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Vídeo da aula: Operações em acontecimentos: diferença Mathematics

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a probabilidade da diferença de dois acontecimentos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a probabilidade da diferença de dois acontecimentos. Isto é escrito como a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵, onde 𝐴 e 𝐵 são dois acontecimentos tais que 𝐴 menos 𝐵 são todos os resultados que estão no acontecimento 𝐴, mas não no acontecimento 𝐵. Começaremos este vídeo introduzindo algumas notações importantes e fórmulas.

No diagrama de Venn apresentado que representa os acontecimentos 𝐴 e 𝐵, a probabilidade de 𝐴 é representada pela secção sombreada. A interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é representada num diagrama de Venn pela sobreposição dos círculos. Estes são os resultados que ocorrem no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵. A combinação destas duas definições leva-nos à fórmula da diferença, que afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto pode ser representado num diagrama de Venn, como se mostra.

Poderemos utilizar o mesmo método para provar que a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Num diagrama de Venn, isto pode ser apresentado sombreando a região que está no círculo 𝐵, mas não no círculo 𝐴. Agora, veremos alguns exemplos em que precisamos de utilizar a fórmula da diferença.

Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos. Dado que a probabilidade de 𝐴 é 0.3 e a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é 0.03, determine a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵.

Vamos começar por recordar a notação apresentada nesta questão. Em primeiro lugar, temos a interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵. Estes são todos os resultados que ocorrem no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵. Isto pode ser representado num diagrama de Venn, como se mostra. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é conhecida como a diferença e pode ser representada num diagrama de Venn, como apresentado. São todos os resultados no acontecimento 𝐴 que não estão no acontecimento 𝐵.

Lembramos que a fórmula da diferença afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Utilizando os valores dados na questão, a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual a 0.3 menos 0.03. Isto é igual a 0.27.

No nosso próximo exemplo, examinaremos um problema em contexto.

Uma bola é retirada ao acaso de um saco que contém 12 bolas, cada uma com um número único de um a 12. Suponha que 𝐴 seja o acontecimento de desenhar um número ímpar e 𝐵 é o acontecimento de desenhar um número primo. Determine a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵.

Nesta questão pedem-nos para determinar a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵. E podemos fazer isto utilizando a fórmula da diferença. Isto afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. É-nos dito na questão que há 12 bolas, cada uma com um número único de um a 12, como apresentado. Disseram-nos que 𝐴 é o caso de desenhar um número ímpar. Há seis destes no saco, os números um, três, cinco, sete, nove e 11. Isto significa que a probabilidade do acontecimento 𝐴 selecionar uma bola ímpar é de seis em 12 ou seis doze avos. Dividindo o numerador e o denominador por seis, vemos que isto simplifica para um meio.

Também nos é dito que 𝐵 é o caso de desenhar um número primo. Sabemos que um número primo tem exatamente dois fatores, o número um e ele próprio. Os números primos entre um e 12 são dois, três, cinco, sete e 11. Como há cinco destes, a probabilidade do acontecimento 𝐵 é cinco em 12 ou cinco doze avos. Nesta fase, temos a probabilidade de 𝐴, mas não temos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. A interseção de dois acontecimentos são todos os resultados que ocorrem em ambos os acontecimentos. Neste caso, os números três, cinco, sete e 11 são números ímpares e números primos. A probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é, portanto, igual a quatro doze avos, o que por sua vez simplifica para um terço.

Agora podemos calcular a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 subtraindo um terço de um meio. Utilizando frações equivalentes, isto é o mesmo que três sextos menos dois sextos. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é, portanto, igual a um sexto. No contexto, a probabilidade de desenhar um número ímpar que não seja um número primo é de um sexto.

Também poderemos representar isto indicando todos os resultados num diagrama de Venn. Já mencionámos que os números três, cinco, sete e 11 são ímpares e primos. Há dois outros números ímpares entre um e 12, os números um e nove. E há um outro número primo, o número dois. Os números quatro, seis, oito, 10 e 12 não são ímpares nem primos. Como resultado, escrevemos estes fora dos dois círculos que representam o acontecimento 𝐴 e o acontecimento 𝐵.

Dois dos números estão na secção representada pela probabilidade de 𝐴 menos 𝐵. Estes são os números um e nove, pois são ímpares, mas não primos. Isto confirma que a probabilidade de retirar uma destas bolas é de dois em 12, o que simplifica para um sexto.

Antes de olhar para o nosso próximo exemplo, vamos relembrar uma das nossas outras fórmulas de probabilidade. A probabilidade do complementar do acontecimento 𝐴, denotado 𝑃 de 𝐴 linha ou 𝑃 de 𝐴 barra, é a probabilidade do acontecimento 𝐴 não ocorrer. Isto satisfaz a fórmula de que a probabilidade de 𝐴 linha é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Agora veremos um exemplo em que precisamos de utilizar isto.

Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos. Dado que 𝐴 interseção 𝐵 é o conjunto vazio, a probabilidade de 𝐴 linha é 0.66 e a probabilidade de 𝐵 linha é 0.79, determine a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴.

Antes de tentar responder a esta questão, vamos recordar um pouco da notação. Sabemos que 𝐴 linha e 𝐵 linha são o complemento dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵, respetivamente. E também sabemos que a probabilidade do complementar do acontecimento 𝐴 é igual a um menos a probabilidade do acontecimento 𝐴. Utilizando as informações dadas, podemos, portanto, calcular a probabilidade do acontecimento 𝐴 junto com a probabilidade do acontecimento 𝐵.

Em primeiro lugar, temos 0.66 igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Reorganizando esta equação, temos a probabilidade de 𝐴 ser igual a um menos 0.66. Isto é igual a 0.34. Da mesma forma, 0.79 é igual a um menos a probabilidade do acontecimento 𝐵. A probabilidade de 𝐵 é, portanto, igual a um menos 0.79, que é igual a 0.21.

Também nos é dito que 𝐴 interseção 𝐵 é igual ao conjunto vazio. Isto significa que não há elementos no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵. E podemos, portanto, dizer que os dois acontecimentos são mutuamente exclusivos. E a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é, portanto, igual a zero. Ao representar isto num diagrama de Venn, não há sobreposição, como se mostra. Podemos preencher o facto de que a probabilidade do acontecimento 𝐴 é 0.34 e a probabilidade do acontecimento 𝐵 é 0.21. Podemos completar o diagrama de Venn preenchendo a probabilidade de que nem o acontecimento 𝐴 nem o acontecimento 𝐵 ocorram. Isto é igual a 0.45.

Somos solicitados determinar a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴. E utilizando a fórmula da diferença, sabemos que isto é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Substituindo os valores que conhecemos, isto é igual a 0.21 menos zero, que é apenas igual a 0.21. Isto leva-nos a uma regra importante. Se dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é simplesmente igual à probabilidade de 𝐵. Da mesma forma, a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴.

Antes de olhar para um exemplo final, vamos recordar a regra da adição de probabilidade. A regra da adição de probabilidade afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto pode ser representado utilizando diagramas de Venn, como se mostra. Vamos agora ver um exemplo final.

Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam acontecimentos num espaço de resultados que consiste em resultados igualmente prováveis. Dado que 𝐴 contém seis resultados, a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é três quartos, a probabilidade de 𝐵 é um meio e o número total de resultados é 20, determine a probabilidade de que apenas um dos acontecimentos 𝐴 ou 𝐵 ocorra.

Vamos começar por observar como podemos representar a probabilidade de que apenas um dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 ocorra num diagrama de Venn. A probabilidade de que apenas o acontecimento 𝐴 ocorra está pintado a rosa. Sabemos que isto pode ser escrito utilizando a fórmula da diferença. É a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵. E isto é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. A probabilidade de que apenas o acontecimento 𝐵 ocorra está pintado a azul. E isto é denotado pela probabilidade de 𝐵 menos 𝐴. Isto é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Para responder a esta questão, precisaremos de determinar a soma destes dois valores.

Vamos agora considerar as informações que temos nesta questão. Dizem-nos que existem 20 resultados no total e que o acontecimento 𝐴 contém seis deles. A probabilidade do acontecimento 𝐴 é, portanto, igual a seis de 20. Dividindo o numerador e o denominador por dois, isto simplifica para três décimas. Também nos é dito que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é de três quartos e a probabilidade de 𝐵 é de um meio. Agora temos as probabilidades do acontecimento 𝐴 e 𝐵, mas não a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.

Podemos calcular isto utilizando a regra da adição de probabilidade, que afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto pode ser reorganizado como se mostra. Substituindo os nossos valores, temos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 igual a três décimas mais um meio menos três quartos. As nossas três frações têm um denominador comum de 20. Portanto, podemos reescrever isto como seis sobre 20 mais 10 sobre 20 menos 15 sobre 20. Isto é igual a um sobre 20.

A probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é um vinte avos. Agora podemos utilizar este valor em conjunto com as probabilidades de 𝐴 e 𝐵 para calcular a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 e a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴. A probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual a três décimas menos um vinte avos. Isto é igual a cinco vinte avos. A probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é igual a um meio menos um vinte avos. E isto é igual a nove vinte avos. A probabilidade de que apenas um dos acontecimentos 𝐴 ou 𝐵 ocorra é, portanto, igual a cinco vinte avos mais nove vinte avos. Adicionar os nossos numeradores dá-nos catorze vinte avos, o que por sua vez simplifica para sete décimas ou 0.7. A probabilidade de que apenas um dos acontecimentos 𝐴 ou 𝐵 ocorra é de sete décimas.

Uma maneira alternativa de calcular isto será indicar o número de resultados no nosso diagrama de Venn. Como a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é um vinte avos e há um total de 20 resultados, há um resultado na interseção de 𝐴 e 𝐵. Disseram-nos que 𝐴 contém seis resultados. Portanto, cinco deles ocorrerão apenas no acontecimento 𝐴. Como a probabilidade do acontecimento 𝐵 é um meio, existem 10 resultados no acontecimento 𝐵. E nove deles devem ocorrer apenas no acontecimento 𝐵. Como nove mais um mais cinco é igual a 15, deve haver cinco resultados que não estão no acontecimento 𝐴 nem no acontecimento 𝐵. Isto confirma que 14 dos resultados estão em apenas um dos acontecimentos 𝐴 ou 𝐵. E 14 de 20 simplifica para sete décimas.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Neste vídeo, utilizámos a regra da diferença em probabilidade em conjunto com outras fórmulas de probabilidade para resolver vários problemas. A regra da diferença em probabilidade afirma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Para quaisquer dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵, também é verdade que a probabilidade de 𝐵 menos 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.

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