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Vídeo da aula: Operações sobre Vetores em 2D Matemática • 3º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como realizar operações sobre vetores algebricamente, como adição, subtração de vetores e multiplicação escalar em duas dimensões.

15:08

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como realizar operações sobre vetores algebricamente, como adição de vetores, subtração de vetores, multiplicação escalar e determinação da norma de um vetor em duas dimensões. Em particular, examinaremos a combinação de duas ou mais destas operações. Vamos começar por recordar como realizamos as operações individuais.

Um vetor bidimensional tem uma componente horizontal e uma vertical, que descrevem o seu comprimento, ou norma e a sua direção. Estes vetores podem ser representados graficamente no plano de coordenadas 𝑥𝑦O, onde o vetor unitário 𝐢 é uma unidade no sentido positivo de O𝑥 e o vetor unitário 𝐣 é uma unidade no sentido positivo de O𝑦. O vetor 𝐮 igual a quatro 𝐢 mais três 𝐣 mover-se-á quatro unidades no sentido positivo de O𝑥 e três unidades no sentido positivo de O𝑦. Da mesma forma, o vetor 𝐯, que é igual a menos dois 𝐢 mais cinco 𝐣, mover-se-á duas unidades no sentido negativo de O𝑥 e cinco unidades no sentido positivo de O𝑦. Estes vetores também podem ser escritos em termos das suas componentes, como se mostra.

Ao adicionar ou subtrair dois vetores, tratamos as coordenadas na horizontal e na vertical separadamente. Adicionando os vetores 𝐮 e 𝐯, temos quatro, três mais menos dois, cinco. Como quatro mais menos dois é igual a dois e três mais cinco é oito, isto é igual ao vetor dois, oito. 𝐮 menos 𝐯 é igual a quatro, três menos dois, cinco. Subtrair as coordenadas correspondentes dá-nos o vetor seis, menos dois. Ao multiplicar um vetor por um escalar, multiplicamos cada uma das coordenadas por este escalar. Por exemplo, quatro 𝐮 é igual a quatro multiplicado pelo vetor quatro, três. Multiplicamos quatro por quatro e quatro por três, dando-nos o vetor 16, 12.

Finalmente, podemos calcular a norma de qualquer vetor recordando que se o vetor 𝐮 é igual a 𝑥, 𝑦, então a norma do vetor 𝐮 é igual à raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. No nosso exemplo, a norma do vetor 𝐮 é igual à raiz quadrada de quatro ao quadrado mais três ao quadrado. E como quatro ao quadrado é igual a 16 e três ao quadrado é igual a nove, isto é igual à raiz quadrada de 25, que é igual a cinco. Nos três exemplos a seguir, veremos como podemos utilizar diferentes combinações das quatro operações para resolver uma variedade de problemas que envolvem vetores.

Dado que o vetor 𝐀 é igual a menos quatro, menos um e vetor 𝐁 é igual a menos dois, menos um, escreva o vetor 𝐂, que é igual a menos oito, menos um, em termos do vetor 𝐀 e do vetor 𝐁.

Como queremos escrever o vetor 𝐂 em termos dos vetores 𝐀 e 𝐁, seja 𝐂 igual a uma constante 𝑝 multiplicada por 𝐀 mais uma constante 𝑞 multiplicada por 𝐁. Substituindo os valores dos vetores 𝐀, 𝐁 e 𝐂, temos menos oito, menos um igual a 𝑝 multiplicado por menos quatro, menos um mais 𝑞 multiplicado por menos dois, menos um. Lembramos que ao multiplicar qualquer vetor por um escalar ou uma constante, multiplicamos cada uma das coordenadas pelo escalar. Isto significa que 𝑝 multiplicado por menos quatro, menos um é igual a menos quatro 𝑝, menos 𝑝. Da mesma forma, 𝑞 multiplicado por menos dois, menos um é igual a menos dois 𝑞, menos 𝑞.

Agora temos a soma de dois vetores, e sabemos que isto é igual ao vetor menos oito, menos um. Ao adicionar dois vetores, simplesmente adicionamos as coordenadas correspondentes separadamente. Isto significa que o segundo membro da nossa equação é igual ao vetor menos quatro 𝑝 menos dois 𝑞, menos 𝑝 menos 𝑞. Como este deve ser igual ao vetor menos oito, menos um, podemos simplesmente igualar as coordenadas em ambos os membros da nossa equação. Temos duas equações: menos oito é igual a menos quatro 𝑝 menos dois 𝑞 e menos um é igual a menos 𝑝 menos 𝑞.

Podemos simplificar ambas as equações e eliminar os sinais negativos multiplicando a equação de cima por menos um meio e a segunda equação por menos um. Isto dá-nos duas equações simultâneas: quatro é igual a dois 𝑝 mais 𝑞 e um é igual a 𝑝 mais 𝑞. Uma maneira de resolver estas equações para calcular os valores de 𝑝 e 𝑞 é por eliminação. Subtraindo a equação dois da equação um, o 𝑞 é anulado e ficamos com 𝑝 é igual a três. Podemos então substituir este valor de 𝑝 na equação dois, dando-nos um igual a três mais 𝑞. Subtraindo três de ambos os membros desta equação, temos 𝑞 igual a menos dois. Agora temos valores para as constantes 𝑝 e 𝑞. E podemos, portanto, concluir que o vetor 𝐂 é igual a três 𝐀 menos dois 𝐁.

O nosso próximo exemplo é um problema mais complicado que também envolve multiplicação escalar e adição de vetores.

Numa rede, onde o vetor 𝐀𝐂 é igual a três, três; vetor 𝐁𝐂 é igual a 13, menos sete; e dois 𝐂 mais dois 𝐀𝐁 é igual a menos quatro, menos quatro, determine as coordenadas do ponto 𝐶.

Se começarmos por considerar os três pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 apresentados no diagrama, sabemos que o vetor 𝐀𝐂 é igual a três, três. Isto significa que nos movemos três unidades no sentido positivo de O𝑥 e três unidades no sentido positivo de O𝑦. O vetor 𝐁𝐂 é igual a 13, menos sete. Para viajar do ponto 𝐵 ao ponto 𝐶, movemo-nos 13 unidades no sentido positivo de O𝑥 e sete unidades no sentido negativo de O𝑦.

Podemos utilizar esta informação para determinar o vetor 𝐀𝐁. Uma maneira de viajar do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵 será pelo ponto 𝐶. Para fazer isto, viajaremos ao longo dos vetores 𝐀𝐂 e 𝐂𝐁. Sabemos que o vetor 𝐀𝐂 é três, três. O vetor 𝐂𝐁 terá o mesmo comprimento do vetor 𝐁𝐂, mas atua em sentido oposto. Isto significa que o vetor 𝐂𝐁 é igual a menos 13, sete. O vetor 𝐀𝐁 é, portanto, igual a três, três mais menos 13, sete.

Sabemos que podemos adicionar dois vetores adicionando as suas coordenadas correspondentes. Três mais menos 13 é igual a menos 10 e três mais sete é 10. Portanto, o vetor 𝐀𝐁 é igual a menos 10, 10. Se deixarmos o ponto 𝐶 ter coordenadas 𝑥, 𝑦, então o vetor posição do ponto 𝐶, também escrito 𝐎𝐂, é igual ao vetor 𝑥, 𝑦. Substituindo isto junto com o vetor 𝐀𝐁 na equação dada, temos dois multiplicado por 𝑥, 𝑦 mais dois multiplicado por menos 10, 10 é igual a menos quatro, menos quatro.

Lembramos que podemos multiplicar um vetor por um escalar, multiplicando cada uma das coordenadas por esse escalar. A nossa equação simplifica para dois 𝑥, dois 𝑦 mais menos 20, 20 é igual a menos quatro, menos quatro. Podemos adicionar os dois vetores no primeiro membro de modo que dois 𝑥 menos 20, dois 𝑦 mais 20 seja igual a menos quatro, menos quatro. E, finalmente, para calcular os valores de 𝑥 e 𝑦, podemos igualar as coordenadas correspondentes. Temos duas equações: dois 𝑥 menos 20 é igual a menos quatro e dois 𝑦 mais 20 é igual a menos quatro. Resolver a primeira equação dá-nos 𝑥 igual a oito. E resolvendo a segunda equação, temos 𝑦 igual a menos 12. Podemos, portanto, concluir que as coordenadas do ponto 𝐶 são oito, menos 12.

No nosso exemplo final, combinaremos as habilidades da adição vetorial, multiplicação escalar e determinação da norma de um vetor.

Se o vetor 𝐀 é igual a cinco, menos três e o vetor 𝐁 é igual a dois, um, então a norma de 𝐀 mais três 𝐁 é igual a quantas unidades de comprimento.

Nesta questão, temos os vetores bidimensionais 𝐀 e 𝐁 em termos das suas coordenadas em 𝑥 e em 𝑦. Somos solicitados calcular a norma do vetor 𝐀 mais três multiplicado pelo vetor 𝐁. Faremos isto em três etapas, primeiro utilizando a multiplicação escalar para calcular três 𝐁. Ao multiplicar qualquer vetor por um escalar, multiplicamos simplesmente cada uma das coordenadas individuais por esse escalar. Isto significa que três multiplicado pelo vetor dois, um dá-nos o vetor seis, três. O nosso próximo passo é adicionar isto ao vetor 𝐀. E faremos isto utilizando o processo de adição de vetores. Fazemos isto adicionando as coordenadas correspondentes separadamente, dando-nos o vetor 11, zero.

O nosso passo final é determinar a norma deste vetor. Como a coordenada em 𝑦 do nosso vetor é zero, há um atalho aqui. No entanto, começaremos por observar como calculamos a norma de qualquer vetor bidimensional. Se o vetor 𝐮 é igual a 𝑥, 𝑦, então a norma do vetor 𝐮 é igual à raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Determinamos a soma dos quadrados das coordenadas individuais e, em seguida, fazemos a raiz quadrada da nossa resposta. Isto significa que a norma do vetor 11, zero é igual à raiz quadrada de 11 ao quadrado mais zero ao quadrado. Isto é igual à raiz quadrada de 121, que é igual a 11. Se o vetor 𝐀 é igual a cinco, menos três, o vetor 𝐁 é igual a dois, um, então a norma de 𝐀 mais três 𝐁 é igual a 11 unidades de comprimento.

Como mencionámos anteriormente, existe um atalho para calcular a norma quando uma das coordenadas é igual a zero. Nesta questão, a coordenada em 𝑦 era igual a zero. Isto significa que o vetor 11, zero se move 11 unidades no sentido positivo. Como o módulo de um vetor é o seu comprimento, isto confirma que a norma do vetor 11, zero é 11 unidades de comprimento. Quando um vetor bidimensional tem uma das suas coordenadas igual a zero, a norma deste vetor será igual à coordenada diferente de zero.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos neste vídeo que podemos combinar as habilidades de adição e subtração vetorial, multiplicação escalar e determinação da norma de um vetor para resolver problemas que envolvem vetores bidimensionais. Fizemos isto recordando que se o vetor 𝐮 tem coordenadas 𝑥 índice um, 𝑦 índice um e o vetor 𝐯 tem coordenadas 𝑥 índice dois, 𝑦 índice dois, então podemos adicionar ou subtrair os nossos dois vetores adicionando ou subtraindo as coordenadas correspondentes. Multiplicar um vetor por um escalar ou uma constante 𝑘 envolve multiplicar cada uma das coordenadas por esse escalar. E a norma de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas individuais.

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