Vídeo: Vetores, o Que São na Verdade?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Vetores, o Que São na Verdade?

09:51

Transcrição do vídeo

O bloco de construção fundamental para a álgebra linear é o vetor, por isso vale a pena ter certeza de que estamos todos na mesma página sobre o que é exatamente um vetor. Veja, em linhas gerais, que existem três ideias distintas, mas relacionadas, sobre vetores, que eu chamarei de perspetiva do estudante de física, a perspetiva do estudante de ciência da computação e a perspetiva do matemático. A perspetiva do estudante de física é que vetores são setas que apontam no espaço. O que define um determinado vetor é a sua norma e a direção que aponta, mas, contanto que estes dois factos sejam os mesmos, pode movê-lo e ainda tem o mesmo vetor.

Vetores que vivem no plano são bidimensionais, e aqueles que estão no espaço mais amplo em que você e eu vivemos são tridimensionais. A perspetiva da ciência da computação é que os vetores são listas ordenadas de números. Por exemplo, digamos que esteja a fazer algumas análises sobre preços de casas e os únicos recursos com os quais se importava eram os metros quadrados e preço. Pode modelar cada casa com um par de números: o primeiro a indicar os metros quadrados e o segundo a indicar o preço. Observe, a ordem importa aqui. No jargão, estaria a modelar casas como vetores bidimensionais, onde, neste contexto, “vetor” é praticamente uma palavra chique para “lista”, e o que o torna bidimensional é o facto de que o comprimento dessa lista é dois.

O matemático, por outro lado, procura generalizar estas duas visões, basicamente dizendo que um vetor pode ser qualquer coisa em que haja uma noção sensata de adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número, operações sobre as quais falarei mais adiante neste vídeo. Os detalhes desta visão são bastante abstratos, e eu realmente acho que é saudável ignorá-la até o último vídeo desta série, favorecendo um cenário mais concreto provisório, mas a razão pela qual eu a trouxe aqui é que ela sugere o facto que as ideias de adição de vetores e multiplicação por números desempenharão um papel importante em toda a álgebra linear.

Mas antes de falar sobre essas operações, vamos concentrar-nos num pensamento específico para ter em mente quando eu disser a palavra vetor. Dado o foco geométrico que estou a fazer aqui, sempre que introduzo um novo tópico que envolve vetores, quero que primeiro pense numa seta e, especificamente, pense nessa seta dentro de um sistema de coordenadas, como o plano O𝑥𝑦, com o seu início assente na origem. Isso é um pouco diferente da perspetiva do estudante de física, onde vetores podem estar livremente em qualquer lugar que desejarem no espaço. Na álgebra linear, é quase sempre o caso de o seu vetor estar enraizado na origem. Então, quando entender um novo conceito no contexto das setas no espaço, traduzi-lo-emos para o ponto de vista da lista de números, o que podemos fazer considerando as coordenadas do vetor.

Agora, embora eu tenha certeza de que muitos de vocês já estejam familiarizados com este sistema de coordenadas, vale a pena abordá-lo explicitamente, pois é nesse ponto em que a alternância entre as duas perspetivas da álgebra linear é importante. Focando a nossa atenção de momento em duas dimensões, tem uma linha horizontal, chamada de eixo O𝑥, e uma linha vertical, chamada de eixo O𝑦. O local onde se cruzam é ​​chamado de origem, que deve considerar como o centro do espaço e o início de todos os vetores. Depois de escolher uma escala arbitrária para representar um, faz marcas em cada eixo para representar essas distâncias. Quando eu quero transmitir a ideia do espaço 2D como um todo, o que verá aparecer muito nestes vídeos, eu estenderei estas marcas de escala para criar uma grelha de linhas, mas por agora, não nos ajudaria.

As coordenadas de um vetor são um par de números que basicamente dá instruções sobre como ir do início daquele vetor, na origem até à seta. O primeiro número indica a distância percorrida ao longo do eixo O𝑥, os números positivos indicando o movimento para a direita, os números negativos indicando o movimento para a esquerda e o segundo número indica a distância percorrida paralelamente ao eixo O𝑦, os números positivos indicando o movimento ascendente e os números negativos indicando movimento descendente. Para distinguir vetores de pontos, a convenção é escrever este par de números verticalmente com parêntesis à volta. Cada par de números fornece um e apenas um vetor, e cada vetor é associado a um e somente um par de números.

O que dizer em três dimensões? Bem, adiciona um terceiro eixo, chamado de eixo Oz, que é perpendicular a ambos os eixos O𝑥 e O𝑦. E, neste caso, cada vetor é associado a um terno de números ordenados: o primeiro diz a que distância se deve mover ao longo do eixo O𝑥, o segundo indica a distância a percorrer paralelamente ao eixo O𝑦, e o terceiro indica até onde se moverá paralelamente a este novo eixo Oz. Cada terno de números fornece um vetor único no espaço, e cada vetor no espaço dá-lhe exatamente um terno de números. Tudo bem, então de volta à adição de vetores e à multiplicação por números. Afinal de contas, todos os tópicos da álgebra linear vão centrar-se em torno destas duas operações. Felizmente, cada uma delas é bastante simples de definir.

Digamos que temos dois vetores: um a apontar para cima e um pouco para a direita e o outro a apontar para a direita e um pouco para baixo. Para adicionar estes dois vetores, mova o segundo para que o seu início fique na seta do primeiro. Então, se desenhar um novo vetor do início do primeiro até à seta do segundo, esse novo vetor será a soma deles. Esta definição de adição, a propósito, é praticamente a única vez na álgebra linear em que deixamos os vetores se afastarem da origem.

Agora, porque é isto é razoável? Porquê esta definição de adição e não outra? Bem, a forma que eu gosto de pensar sobre isto é que cada vetor representa um certo movimento, um passo com uma certa distância e direção no espaço. Se der um passo ao longo do primeiro vetor e a seguir dar um passo na direção e distância descritas pelo segundo vetor, o efeito geral é exatamente o mesmo que se se movesse ao longo da soma desses dois vetores. Poderia pensar nisso como uma extensão de como pensamos em adicionar números numa reta numérica. Uma forma de ensinarmos as crianças a pensar sobre isto, digamos com dois mais cinco, é pensar em mover dois passos para a direita, seguidos por outros cinco passos para a direita. O efeito geral é o mesmo que se tivesse dado apenas sete passos para a direita.

Na verdade, vamos ver como a adição de vetores se parece numericamente. O primeiro vetor aqui tem coordenadas um, dois. E o segundo tem coordenadas três, menos um. Quando considera a soma vetorial utilizando este método do triângulo, pode pensar num caminho de quatro etapas da origem até a seta do segundo vetor: caminhe uma unidade para a direita, depois duas para cima e depois três para a direita, finalmente uma para baixo. Reorganizando estes passos para que faça primeiro todos os movimentos para a direita e depois faça todos os movimentos verticais, pode ler dizendo: “primeiro mova-se um mais três para a direita, depois mova-se dois menos um para cima”, logo o novo vetor tem coordenadas um mais três e dois mais menos um.

No geral, a adição de vetores nesta conceção de lista de números parece combinar os seus termos e adicionar cada um deles. A outra operação vetorial fundamental é a multiplicação por um número. Agora esta é melhor compreendida apenas observando alguns exemplos. Se pegar no número dois e multiplicá-lo por um determinado vetor, significa esticar esse vetor para que ele seja duas vezes maior do que quando começou. Se multiplicar esse vetor por, digamos, um terço, significa que diminui o tamanho para que seja um terço do tamanho original. Quando multiplica por um número negativo, como menos 1.8, então o vetor primeiro é virado e depois esticado por esse fator de 1.8. Este processo de alongamento ou encolhimento ou, às vezes, inversão da direção de um vetor é chamado de redimensionamento. E sempre que pegar num número como dois ou um terço ou menos 1.8 agir assim, redimensionando um vetor, chama-o de escalar.

Na verdade, ao longo da álgebra linear, uma das principais coisas que os números fazem é redimensionar vetores, por isso é comum usar a palavra escalar de forma praticamente intercambiável com a palavra número.

Numericamente, estender um vetor por um fator de, digamos, dois, corresponde a multiplicar cada uma das suas coordenadas por esse fator, dois, portanto, na conceção de vetores como listas de números, multiplicar um dado vetor por um escalar significa multiplicar cada uma das coordenadas por esse escalar. Verá nos vídeos a seguir o que quero dizer quando digo que os tópicos de álgebra linear tendem a girar em torno destas duas operações fundamentais: adição de vetores e a multiplicação por um escalar. E falarei mais no último vídeo sobre como e por que o matemático pensa apenas nessas operações, independente e abstraído do que escolha para representar vetores.

Na verdade, não importa se pensa em vetores como sendo fundamentalmente setas no espaço, como eu estou sugerindo que faça, que por acaso tenham uma boa representação numérica, ou fundamentalmente como listas de números que por acaso tenham uma boa interpretação geométrica. A utilidade da álgebra linear tem menos a ver com uma dessas visões do que com a capacidade de traduzir entre elas. Isso dá ao analista de dados uma boa maneira de conceptualizar muitas listas de números de forma visual, o que pode esclarecer seriamente padrões nos dados e fornecer uma visão global do que certas operações fazem. E por outro lado, isso dá às pessoas, como físicos e programadores de computação gráfica, uma linguagem para descrever o espaço e a manipulação do espaço utilizando números que podem ser triturados e executados por um computador.

Quando faço animações matemáticas, por exemplo, começo por pensar sobre o que realmente está a acontecer no espaço e, em seguida, faço com que o computador represente as coisas numericamente, descobrindo, assim, onde colocar os pixéis na tela. E isso geralmente depende de muita compreensão de álgebra linear. Portanto, aqui estão as noções básicas sobre vetores e, no próximo vídeo, começaremos a abordar alguns conceitos bastante interessantes sobre vetores, como span, base e dependência linear. Até lá!

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