 de 𝑥 menos um é igual a quatro elevado a 𝑥 menos um. Portanto, 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um é igual a quatro elevado a 𝑥 sobre quatro elevado a 𝑥 menos um. Utilizando a regra do quociente, isto é igual a quatro elevado a 𝑥 menos 𝑥 menos um, que é igual a quatro elevado a quatro. Este também é o valor da base da função exponencial 𝑓 de 𝑥, que é definida por 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um.
A segunda parte da expressão é 𝑓 de 𝑥 menos um sobre 𝑓 de 𝑥, que é apenas o inverso do que acabámos de determinar, um sobre 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um. Portanto, isto é igual a um sobre quatro ou um quarto. Portanto, 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um menos 𝑓 de 𝑥 menos um sobre 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro menos um quarto, que é igual a 15 sobre quatro.
O problema anterior fez uso da regra dos expoentes negativos, que afirma que qualquer base elevada a uma potência negativa é igual a um sobre a base elevada ao simétrico do expoente. Ou seja, 𝑏 elevado a menos 𝑛 é igual a um sobre 𝑏 elevado a 𝑛, onde 𝑏 é a base e 𝑛 e menos 𝑛 são os expoentes. Por exemplo, seis elevado a menos dois é igual a um sobre seis elevado a dois, ou seis ao quadrado, que é igual a um sobre 36.
No problema final, determinaremos os valores da base de uma função exponencial que resultam na função decrescente sem saber a forma da função.
Considere uma função exponencial com base 𝑎. Para que valores de 𝑎 a função é decrescente?
Neste problema, temos uma função exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 elevado a 𝑥. Lembre-se de que a base 𝑎 pode ser dada por 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um. Lembre-se de que 𝑎 é um número real constante com 𝑎 maior que zero e diferente de um. Isto significa que, independentemente do valor de 𝑥, o valor de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um é sempre uma constante. Portanto, para qualquer valor de 𝑥, o aumento em 𝑓 de 𝑥 entre 𝑥 menos um e 𝑥 é sempre 𝑎.
Como uma função exponencial é sempre positiva, 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um sendo maior do que um implica que 𝑓 de 𝑥 é maior do que 𝑓 de 𝑥 menos um e, portanto, que a função é crescente. E da mesma forma, 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos um sendo menor do que um implica que 𝑓 de 𝑥 é menor do que 𝑓 de 𝑥 menos um e, portanto, que a função é sempre decrescente.
Como o primeiro membro de ambas as inequações é igual a 𝑎, isto significa que 𝑎 maior do que um implica que a função cresce e 𝑎 menor do que um implica que decresce. Lembre-se também de que 𝑎 deve ser maior do que zero, então isto dá-nos a nossa resposta final. 𝑎 maior do que um implica que a função é crescente e 𝑎 entre zero e um implica que a função é decrescente.
O último problema aludiu a outra propriedade das funções exponenciais, a sua monotonia. Uma função exponencial é uma função monótona ou uma função que é sempre crescente ou sempre decrescente. Se a base 𝑏 for maior do que um, é chamada de fator de crescimento e a função será sempre crescente. Se a base for maior do que zero e menor do que um, é chamada de fator de decaimento, e a função será sempre decrescente.
Vamos terminar recapitulando alguns pontos principais deste vídeo. Uma função exponencial tem a forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, onde 𝑏 é a base, que é um número real positivo diferente de um, e 𝑥 é o expoente, que pode ser qualquer número real. A regra do quociente afirma que, ao dividir expressões exponenciais com a mesma base, mantemos a base e determinamos a diferença dos expoentes. Ou seja, 𝑏 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑛 é igual a 𝑏 elevado a 𝑚 menos 𝑛. A regra do expoente zero afirma que qualquer base elevada à potência zero é igual a um. Ou seja, 𝑏 elevado a zero é igual a um.
A regra dos expoentes negativos afirma que qualquer base elevada a uma potência negativa é igual a um sobre a base elevada ao simétrico do expoente. Ou seja, 𝑏 elevado a menos 𝑛 é igual a um sobre 𝑏 elevado a 𝑛. Todas as funções exponenciais são funções monótonas; ou seja, sempre crescentes ou sempre decrescentes. Especificamente, se 𝑏 for maior do que um, é chamado de fator de crescimento e a função é sempre crescente. E se 𝑏 estiver entre zero e um, é chamado de fator de decaimento, e a função é sempre decrescente.
