Vídeo: Encontrando os Valores das Variáveis que Fazem uma Função Definida por Partes Contínua em um Certo Ponto

Seja 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥² + 18 se 𝑥 ≠ 9, 𝑓 (𝑥) = −6𝑎 se 𝑥 = 9. Encontre o valor de 𝑎 que torna 𝑓 contínua em 𝑥 = 9.

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Transcrição do vídeo

Seja 𝑓 de 𝑥 igual 𝑎𝑥 ao quadrado mais 18 se 𝑥 não for igual a nove e menos seis 𝑎 se 𝑥 for igual a nove. Determine o valor de 𝑎 que torna 𝑓 contínua em 𝑥 igual a nove.

Esta questão pergunta-nos sobre a continuidade de uma função num ponto, então vamos escrever a definição de continuidade num ponto.

Uma função é contínua num ponto 𝑥 igual a 𝑐 se em primeiro lugar 𝑓 de 𝑐 existir. Em segundo lugar, se o limite quando 𝑥 tende para 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existir. E em terceiro lugar, se estas duas coisas forem iguais. Portanto, o limite quando 𝑥 tende para 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 é igual ao valor da função 𝑓 de 𝑐. Na nossa questão, o valor de 𝑐 é nove. E assim temos que determinar o nosso valor de 𝑎 para o qual 𝑓 de nove existe, primeiro que tudo. Em segundo lugar, que o limite quando 𝑥 tende para nove de 𝑓 de 𝑥 existe. E em terceiro lugar, estas duas coisas são iguais.

Então, vamos passar por essas etapas, uma por uma. A nossa primeira tarefa é mostrar que 𝑓 de nove existe. Olhando agora para a definição da nossa função, vemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos seis 𝑎 se 𝑥 for igual a nove. Outra maneira de escrever isso é dizer que 𝑓 de nove é igual a menos seis 𝑎. E isto, claro, existe para qualquer valor de 𝑎.

Passando ao segundo passo, temos que determinar os valores de 𝑎 para os quais o limite quando 𝑥 tende para nove de 𝑓 de 𝑥 existe. E fazemos isso calculando este limite. O valor deste limite depende apenas dos valores da função para os quais 𝑥 não é igual a nove; 𝑥 está a tender para nove, mas nunca é igual a nove no limite. E assim podemos usar a definição da função quando 𝑥 não é igual a nove, que é 𝑎𝑥 ao quadrado mais 18. E então nós temos esta linha de trabalho aqui, um limite quando 𝑥 tende a nove de 𝑓 de 𝑥 é igual a limite quando 𝑥 tende a nove de 𝑎𝑥 ao quadrado mais 18.

Agora, qualquer que seja o valor de 𝑎, 𝑎𝑥 ao quadrado mais 18 é um polinómio. E sabemos que, como os polinómios são contínuos, o limite do polinómio é igual ao valor do polinómio no ponto em questão. Assim, podemos substituir o valor nove em 𝑥 e obtemos 𝑎 vezes nove ao quadrado mais 18. E podemos simplificar isto para 81 𝑎 mais 18. Esse é o nosso limite a depender de 𝑎.

E podemos ver que completamos praticamente o segundo passo, porque qualquer que seja o valor de 𝑎, é claro que este limite existe. Então agora encontrámos tanto 𝑓 de nove quanto o limite quando 𝑥 tende para nove de 𝑓 de 𝑥, ambos a depender de 𝑎. Agora temos que determinar o valor de 𝑎 para o qual estas duas coisas são iguais. Isto é apenas uma questão de resolver esta equação linear aqui, então subtraímos 81𝑎 a ambos os membros. Dividimos ambos os membros por menos 87. E trocando ambos os membros e simplificando a nossa fração, obtemos 𝑎 igual a menos seis sobre 29. Este é o valor de 𝑎 para o qual a função 𝑓 de 𝑥 é contínua em 𝑥 é igual a nove.

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