Vídeo: Integração Numérica: A Regra dos Trapézios

Neste vídeo, aprenderemos como aproximar integrais definidos utilizando a regra dos trapézios e a estimar o erro quando a utilizamos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como aproximar integrais definidos utilizando a regra dos trapézios e a estimar o erro quando a utilizamos. Provavelmente já viu que a área exata entre uma curva e o eixo O𝑥 pode ser determinada calculando um integral definido da função que descreve essa curva entre os dois pontos nos quais está interessado. Ao aproximar os integrais e, portanto, a área, geralmente utilizamos retângulos. São conhecidos como as somas do ponto médio e somas de Riemann. Neste vídeo, investigaremos como a utilização de trapézios geralmente oferece uma aproximação melhor do que as somas dos retângulos que utilizam o mesmo número de subdivisões. E depois deduzimos uma fórmula para o que é comumente conhecido como regra dos trapézios.

Vamos imaginar que queremos aproximar a área entre a curva dada pela função 𝑓 de 𝑥 igual a oito menos dois 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 e o eixo O𝑥. Limitado pelas retas dadas por 𝑥 igual a zero e 𝑥 igual a dois. Nesta altura, temos alguns métodos diferentes. Podemos utilizar uma soma do ponto médio, na qual dividimos a área em retângulos. Digamos duas destas e determinar a altura do retângulo como o valor da função no ponto médio de cada intervalo. Bem, este é um método. Mas vamos considerar a forma da curva. Não faria sentido escolher uma forma diferente de um retângulo? Bem, podemos realmente tentar trapézios.

Vamos supor que queremos utilizar quatro subintervalos agora. Os nossos trapézios parecer-se-iam com algo assim. Observe que iso realmente parece fornecer uma aproximação melhor do que a utilização de retângulos. E podemos utilizar a fórmula da área do trapézio para calcular a área total entre a curva e o eixo O𝑥. Isso é um meio vezes 𝑎 mais 𝑏 vezes ℎ. Em que 𝑎 e 𝑏 são os comprimentos dos lados paralelos do trapézio. E ℎ é a altura entre eles. Podemos ver por observação que a altura de cada um dos nossos trapézios é igual à largura do subintervalo. Aqui, é 0.5 unidades.

Podemos utilizar a equação da nossa curva para calcular os comprimentos de cada um dos lados paralelos. E pode ser útil incluir uma tabela nesta fase. Um pouco contra-intuitivamente com quatro subintervalos, teremos cinco colunas. E, de facto, é sempre este o caso. Teremos sempre mais uma coluna que o número de subintervalos. O comprimento do primeiro lado paralelo no primeiro trapézio é dado por 𝑓 de zero. Isto é oito menos dois vezes zero ao quadrado mais três vezes zero, que é oito. O segundo lado paralelo neste primeiro trapézio é oito menos dois vezes 0.5 ao quadrado mais três vezes 0.5, que é nove. 𝑓 de um é oito menos dois vezes um ao quadrado mais três vezes um, o que, apesar de um gráfico mal desenhado, também é nove. E de maneira semelhante, obtemos 𝑓 de 1.5 por ser esta altura aqui. E é oito. E 𝑓 de dois por ser esta altura aqui. E é seis.

Vamos agora calcular a área de cada um dos trapézios. O primeiro trapézio tem uma área de um meio vezes oito mais nove vezes 0.5, ou seja, 4.25 unidades quadradas. O segundo tem uma área de um meio vezes nove mais nove vezes 0.5, ou seja, 4.5 unidades quadradas. O terceiro tem uma área de um meio vezes nove mais oito vezes 0.5, que é mais um vezes 4.25. E o nosso trapézio final tem uma área de um meio vezes oito mais seis vezes 0.5, que é de 3.5 unidades quadradas. A soma destes é 16.5. E sabemos que comumente utilizamos integração definida para calcular a área sob a curva. Portanto, podemos dizer que uma aproximação ao integral definido calculado entre zero e dois de oito menos dois 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 é igual a 16.5. Bem, está tudo bem. Mas pode estar a pensar, certamente deve haver uma maneira mais rápida de realizar este cálculo. E teria sorte; há sim. Vamos considerar uma função genérica 𝑓 de 𝑥 e dividi-la em 𝑛 subintervalos.

Diremos que a altura de cada trapézio é Δ𝑥. Vimos que os comprimentos dos lados paralelos do primeiro trapézio são determinados substituindo o nosso primeiro valor de 𝑥 e nosso segundo valor de 𝑥 na função. Então, podemos dizer que 𝑎 um é igual um meio vezes 𝑓 de 𝑥 zero mais 𝑓 de 𝑥 um vezes Δ𝑥. Da mesma forma, o nosso segundo trapézio terá uma área de um meio vezes 𝑓 de 𝑥 um mais 𝑓 de 𝑥 dois vezes Δ𝑥. O nosso terceiro terá uma área de um meio vezes 𝑓 de 𝑥 dois mais 𝑓 de 𝑥 três vezes Δ𝑥. E continue assim até ao 𝑛-ésimo trapézio, que terá uma área de um meio vezes 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um mais 𝑓 de 𝑥 𝑛 vezes Δ𝑥.

A área total sob a curva e, portanto, uma estimativa para o integral definido de 𝑓 de 𝑥 entre o primeiro valor de 𝑥 e o último valor 𝑥 é a soma destes valores. Ao determinar a sua soma, podemos fatorizar um meio e Δ𝑥. E obtemos que a área total dos trapézios Δ𝑥 sobre dois vezes 𝑓 de 𝑥 zero mais 𝑓 de 𝑥 um mais a outro 𝑓 de 𝑥 um. Mais tudo até 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um mais outro 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um mais 𝑓 de 𝑥 𝑛.

Agora podemos simplificar um pouco mais para obter a fórmula geral para a regra dos trapézios utilizando 𝑛 subintervalos. Combinamos todos os 𝑓 de 𝑥 um, todos os 𝑓 de 𝑥 dois, até todos os 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um. A regra é Δ𝑥 sobre dois vezes 𝑓 de 𝑥 zero mais 𝑓 de 𝑥 𝑛 mais dois vezes tudo o resto. 𝑓 de 𝑥 um mais 𝑓 de 𝑥 dois até 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um. E Δ𝑥 pode ser obtido com muita facilidade. É 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛, onde 𝑎 e 𝑏 são o início e o fim do nosso intervalo. E os nossos valores para 𝑥 índice 𝑖 são determinados adicionando 𝑖 lotes de Δ𝑥 ao limite inferior do nosso intervalo. Isso é 𝑎 mais 𝑖Δ𝑥. Agora, vamos dar uma olhadela na aplicação desta regra.

Utilize a regra dos trapézios para estimar o integral definido entre zero e dois de 𝑥 ao cubo em ordem a 𝑥 utilizando quatro subintervalos.

Lembre-se, a regra dos trapézios diz que podemos determinar uma aproximação o integral definido entre os limites de 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 utilizando o cálculo Δ𝑥 sobre dois vezes 𝑓 de 𝑥 zero mais 𝑓 de 𝑥 𝑛 mais dois lotes de 𝑓 de 𝑥 um mais 𝑓 de 𝑥 dois até 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um. Onde Δ𝑥 é igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. E 𝑥 índice 𝑖 é igual a 𝑎 mais 𝑖 vezes Δ𝑥.

Vamos analisar isto e começar por calcular o valor de Δ𝑥. Contextualmente, Δ𝑥 é a largura de cada um dos nossos subintervalos. Neste caso, estamos a trabalhar com quatro subintervalos. Então, poderíamos dizer que 𝑛 é igual a quatro. 𝑎 é o limite inferior do nosso integral. Então 𝑎 é ​​igual a zero, onde 𝑏 é o limite superior. E é igual a dois. Δ𝑥 é, portanto, dois menos zero sobre quatro, que é um meio ou 0.5. Os valores de 𝑓 de 𝑥 zero e 𝑓 de 𝑥 um e assim por diante exigem um pouco mais de trabalho. Mas podemos tornar isto o mais simples possível acrescentando uma tabela.

É útil lembrar que haverá sempre 𝑛 mais uma coluna na tabela. Então aqui estão quatro mais uma, que são cinco. Temos cinco colunas na nossa tabela. Os valores de 𝑥 vão de 𝑎 a 𝑏. Isto é zero a dois. E os intermédios são determinados adicionando repetidamente Δ𝑥, que é 0.5, a 𝑎, que é zero. Isso é 0.5, um e 1.5. E isso dá-nos quatro tiras de 0.5 unidades de largura. Simplesmente, vamos substituir cada valor de 𝑥 na nossa função. Começamos com 𝑓 de zero. Isso é zero ao cubo, que é zero. Em seguida, temos 𝑓 de 0.5. Isso é 0.5 ao cubo, ou seja, 0.125. 𝑓 de um é um cubo, que ainda é um. E obtemos os dois valores finais de maneira semelhante. 𝑓 de 1.5 é 3.375. E 𝑓 de dois é oito. E esta é a parte complicada. Tudo o que resta é substituir o que sabemos na nossa fórmula pela regra do trapézio.

É Δ𝑥 sobre dois, que é 0.5 sobre dois, multiplicado pelo primeiro valor de 𝑓 de 𝑥 mais o último valor de 𝑓 de 𝑥. Isso é zero mais oito mais dois lotes de tudo o resto. Isso é dois vezes 0.125 mais um mais 3.375. E isso dá-nos um valor de 17 sobre quatro. Então, utilizando quatro subintervalos, a regra dos trapézios dá-nos a estimativa para o integral definido de 𝑥 ao cubo entre zero e dois de 17 sobre quatro. Agora, sempre que possível, isso pode ser verificado de várias maneiras. Pode calcular uma soma de Riemann ou ponto médio ou simplesmente executar a integração aqui.

Quando integramos 𝑥 cubo, chegamos a 𝑥 elevado a quatro dividido por quatro. Calcular isso entre os limites de zero e dois dá-nos dois elevado a quatro dividido por quatro menos zero o quatro elevado a quatro dividido por quatro, que é 16 sobre quatro. E isso é muito próximo da resposta que temos, sugerindo que provavelmente realizámos os nossos cálculos corretamente. Vamos agora considerar um exemplo que envolve uma consideração sobre a precisão.

Estime o integral definido entre os limites de um e dois de 𝑒 elevado a 𝑥 sobre 𝑥 d𝑥, utilizando a regra dos trapézios com quatro subintervalos. Arredonde a sua resposta a duas casas decimais.

Lembre-se, a regra dos trapézios diz que podemos determinar uma estimativa para o integral definido de alguma função 𝑓 de 𝑥 entre os limites de 𝑎 e 𝑏 realizando o cálculo Δ𝑥 sobre dois vezes 𝑓 de 𝑥 zero e mais 𝑓 de 𝑥 𝑛 mais dois vezes 𝑓 de 𝑥 um mais 𝑓 de 𝑥 dois até 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos um. Onde Δ𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, onde 𝑛 é o número de subintervalos. E 𝑥 𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 lotes de Δ𝑥. Começaremos então simplesmente a trabalhar com Δ𝑥. Contextualmente, Δ𝑥 é a largura de cada um dos nossos subintervalos. Aqui estamos a trabalhar com quatro subintervalos. Então, 𝑛 é igual a quatro. 𝑎 é igual a um. E 𝑏 é igual a dois. Δ𝑥 é, portanto, dois menos um sobre quatro, que é um quarto ou 0.25. Esta é a altura de cada trapézio.

Os valores de 𝑓 de 𝑥 nada e 𝑓 de 𝑥 um e assim por diante exigem um pouco mais de trabalho. Mas podemos tornar isto o mais simples possível, incluindo uma tabela. Lembramos que haverá sempre mais um valor de 𝑓 de 𝑥 do que o número de subintervalos. Então, aqui, serão quatro mais um, que são cinco 𝑓 de 𝑥 valores. Os próprios valores de 𝑥 vão de 𝑎 a 𝑏. Aqui é de um a dois. E os intermédios são encontrados repetidamente adicionando Δ𝑥, que é de 0.25, a 𝑎, que é um. Portanto, estes valores são 1.25, 1.5 e 1.75. E isso dá-nos as nossas quatro tiras de 0.25 unidades de largura. Em seguida, substituiremos cada valor de 𝑥 na nossa função.

Aqui, precisamos de tomar uma decisão sobre a precisão. Embora a questão nos diga para utilizar uma precisão de duas casas decimais, isso é apenas para a nossa resposta. Uma boa regra geral é utilizar pelo menos cinco casas decimais. Começamos com 𝑓 de um. Isso é 𝑒 elevado a um sobre um, que é 2.71828, arredondado a cinco casas decimais. Temos 𝑓 de 1.25, que é 𝑒 elevado a 1.25 dividido por 1.25. Ou seja, arredondado a cinco casas decimais, 2.79227. Repetimos este processo para 1.5. 𝑓 de 1.5 é 2.98779. 𝑓 de 1.75 é 3.28834. E 𝑓 de dois é 3.69453 arredondado a cinco casas decimais. Tudo o que resta é substituir o que sabemos na nossa fórmula pela regra dos trapézios. É Δ𝑥 sobre dois. Isto é 0.25 sobre dois vezes 𝑓 de um. São 2.71828 mais 𝑓 de dois. São 3.69453 mais dois lotes de tudo o mais. Isso é 2.79227, 2.98779 e 3.28834. Isso dá-nos 3.0687, que, com duas casas decimais, é 3.07.

É útil lembrar que podemos verificar se é provável que esta resposta seja sensata utilizando a função de integração na nossa calculadora. E quando o fazemos, obtemos 3.06 arredondados a duas casas decimais. Isso está muito próximo da resposta que obtivemos, sugerindo que provavelmente realizámos os nossos cálculos corretamente. Portanto, uma aproximação ao integral calculado entre um e dois de 𝑒 elevado a 𝑥 sobre 𝑥 d𝑥 é 3.07. No nosso exemplo final, veremos como determinar o erro na nossa aproximação.

Está fora do âmbito deste vídeo analisar de onde isto vem. Mas a fórmula que utilizaremos é dada por. O módulo do erro é menor ou igual a 𝑚 vezes 𝑏 menos 𝑎 ao cubo sobre 12𝑛 ao quadrado. E isto pode ser utilizado quando a segunda derivada da função é contínua. E 𝑚 é um limite superior para o módulo da segunda derivada no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏.

a) Para 𝑛 igual a quatro, determine o erro associado à aproximação da regra dos trapézios do integral definido de um sobre 𝑥 calculado entre um e dois. E b) Quão grande devemos tomar 𝑛 para garantir que a aproximação da regra dos trapézios para o integral de um sobre 𝑥 entre um e dois esteja precisamente dentro de 0.0001?

Podemos ver que precisamos de calcular 𝑓 duas linhas de 𝑥, a segunda derivada da função um sobre 𝑥. Como alternativa, vamos escrever 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 elevado a menos um. Então, 𝑓 linha de 𝑥, a primeira derivada, é menos 𝑥 elevado a menos dois. E 𝑓 duas linhas de 𝑥 é dois 𝑥 elevado a menos três ou dois sobre 𝑥 ao cubo. Sabemos que 𝑥 é maior ou igual a um e menor ou igual a dois. E isso diz-nos que uma pessoa que ultrapassa 𝑥 deve ser menor ou igual a uma.

Então, vamos considerar o que isto nos diz sobre o módulo da segunda derivada de 𝑓 de 𝑥. Bem, é o módulo de dois sobre 𝑥 ao cubo. Portanto, isto deve ser menor ou igual a dois sobre um ao cubo, o que sabemos que é dois. Portanto, consideraremos 𝑚 igual a dois, pois este é o limite superior para a segunda derivada nesta questão. 𝑎 é um e 𝑏 é igual a dois. E a questão diz-nos que 𝑛 é igual a quatro. E isso significa que o módulo do nosso erro é menor ou igual a dois vezes dois menos um ao cubo sobre 12 vezes quatro ao quadrado, o que é aproximadamente igual a 0.01041 e assim por diante. Portanto, podemos dizer que o módulo do erro é menor que 0.01042, arredondado com cinco casas decimais.

Então, para a parte b desta questão, utilizaremos o que fizemos na parte um. Desta vez, porém, estamos a tentar calcular o valor de 𝑛. Assim, dizemos que o módulo do nosso erro é menor ou igual a dois vezes dois menos um ao cubo sobre 12 vezes 𝑛 ao quadrado, o que simplifica para um mais de seis 𝑛 ao quadrado. Precisamos que isso seja menor que 0.0001. Então, formamos a desigualdade um por seis 𝑛 ao quadrado é menor que 0.0001. E resolvemos em ordem a 𝑛. Reorganizando, obtemos a desigualdade 𝑛 ao quadrado maior que um sobre 0.0006. E a seguir determinamos a raiz quadrada de ambos os lados. Aqui não precisamos de nos preocupar com a raiz quadrada negativa de um sobre 0.0006. Como sabemos, por definição, este 𝑛 deve ser um número positivo. Portanto, obtemos 𝑛 maior que 40.824. Para garantirmos que a aproximação é precisa dentro de 0.0001, vamos deixar 𝑛 igual a 41.

Neste vídeo, aprendemos que a aproximação da regra dos trapézios pode ser utilizada para aproximar integrais definidos. Obtivemos a fórmula para a aproximação da regra dos trapézios, como apresentados. E vimos que, sob certas circunstâncias, podemos estabelecer o erro envolvido nestas aproximações utilizando esta fórmula.

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