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Neste vídeo, aprenderemos como determinar integrais indefinidas de funções
trigonométricas. Começaremos por recordar a primeira parte do teorema fundamental do cálculo antes de
ver como isto nos ajuda a integrar várias funções trigonométricas e as aplicações
destes integrais. Começamos por declarar a primeira parte do teorema fundamental do cálculo. Neste teorema, seja uma 𝑓 função real contínua definida num intervalo fechado de 𝑎
a 𝑏. Então, 𝐹 maiúsculo é a função definida para todo o 𝑥 neste intervalo fechado por 𝐹
de 𝑥 igual ao integral de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡 calculado entre 𝑎 e 𝑥. Então, 𝐹 maiúsculo deve ser uniformemente contínuo neste intervalo fechado e
diferenciável no intervalo aberto 𝑎 a 𝑏 de modo que 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 seja
igual a 𝑓 de 𝑥 para todo o 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏.
Esta última parte diz que 𝐹 é a antiderivada da função 𝑓. A função cuja derivada é igual à função original. E, essencialmente, o que isto nos diz é que a integração é o processo inverso, a
diferenciação. Então, vamos começar por examinar a função 𝑓 de 𝑥 igual a seno de 𝑎𝑥 para
constantes reais 𝑎. E, claro, 𝑥 deve ser uma medida em radianos. Lembramos que a derivada de cos de 𝑎𝑥 é menos 𝑎 sen de 𝑎𝑥. Podemos, portanto, dizer que o integral indefinido de menos 𝑎 sen de 𝑎𝑥 calculados
em ordem a 𝑥 deve ser cos de 𝑥. E não esqueça que, como estamos a trabalhar com um integral indefinido, precisamos de
adicionar esta constante de integração; vamos chamá-la 𝑐.
Ok, este é um ótimo começo. Mas estamos realmente à procura de determinar o integral indefinido de sen de 𝑎𝑥 e
não menos 𝑎 sen de 𝑎𝑥. No entanto, é permitido tirar a constante negativa 𝑎 fora do integral. E vemos que menos 𝑎 vezes o integral indefinido do sen de 𝑎𝑥 é igual a cos de 𝑎𝑥
mais 𝑐. E como menos 𝑎 é apenas uma constante, dividimos os dois lados por menos 𝑎. E obtemos que o integral indefinido do sen de 𝑎𝑥 é menos um sobre 𝑎 vezes cos de
𝑎𝑥 mais 𝐶 maiúsculo. E pode perceber que eu mudei de um 𝑐 minúsculo para um 𝐶 maiúsculo. E isto é simplesmente porque dividimos a nossa constante original por outra
constante. Então, eu quero representar que este número na verdade mudou de valor.
Podemos repetir este processo para a função 𝑓 de 𝑥 igual a cos 𝑎 de 𝑥. Mais uma vez, 𝑎 é uma constante real e 𝑥 é medido em radianos. Vamos utilizar o facto de que a derivada do sen de 𝑎𝑥 é igual a 𝑎 cos de 𝑎𝑥. E podemos, portanto, dizer que o integral indefinido de 𝑎 cos de 𝑎𝑥 calculado em
ordem a 𝑥 deve ser sen 𝑎𝑥 mais a constante de integração 𝑐. Colocamos a constante 𝑎 fora do integral e o segundo membro da nossa equação
permanece inalterado. Finalmente, dividimos por 𝑎. E obtemos o integral de cos de 𝑎𝑥 calculado em ordem a 𝑥, sendo um sobre 𝑎 o sen
de 𝑎𝑥 mais 𝐶 maiúsculo.
Agora deve lembrar-se de que o processo de diferenciação das funções seno e cosseno
forma um ciclo. Ou seja, a derivada de sen 𝑥 é cos 𝑥. E se diferenciarmos novamente, obtemos menos sen 𝑥. Diferenciando novamente, obtemos menos cos de 𝑥. E diferenciando mais uma vez, voltamos ao início e obtemos o sen de 𝑥. Invertemos este ciclo para a integração, como apresentado. Vamos agora ver alguns exemplos demonstrando a integração das funções sen e cos.
Determine o integral indefinido de menos sen de 𝑥 menos nove cos de 𝑥 calculado em
ordem a 𝑥.
Pode ser útil recuperar as propriedades dos integrais antes de calcular este. Primeiramente, sabemos que o integral da soma de duas ou mais funções é realmente
igual à soma dos integrais dessas respetivas funções. E também sabemos que podemos colocar fatores constantes fora do integral e focar na
integração da expressão em 𝑥. Isso significa que podemos reescrever o nosso integral como menos o integral de sen
𝑥 calculado em ordem a 𝑥 menos nove vezes o integral de cos de 𝑥 calculado em
ordem a 𝑥. Isso significa que podemos reescrever o nosso integral na forma apresentada. E isso significa que podemos recordar os resultados gerais do integral das funções
seno e cosseno.
O integral indefinido do sen de 𝑎𝑥 é menos um sobre 𝑎 cos 𝑎𝑥 mais esta constante
𝑐. E o integral indefinido de cos de 𝑎𝑥 é um sobre 𝑎 vezes sen de 𝑎𝑥 mais 𝑐. Portanto, o nosso integral é menos menos cos de 𝑥 mais 𝐴 menos nove vezes o sen de
𝑥 mais 𝐵. Então, escolhi 𝐴 e 𝐵 aqui para mostrar que estas são constantes de integração
diferentes. Distribuindo os parênteses e combinando as nossas constantes numa constante,
determinamos o integral de menos sen 𝑥 menos nove cos de 𝑥 calculado em ordem a 𝑥
ser cos de 𝑥 menos nove sen de 𝑥 mais 𝑐.
Determine o Integral indefinido de menos oito sen de oito 𝑥 menos sete cos de cinco
𝑥 calculado em ordem a 𝑥.
Nesta questão, procuramos integrar a soma de duas funções em 𝑥. Começamos por lembrar o facto de que o integral da soma de duas ou mais funções é
realmente igual à soma dos integrais destas respetivas funções. Portanto, podemos escrever o nosso problema como o integral de menos oito sen de oito
𝑥 em ordem a 𝑥 mais o integral de menos sete cos de cinco 𝑥 d𝑥. Também sabemos que podemos colocar os fatores constantes fora do integral e focar na
integração de cada expressão em 𝑥. Portanto, podemos reescrever o nosso problema ainda mais como menos oito vezes o
integral de sen de oito 𝑥 em ordem a 𝑥 menos sete vezes o integral de cos de cinco
𝑥 em ordem a 𝑥.
A seguir, recordamos os resultados gerais do integral do seno e cosseno. O integral do sen de 𝑎𝑥 é menos um sobre 𝑎 cos de 𝑎𝑥 mais 𝑐. E o integral indefinido de cos de 𝑎𝑥 é um sobre 𝑎 sen de 𝑎𝑥 mais 𝑐. Integramos cada função, respetivamente, e vemos que o integral do sen de oito 𝑥 é
menos um oitavo cos de oito 𝑥 mais 𝐴. E o integral indefinido de cos de cinco 𝑥 é um quinto sem de cinco 𝑥 mais 𝐵. E escolhi 𝐴 e 𝐵, em oposição a apenas um valor de 𝑐, para mostrar que estas são
realmente constantes diferentes.
O nosso passo final é distribuir os parênteses. Menos oito vezes menos um oitavo de cos de oito 𝑥 é apenas cos de oito 𝑥. Menos sete vezes um quinto do sen de cinco 𝑥 é um menos sete quintos sen de cinco
𝑥. Finalmente, multiplicamos menos oito por 𝐴 e menos sete por 𝐵. E terminamos com esta nova constante 𝐶. E descobrimos que o integral que nos pediram é cos de oito 𝑥 menos sete quintos do
sen de cinco 𝑥 mais 𝐶.
Agora vamos considerar algumas derivadas alternativas. Lembramos que a derivada de tan 𝑎𝑥 é 𝑎 sec ao quadrado 𝑎𝑥. Agora, pode fazer pausa no vídeo por um momento e considerar o que isto nos diz sobre
o integral de sec ao quadrado 𝑎𝑥. Bem, vamos dar uma olhadela. Lembramos que a primeira parte do teorema fundamental do cálculo diz-nos
essencialmente que a integração é o processo inverso da diferenciação. E podemos ver então que o integral de 𝑎 sec ao quadrado 𝑎𝑥 calculado em ordem a 𝑥
deve ser tan de 𝑎𝑥 e uma vez que este é um integral indefinido mais 𝑐. Retiramos deste fator constante de 𝑎 e depois dividimos. E vemos que o integral de sec ao quadrado de 𝑎𝑥 calculado em ordem a 𝑥 é um sobre
𝑎 tan de 𝑎𝑥 mais 𝐶 maiúsculo.
Está fora do âmbito deste vídeo passar muito tempo a ver os outros integrais. Mas, utilizando o mesmo método, obtemos os seguintes integrais relativos às derivadas
das funções trigonométricas inversas. O integral de csc 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥 é menos um sobre 𝑎 csc 𝑎𝑥. O integral de sec 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 é um sobre 𝑎 sec 𝑎𝑥. E a derivada de csc ao quadrado 𝑎𝑥 é menos um sobre 𝑎 vezes cot de 𝑎𝑥. Agora, veremos alguns dos exemplos destes resultados e com que frequência a
identidade trigonométrica será necessária para nos ajudar a calcular estes
integrais.
Determine o integral indefinido de menos sec ao quadrado seis 𝑥 calculado em ordem a
𝑥.
Para responder a esta questão, é quase suficiente citar o resultado geral do integral
de sec ao quadrado de 𝑎𝑥. É um sobre 𝑎 vezes a tan de 𝑎𝑥. É sensato, no entanto, colocar um fator menos um fora do integral, como
apresentado. E quando o fazemos, obtemos a solução menos um vezes um sexto de tan seis 𝑥 mais
𝑐. E tudo o que resta é distribuir os parênteses. Menos um vezes um sexto de tan seis 𝑥 é menos um sexto tan de seis 𝑥. E menos um vezes 𝑐 dá-nos esta nova constante, 𝐶 maiúsculo. E assim descobrimos que o nosso integral indefinido é menos um sexto de tan de seis
𝑥 mais 𝐶.
Determine o integral indefinido de dois cos ao cubo de três 𝑥 mais um sobre nove cos
ao quadrado de três 𝑥 calculado em ordem a 𝑥.
À primeira vista, esta questão parece bastante complicada. No entanto, devemos observar que podemos realmente simplificar um pouco este
quociente. Invertemos essencialmente o processo que adotaríamos ao adicionar duas frações. E vemos que podemos escrever o quociente como dois cos ao cubo de três 𝑥 sobre nove
cos ao quadrado de três 𝑥 mais um sobre nove cos ao quadrado de três 𝑥. A primeira fração simplifica para dois nonos de cos de três 𝑥. E a seguir, para nos ajudar a identificar o que fazer a seguir, vamos reescrever a
segunda fração como um nono vezes um sobre cos ao quadrado de três 𝑥. Em seguida, lembramos que o integral da soma de duas ou mais funções é realmente
igual à soma dos integrais destas respetivas funções. E escrevemos isto como o integral de dois nonos de cos de três 𝑥 calculado em ordem
a 𝑥 mais o integral de um nono vezes um sobre cos ao quadrado de três 𝑥, novamente
calculado em ordem a 𝑥.
Também sabemos que podemos colocar fatores constantes fora do integral e focar na
integração da expressão em 𝑥. Então, escrevemos isto ainda mais como dois nonos vezes o integral de cos de três 𝑥
d𝑥 mais um nono vezes o integral de um sobre cos ao quadrado três 𝑥 d𝑥. Podemos citar o resultado geral para o integral de cos de 𝑎𝑥. É um sobre 𝑎 sen de 𝑎𝑥. E isso significa que o integral de cos de três 𝑥 é um terço sen de três 𝑥 mais uma
constante de integração. Vamos chamá-la 𝐴. Mas o que fazemos com o segundo integral? Bem, conhecemos a identidade trigonométrica um sobre cos de 𝑥 é igual a sec de
𝑥. E vemos que podemos reescrever um sobre cos ao quadrado de três 𝑥 como sec ao
quadrado três 𝑥. E a seguir, temos o resultado geral para o integral de sec ao quadrado 𝑎𝑥 d𝑥. É um sobre 𝑎 tan 𝑎𝑥 mais uma constante. E isso significa que podemos escrever o integral de sec ao quadrado de três 𝑥 como
um terço de sen de três 𝑥 mais outra constante de integração 𝐵.
Distribuímos os nossos parênteses e vemos que dois nonos vezes um terço sen de três
𝑥 é dois vinte e sete avos sen de três 𝑥. Da mesma forma, obtemos um nono vezes um terço de tan três 𝑥 para ser um vinte e
sete avos de tan de três 𝑥. E, finalmente, quando multiplicamos cada uma de nossas constantes por dois nonos e um
nono, respetivamente, terminamos com uma nova constante 𝐶. E descobrimos que o nosso integral é igual a dois vinte e sete avos de sen de três 𝑥
mais um vinte sete avos de tan de três 𝑥 mais 𝐶.
Consideraremos mais um exemplo que requer os integrais que vimos além de algumas
identidades trigonométricas.
Determine o integral indefinido de menos três tan ao quadrado oito 𝑥 vezes csc ao
quadrado oito 𝑥 calculado em ordem a 𝑥. A princípio, isso parece bastante complicado. No entanto, se nos lembrarmos de algumas das nossas identidades trigonométricas, isto
ficará um pouco melhor. Sabemos que tan 𝑥 é igual ao sen 𝑥 sobre cos de 𝑥. E também sabemos que csc 𝑥 é igual a um sobre sen 𝑥. Podemos, portanto, reescrever todo o nosso integrando como menos três vezes sen ao
quadrado oito 𝑥 sobre cos ao quadrado oito 𝑥 vezes um sobre sen ao quadrado oito
𝑥. E a seguir, percebemos que sen ao quadrado oito 𝑥 anula-se. Podemos colocar o fator menos três fora do integral sen para facilitar o próximo
passo. E temos um menos três vezes o integral de um sobre cos ao quadrado de oito 𝑥
d𝑥.
Mas sabemos que um sobre cos de 𝑥 é igual a sec de 𝑥. Portanto, o nosso integral se torna menos três vezes o integral de sec ao quadrado
oito 𝑥 calculado em ordem a 𝑥. Mas é claro que o integral de sec ao quadrado 𝑎𝑥, calculado em ordem a 𝑥, é um
sobre 𝑎 tan de 𝑎𝑥 mais uma constante de integração 𝑐. E assim vemos que o integral de sec ao quadrado de oito 𝑥 é um oitavo tan de oito 𝑥
mais 𝑐. Distribuímos nossos parênteses. E vemos que ficamos com três oitos negativos de tan de oito 𝑥 mais uma nova
constante, pois multiplicamos o nosso original por menos três. Vamos chamá-la de 𝐶 maiúsculo.
Neste vídeo, vimos que podemos utilizar o facto de que a integração é essencialmente
o processo inverso da diferenciação para calcular os integrais indefinidos do sen de
𝑎𝑥, cos de 𝑎𝑥 e sec ao quadrado de 𝑎𝑥. Também vimos que recordar certas identidades trigonométricas, como tan 𝑥 é igual a
sen 𝑥 sobre cos 𝑥 ou um sobre sen 𝑥 é igual a csc de 𝑥, pode facilitar o cálculo
de integrais.
