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Vídeo da aula: Inversa de uma Matriz 2 × 2 Mathematics • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como verificar se uma matriz 2 × 2 tem uma inversa e, em seguida, encontraremos sua inversa, se possível.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como verificar se uma matriz dois por dois possui uma inversa e, em seguida, encontraremos sua inversa, se possível. Para matrizes, não existe divisão. Podemos adicionar, subtrair e multiplicá-las, mas não podemos dividir matrizes. Existe, no entanto, um conceito relacionado que é chamado de inversão. E é extremamente útil para nos ajudar a encontrar o inverso de uma matriz e resolver equações matriciais. Dizemos que uma matriz 𝑛 por 𝑛, que é uma matriz quadrada, é invertível se existir uma segunda matriz quadrada 𝑛 por 𝑛 tal que o produto da matriz e sua inversa seja 𝐼, a matriz identidade. No caso de dois por dois, essa é a matriz um, zero, zero, um.

Agora, lembre-se, multiplicar matrizes não é comutativo. Isso não pode ser feito em qualquer ordem. No entanto, ao multiplicar uma matriz por sua inversa em qualquer ordem, sempre obteremos a matriz identidade. Observe, porém, que nem todas as matrizes têm uma inversa. Vamos ver o processo para encontrar o inverso de uma matriz dois por dois e ver quais critérios nossas matrizes precisam atender para garantir que tenham uma inversa. Dizemos que para uma matriz dois por dois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, sua inversa é encontrada multiplicando um sobre o determinante de 𝐴 pela matriz dois por dois 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎. Onde o determinante de 𝐴 é o produto dos elementos superior esquerdo e inferior direito menos o produto dos elementos superior direito e inferior esquerdo.

Observe também que, para passar da matriz dois por dois 𝐴 para a matriz dois por dois, o inverso de 𝐴, trocamos esses elementos e mudamos o sinal deles. Então, o que esta última parte da fórmula significa para encontrar o inverso de uma matriz 𝐴? Bem, sabemos que um dividido por zero é indefinido. Dizemos então que se o determinante da matriz é zero, ele não é invertível; não tem inverso. Também é importante notar que apenas matrizes quadradas são invertíveis. Então, vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

A matriz três, um, menos três, menos um é invertível?

Lembre-se, para uma matriz dois por dois 𝐴 dada por 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, o inverso de 𝐴 é um sobre o determinante de 𝐴 vezes 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎, onde o determinante de 𝐴 é igual para 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Dizemos que o determinante da matriz não existe. Em outras palavras, 𝐴 não é invertível se seu determinante for igual a zero. Então, tudo o que precisamos fazer para estabelecer se uma matriz é invertível é calcular seu determinante e ver se ele é igual a zero. Então, vamos encontrar o determinante da matriz três, um, menos três, menos um. E usamos essas barras de cada lado da matriz para representar seu determinante.

O determinante é encontrado subtraindo o produto dos elementos superior direito e inferior esquerdo do produto do canto superior esquerdo e inferior direito. Então, aqui, 𝑎 vezes 𝑑 são três multiplicados por menos um. Em seguida, subtraímos 𝑏 multiplicado por 𝑐. Isso é um multiplicado por menos três. E assim, nosso determinante é três multiplicado por menos um menos um multiplicado por menos três. São menos três menos menos três, que são menos três mais três, que é igual a zero. Então, o determinante da nossa matriz três, um, menos três, menos um é zero. Podemos, portanto, dizer que a matriz não tem inversa. E, portanto, a resposta a essa pergunta é não, não é invertível.

Em nosso próximo exemplo, estenderemos essa ideia sobre os critérios de inversibilidade da matriz.

Dado que a matriz sete, um, menos sete, 𝑎 é invertível, o que deve ser verdade sobre 𝑎?

Lembre-se, para uma matriz quadrada 𝐴 igual a 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ser invertível, seu determinante não deve ser igual a zero. Agora, para essa matriz, seu determinante é 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Então, vamos encontrar uma expressão para o determinante de nossa matriz. É o produto dos elementos superior esquerdo e inferior direito, que são sete vezes 𝑎 ou sete 𝑎, menos o produto dos elementos superior direito e inferior esquerdo. Isso é um multiplicado por menos sete. Então, o determinante da nossa matriz é sete 𝑎 menos menos sete, que podemos escrever como sete 𝑎 mais sete.

Somos informados de que nossa matriz é invertível, portanto, seu determinante não pode ser igual a zero. Em outras palavras, sete 𝑎 mais sete não podem ser iguais a zero. Precisamos encontrar os valores de 𝑎 de modo que essa expressão não seja igual a zero. Então, vamos resolver a inequação. Vamos resolvê-lo como resolver uma equação normal. Mas, em vez de nossa resposta ser 𝑎 igual a alguma constante, sabemos que 𝑎 não será igual ao resultado.

Vamos começar subtraindo sete de ambos os lados. Quando o fazemos, descobrimos que sete 𝑎 não será igual a menos sete. Em seguida, dividimos por sete e descobrimos que 𝑎 não pode ser igual a menos um. Então, se 𝑎 é igual a menos um, a matriz não tem inversa. Então, para ser invertível, 𝑎 não pode ser igual a menos um.

Em nosso próximo exemplo, veremos como estabelecer se duas matrizes são inversas multiplicativas uma da outra.

As matrizes são um, dois, três, quatro e um, um meio, um terço e um quarto inversos multiplicativos uma da outra?

Vamos nos lembrar do que queremos dizer com a frase inversa multiplicativa. Dizemos que uma matriz 𝑛 por 𝑛, que é uma matriz quadrada, é invertível se existir uma segunda matriz 𝑛 por 𝑛 tal que o produto da matriz e seu inverso em qualquer ordem seja 𝐼, onde 𝐼 é a identidade matriz. No caso de matrizes de identidade dois por dois, isso é um, zero, zero, um. Então, poderíamos responder a essa pergunta de duas maneiras. Poderíamos encontrar o inverso de cada matriz e verificar se ela corresponde ao original da outra matriz. Alternativamente, poderíamos encontrar o produto das matrizes e ver se obtemos a matriz identidade. Vejamos o último método.

Vamos multiplicar um, dois, três, quatro por um, um meio, um terço, um quarto. E nos lembramos de que, para isso, começamos encontrando o produto escalar dos elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da segunda. Então, esse é o produto escalar de um, dois e um, um terço. Isso é um multiplicado por um mais dois multiplicado por um terço. São cinco terços. Em seguida, encontramos o produto escalar dos elementos na primeira linha de nossa primeira matriz e da segunda coluna em nossa segunda matriz. Então, isso é um multiplicado por um meio mais dois multiplicado por um quarto, que é um.

Agora, encontramos o produto escalar dos elementos na segunda linha de nossa primeira matriz e na primeira coluna de nossa segunda. Isso é três vezes um mais quatro vezes um terço, que é 13 sobre três. Finalmente, o produto escalar de três, quatro e um meio, um quarto. Isso é três vezes um meio mais quatro vezes um quarto, que é cinco sobre dois. E assim, vemos que quando multiplicamos a matriz um, dois, três, quatro pela matriz um, um meio, um terço, um quarto, obtemos uma matriz dois por dois de cinco terços, um, treze terços e cinco sobre dois. Isso claramente não é igual à matriz identidade um, zero, zero, um. E assim, podemos dizer não, as duas matrizes não são inversas multiplicativas uma da outra.

Vamos agora calcular o inverso multiplicativo de uma matriz dois por dois.

Encontre o inverso multiplicativo da matriz 𝐴 igual a menos quatro, menos 10, três, cinco, se possível.

Lembre-se, para encontrar o inverso multiplicativo ou o inverso de uma matriz dois por dois 𝐴 igual a 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, multiplicamos um sobre o determinante de 𝐴 pela matriz 𝑑, menos 𝑐, menos 𝑏, 𝑎. Lembre-se de que isso significa que se o determinante de 𝐴 for igual a zero, estamos realizando o cálculo um dividido por zero, que é indefinido. E isso significa que o inverso não existe. Então, vamos começar calculando o determinante da nossa matriz 𝐴 igual a menos quatro, menos 10, três, cinco.

Para encontrar seu determinante, multiplicamos o elemento no canto superior esquerdo pelo elemento no canto inferior direito. E então subtraímos o produto dos elementos no canto superior direito pelo canto inferior esquerdo. Então, o determinante da nossa matriz é menos quatro vezes cinco menos menos 10 vezes três. Isso é menos 20 menos menos 30, o que é menos 20 mais 30. E assim vemos que o determinante da nossa matriz 𝐴 é 10. Isso claramente não é igual a zero. Então, o inverso da nossa matriz 𝐴 existe. A fórmula nos diz para multiplicar um sobre o determinante de 𝐴, de modo que é um sobre 10, por uma matriz de dois por dois que é encontrada trocando os elementos no canto superior esquerdo e no canto inferior direito e depois mudando o sinal dos outros dois elementos.

Então, o inverso de 𝐴 é um décimo vezes cinco, 10, menos três, menos quatro. E sabemos que podemos multiplicar uma matriz por um escalar, simplesmente multiplicando cada um de seus elementos individuais. Um décimo vezes cinco são cinco décimos. Um décimo vezes 10 é dez décimos. Um décimo vezes menos três é menos três décimos. E um décimo vezes menos quatro é menos quatro décimos. Tudo o que resta para calcular o inverso multiplicativo de nossa matriz 𝐴 é simplificar cada uma dessas frações. E assim, vemos que o inverso da nossa matriz 𝐴 é um meio, um, menos três sobre 10, menos dois quintos.

Em nosso próximo exemplo, consideraremos como combinamos esse processo com outra operação em matrizes.

Considere as matrizes 𝐴 e 𝐵. Determine o inverso de 𝐴 mais 𝐵. Aqui, 𝐴 é dado como a matriz menos três, menos dois, menos cinco, menos sete. E 𝐵 é menos um, dois, oito, nove.

Esta expressão aqui significa encontrar o inverso da soma dessas duas matrizes. Então, vamos simplesmente começar calculando a soma de 𝐴 e 𝐵. Fazemos isso adicionando os elementos individuais em cada linha e cada coluna. Portanto, o elemento na primeira linha e na primeira coluna é menos três mais menos um, que é menos quatro. O segundo elemento da primeira linha é menos dois mais dois, que é zero. Em seguida, adicionamos menos cinco e oito para obter três. E, finalmente, adicionamos menos sete e nove para obter dois. Então, a soma de nossas duas matrizes é a matriz dois por dois menos quatro, zero, três, dois.

Agora precisamos encontrar o inverso dessa matriz. E assim, lembramos que para uma matriz dois por dois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, seu inverso é um sobre o determinante de 𝐴 vezes 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎. Agora, o determinante de 𝐴 é na verdade 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. É o produto dos elementos no canto superior esquerdo e inferior direito da nossa matriz menos o produto dos elementos no canto superior direito e no canto inferior esquerdo. Observe, é claro, que isso significa que se o determinante for igual a zero, estamos realizando o cálculo um dividido por zero, que é indefinido. E assim, nossa matriz não tem inversa.

Então, vamos começar calculando o determinante da nossa matriz 𝐴 mais 𝐵. É menos quatro vezes dois menos zero vezes três, o que é simplesmente menos oito. Então, sabemos que o inverso da soma de nossas duas matrizes existe, e agora estamos prontos para resolvê-lo. É um sobre o determinante da nossa matriz, então um sobre menos oito. E então trocamos o elemento no canto superior esquerdo pelo elemento no canto inferior direito e mudamos o sinal dos outros dois elementos. Então, o inverso de 𝐴 mais 𝐵 é um sobre menos oito vezes dois, zero, menos três, menos quatro. Agora, é claro, um dividido por menos oito é o mesmo que menos um oitavo. E sabemos que podemos multiplicar uma matriz por um escalar, multiplicando cada um de seus elementos individuais.

Menos um oitavo multiplicado por dois é meos um quarto ou menos 0,25. Menos um oitavo multiplicado por zero é, naturalmente, zero. Em seguida, multiplicamos menos um oitavo por menos três. Bem, menos um multiplicado por menos um é um positivo. Então, temos três oitavos, que é 0,375. Finalmente, multiplicamos menos quatro por menos um oitavo e obtemos um meio ou 0,5. E assim, o inverso da nossa matriz 𝐴 mais 𝐵 é menos 0,25, zero, 0,375 e 0,5. Observe, é claro, que poderíamos verificar nossa solução garantindo que quando encontrarmos o produto da matriz 𝐴 mais 𝐵 e sua inversa, obteremos a matriz identidade. Essa é a matriz um, zero, zero, um.

Em nosso exemplo final, veremos o que queremos dizer quando dizemos que uma matriz é singular e como essa definição pode nos ajudar a resolver problemas.

Encontre o conjunto de valores reais de 𝑥 que formam a matriz dois por dois 𝑥 menos três, oito, dois, 𝑥 mais três singular.

Vamos começar definindo a palavra singular quando se trata de matrizes. Dizemos que uma matriz é singular se não for invertível; não tem inverso. Sabemos que uma matriz é invertível se seu determinante não for igual a zero, e o inverso também é verdadeiro. Então, em outras palavras, uma matriz é singular se seu determinante é igual a zero. Nesse caso, então, precisamos encontrar o conjunto de valores reais de 𝑥 de modo que o determinante de nossa matriz seja igual a zero. O determinante de uma matriz dois por dois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 é 𝑎𝑑 menos 𝑏𝑐. Subtraímos o produto dos elementos no canto superior direito e no canto inferior esquerdo do produto daqueles no canto superior esquerdo e no canto inferior direito.

Então, neste caso, isso é 𝑥 menos três vezes 𝑥 mais três menos oito vezes dois. Se distribuirmos esses parênteses, obtemos 𝑥 vezes 𝑥, que é 𝑥 ao quadrado, mais três 𝑥 menos três 𝑥 menos três vezes três, que é nove. Isso simplifica para 𝑥 ao quadrado menos nove. E oito multiplicado por dois são 16. Portanto, o determinante da nossa matriz é 𝑥 ao quadrado menos nove menos 16, que é 𝑥 ao quadrado menos 25. Estamos tentando encontrar o conjunto de valores de 𝑥 que tornam nossa matriz singular. Em outras palavras, quais valores de 𝑥 tornam o determinante zero? Então, vamos definir nossa expressão para o determinante igual a zero e resolver para 𝑥. Ou seja, 𝑥 ao quadrado menos 25 é igual a zero.

Adicionando 25 a ambos os lados desta equação dá 𝑥 ao quadrado é igual a 25. E então vamos resolver a raiz quadrada de ambos os lados de nossas equações, lembrando-se de resolver a raiz quadrada positiva e negativa de 25. Isso dá 𝑥 é igual a mais ou menos cinco. Podemos usar esses colchetes para nos ajudar a representar o conjunto de valores que tornam nossa matriz singular. Eles são cinco e menos cinco. Observe que, neste estágio, poderíamos verificar nossas soluções substituindo cada valor de 𝑥 em nossa matriz original e, em seguida, verificando se o determinante é de fato igual a zero.

Vamos agora resumir os principais pontos deste vídeo. Vimos que uma matriz 𝑛 por 𝑛, uma matriz quadrada, é invertível se existir uma segunda matriz tal que o produto dessa matriz e sua inversa seja 𝐼, a matriz identidade. Vimos que se uma matriz dois por dois é definida como 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, então seu inverso é um sobre o determinante de 𝑎 vezes a matriz 𝑑, menos 𝑏, menos 𝑐, 𝑎. E nós, é claro, calculamos o determinante de 𝐴 encontrando o produto de 𝑎𝑑 e subtraindo o produto de 𝑏𝑐. Finalmente, vimos que uma matriz é considerada singular se não tiver uma inversa. Em outras palavras, se o determinante dessa matriz for igual a zero.

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