Lesson Video: Comprimento de Arco de Curvas Paramétricas

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Neste vídeo, aprenderemos como utilizar a integração para determinar o comprimento de arco de uma curva definida por equações paramétricas da forma 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Começaremos por lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva definida como 𝑦 é igual a uma função de 𝑥. Em seguida, veremos como podemos generalizar esta fórmula para curvas definidas parametricamente e considerar vários exemplos do processo.

Dada uma equação 𝑦 em termos de 𝑥 e valores de 𝑥 maiores ou iguais a 𝑎 e menores ou iguais a 𝑏, o comprimento do arco 𝐿 é dado pelo integral definido entre 𝑎 e 𝑏 da raiz quadrada de um mais d𝑦 sobre d𝑥 ao quadrado em ordem a 𝑥. Queremos encontrar uma maneira de utilizar esta fórmula para curvas definidas parametricamente. Lembre-se, estas são da forma 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Também sabemos que, neste caso, d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑡 sobre d𝑥 sobre d𝑡, que pode ser escrito como 𝑔 linha de 𝑡 sobre 𝑓 linha de 𝑡.

Agora, utilizando o facto de que d𝑥 sobre d𝑡 é igual a 𝑓 linha de 𝑡 vamos dizer de forma equivalente que d𝑥 é igual a 𝑓 linha de 𝑡 d𝑡. Redefinimos os nossos limites para que estejam em termos de 𝑡 e descobrimos que podemos reescrever o comprimento de arco como o integral definido entre 𝛼 e 𝛽 da raiz quadrada de um mais d𝑦 sobre d𝑡 sobre d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado 𝑓 linha de 𝑡 d𝑡. Separamos as componentes da nossa fração e reescrevemos 𝑓 linha de 𝑡 como d𝑥 sobre d𝑡. Agora, isto parece mesmo desagradável. Mas vamos adicionar as frações dentro da raiz, criando um denominador comum de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado.

Assim, dentro da nossa raiz, temos d𝑥 sobre d𝑡 tudo ao quadrado sobre d𝑥 sobre d𝑡 tudo ao quadrado mais d𝑦 sobre d𝑡 tudo ao quadrado sobre d𝑥 sobre d𝑡 tudo ao quadrado. Podemos então fatorizar este denominador e perceber que precisamos de utilizar os símbolos de módulo, pois precisamos que isto seja positivo para o poder fazer. E vemos que o comprimento do arco é igual ao integral definido entre 𝛼 e 𝛽 de um sobre o módulo de d𝑥 sobre d𝑡 vezes a raiz quadrada de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado mais d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado vezes d𝑥 sobre d𝑡 d𝑡. Agora, de facto, se assumirmos que a curva é traçada da esquerda para a direita, podemos abandonar o símbolo do módulo. E assim, notamos que um sobre d𝑥 sobre d𝑡 vezes d𝑥 sobre d𝑡 é simplesmente um. E assim, ficamos com a fórmula dada para o comprimento de arco de uma curva entre os limites de 𝑡 igual a 𝛼 e 𝑡 igual a 𝛽.

Agora, é importante observar que a forma cartesiana da fórmula do comprimento de arco é válida apenas para 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 quando 𝑓 linha é contínua no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. Portanto, utilizar isto para criar a nossa versão paramétrica tem uma consequência semelhante sobre em que equações paramétricas podemos utilizar esta fórmula. De facto, se começamos com as equações paramétricas 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡, então 𝑓 linha e 𝑔 linha devem ser contínuas no intervalo fechado de 𝛼 a 𝛽. Também vale a pena lembrar que, com equações paramétricas, a curva pode fazer um loop sobre si mesma. Isso pode levar a respostas maiores do que o comprimento real do arco. Nesse caso, precisaríamos de determinar um intervalo para 𝑡, no qual o arco é traçado exatamente uma vez.

Então, vamos dar uma olhadela em como podemos aplicar esta fórmula.

Escreva o comprimento da curva com as equações paramétricas 𝑥 igual a 𝑡 ao quadrado menos 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑡 elevado a quatro, em que 𝑡 é maior ou igual a um e menor ou igual a quatro, na forma de integral.

Recordamos que a fórmula para o comprimento do arco 𝐿 de uma curva definida parametricamente entre os limites 𝑡 igual a 𝛼 e 𝑡 igual a 𝛽 é o integral definido entre 𝛼 e 𝛽 da raiz quadrada de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado mais d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado em ordem a 𝑡. Agora, a nossa curva está definida parametricamente por 𝑥 igual a 𝑡 ao quadrado menos 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑡 elevado a quatro. E queremos determinar este comprimento de arco entre os limites 𝑡 igual a um e 𝑡 igual a quatro. Então, seja 𝛼 igual a um, seja 𝛽 igual a quatro. E vemos que precisaremos de derivar 𝑥 e 𝑦 em ordem a 𝑡.

Agora, para derivar um termo polinomial, multiplicamos simplesmente todo o termo pelo expoente e depois reduzimos o expoente uma unidade. Portanto, a derivada de 𝑡 ao quadrado é dois 𝑡. E quando derivamos menos 𝑡, obtemos menos um. d𝑥 sobre d𝑡 é, portanto, dois 𝑡 menos um. E isso satisfaz os critérios de que a derivada desta função é contínua. d𝑦 sobre d𝑡 é a primeira derivada de 𝑡 elevado a quatro. É quatro 𝑡 ao cubo, o que também é uma função contínua. Agora, percebemos que teremos que aplicar o quadrado na nossa fórmula do comprimento de arco. Então, vamos calcular d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado e d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado antes de substituir a fórmula.

Ao desembaraçar os parênteses, descobrimos que dois 𝑡 menos um ao quadrado é quatro 𝑡 ao quadrado menos quatro 𝑡 mais um. E quatro 𝑡 ao cubo tudo ao quadrado são 16𝑡 elevado a seis. O nosso passo final é substituir na fórmula o comprimento de arco. E descobrimos que 𝐿 é igual ao integral definido entre um e quatro da raiz quadrada de quatro 𝑡 ao quadrado menos quatro 𝑡 mais um mais 16𝑡 elevado a seis d𝑡. Podemos optar por reescrever a expressão dentro da nossa raiz em potências decrescentes de 𝑡. E quando o fazemos, descobrimos que o comprimento do arco da curva definida pelas nossas equações paramétricas para 𝑡 maior ou igual a um e menor ou igual a quatro é o integral apresentado.

No próximo exemplo, veremos como realmente calcular uma destas expressões.

Determine o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥 igual a três cos 𝑡 menos cos três 𝑡 e 𝑦 igual a três sen 𝑡 menos sen três 𝑡, onde 𝑡 é maior que ou igual a zero e menor ou igual a 𝜋.

Lembramos que a fórmula que utilizámos para determinar o comprimento de arco de uma curva definida parametricamente para valores de 𝑡 de 𝛼 a 𝛽 é integral definido entre 𝛼 e 𝛽 da raiz quadrada de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado mais d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado em ordem a 𝑡. Neste caso, 𝑥 é igual a três cos 𝑡 menos cos três 𝑡 e 𝑦 é igual a três sen 𝑡 menos sen três 𝑡. E estamos interessados ​​no comprimento da curva entre 𝑡 maior ou igual a zero e menor ou igual a 𝜋.

Então, seja 𝛼 igual a zero e 𝛽 ser igual a 𝜋. Também precisamos de calcular d𝑥 sobre d𝑡 e d𝑦 sobre d𝑡. E assim, uma vez que trabalhamos com expressões trigonométricas, recordamos a derivada de cos de 𝑎𝑡 e sen de 𝑎𝑡. São menos 𝑎 sen de 𝑎𝑡 e 𝑎 cos 𝑎𝑡, respetivamente, para valores constantes reais de 𝑎. Isso significa que d𝑥 sobre d𝑡 é menos três sen 𝑡 menos menos três sen três 𝑡. E, claro, isto torna-se mais três sen três 𝑡. Da mesma forma, d𝑦 sobre d𝑡 é três cos 𝑡 menos três cos três 𝑡.

Antes de substituirmos a fórmula, na verdade vamos aplicar o quadrado e determinar a soma destes. Menos três sen 𝑡 mais três sen três 𝑡 tudo ao quadrado é nove sen ao quadrado 𝑡 menos 18 sen 𝑡 sen três 𝑡 mais nove sen ao quadrado três 𝑡. Então, três cos 𝑡 menos três cos três 𝑡 tudo ao quadrado é nove cos ao quadrado 𝑡 menos 18 cos 𝑡 cos três 𝑡 mais nove cos ao quadrado três 𝑡. Nesta fase, lembramos que a identidade trigonométrica sen ao quadrado 𝑡 mais cos ao quadrado 𝑡 é igual a um. E vemos que temos nove sen ao quadrado 𝑡 mais nove cos ao quadrado 𝑡. Bem, isto deve ser igual a nove. Da mesma forma, temos nove sen ao quadrado três 𝑡 mais nove cos ao quadrado três 𝑡, que também é igual a nove. E também temos menos 18 vezes sen 𝑡 sen três 𝑡 mais cos 𝑡 cos três 𝑡. Tudo o que fiz aqui foi evidenciar o fator menos 18.

Em seguida, utilizaremos a identidade trigonométrica cos de 𝐴 menos 𝐵 é igual a cos 𝐴 cos 𝐵 mais sen 𝐴 sen 𝐵. E isto significa que sen 𝑡 sen três 𝑡 mais cos 𝑡 cos três 𝑡 deve ser igual a cos de três 𝑡 menos 𝑡, o que, é claro, é simplesmente cos de dois 𝑡. Portanto, isto torna-se 18 menos 18 cos de dois 𝑡. E assim, descobrimos que o comprimento do arco é igual ao integral definido entre zero e 𝜋 da raiz quadrada de 18 menos 18 cos de dois 𝑡 d𝑡.

Vamos arranjar espaço e calcular este integral. Agora, de facto, o integral da raiz quadrada de 18 menos 18 cos de dois 𝑡 ainda não é particularmente agradável de calcular. E assim, voltamos ao facto de que cos de dois 𝑡 é igual a dois cos ao quadrado 𝑡 menos um. Substituímos cos de dois 𝑡 por esta expressão e depois desembaraçamos os parênteses. E o nosso integrando agora é igual à raiz quadrada de 36 menos 36 cos ao quadrado 𝑡. Evidenciamos o fator comum 36 e, em seguida, reorganizamos a identidade sen ao quadrado 𝑡 mais cos ao quadrado 𝑡 é igual a um. Assim, um menos cos ao quadrado 𝑡 é igual a sen ao quadrado 𝑡. Portanto, o nosso integrando é seis vezes a raiz quadrada de sen ao quadrado 𝑡, que é, obviamente, simplesmente seis sen 𝑡.

Quando integramos seis sen 𝑡, obtemos menos seis cos 𝑡. Portanto, o comprimento do arco é igual a menos seis cos 𝑡 calculado entre estes limites. É menos seis cos de 𝜋 menos menos seis cos de zero, o que é igual a 12. E assim, descobrimos que o comprimento do arco da curva em que estamos interessados ​​é de 12 unidades. Como seria de esperar, este processo não só funciona para curvas definidas por equações trigonométricas, mas também para aquelas definidas por equações exponenciais e logarítmicas.

Determine o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑡 menos 𝑡 e 𝑦 igual a quatro 𝑒 elevado a 𝑡 sobre dois, em que 𝑡 seja maior ou igual a zero e menor ou igual a dois.

Sabemos que a fórmula que utilizamos para determinar o comprimento de arco de curvas definidas parametricamente a partir de valores de 𝑡 maiores ou iguais a 𝛼 e menores ou iguais a 𝛽 é o integral definido entre 𝛼 e 𝛽 da raiz quadrada de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado mais d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado em ordem a 𝑡. Agora, neste caso, estamos interessados ​​no comprimento da curva, onde 𝑡 é maior ou igual a zero e menor ou igual a dois. Então, seja 𝛼 igual a zero e seja 𝛽 igual a dois. Então, as nossas equações paramétricas são 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑡 menos 𝑡 e 𝑦 é igual a quatro 𝑒 elevado a 𝑡 sobre dois.

Está bem claro que precisaremos de determinar d𝑥 sobre d𝑡 e d𝑦 sobre d𝑡. E assim, primeiro lembramos que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑡 é 𝑒 elevado a 𝑡. A derivada de menos 𝑡 é um. Então, d𝑥 sobre d𝑡 é 𝑒 elevado a 𝑡 menos um. Agora, utilizaremos a regra em cadeia para derivar 𝑦 em ordem a 𝑡. Seja 𝑢 igual a 𝑡 sobre dois. Portanto, d𝑢 sobre d𝑡 é igual a um meio. Então, d𝑦 sobre d𝑡 é d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑡. Agora, 𝑦 é igual a quatro 𝑒 elevado a 𝑢. Assim, d𝑦 sobre d𝑡 é quatro 𝑒 elevado a 𝑢 vezes um meio, que é dois 𝑒 elevado 𝑢. Mas é claro que queremos d𝑦 sobre d𝑡 em termos de 𝑡. Então, substituímos 𝑢 por 𝑡 sobre dois. E descobrimos que d𝑦 sobre d𝑡 é igual a dois 𝑒 elevado a 𝑡 sobre dois.

Agora, de facto, para a nossa fórmula do comprimento de arco, precisamos de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado e d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado. Então, vamos fazer o quadrado de cada uma das nossas expressões. Quando o fazemos, descobrimos que 𝑒 elevado a 𝑡 menos um ao quadrado é 𝑒 elevado a dois 𝑡 menos dois 𝑒 elevado a 𝑡 mais um. E d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado é simplesmente quatro 𝑒 elevado a 𝑡. Agora, substituímos tudo o que sabemos na nossa fórmula do comprimento de arco. E obtemos o integral definido entre zero e dois da raiz quadrada de 𝑒 elevado a dois 𝑡 menos dois 𝑒 elevado a 𝑡 mais um mais quatro 𝑒 elevado a 𝑡 em ordem a 𝑡.

Notamos que menos dois 𝑒 elevado a 𝑡 mais quatro 𝑒 elevado a 𝑡 é dois 𝑒 elevado a 𝑡. E isso é ótimo, porque vemos que podemos fatorizar 𝑒 elevado a dois 𝑡 mais dois 𝑒 elevado a 𝑡 mais um, um pouco como faria com uma quadrática. Obtemos 𝑒 elevado a 𝑡 mais um vezes 𝑒 elevado a 𝑡 mais um ou 𝑒 elevado a 𝑡 mais um ao quadrado. E, é claro, a raiz quadrada de 𝑒 elevado a 𝑡 mais um ao quadrado é apenas 𝑒 elevado a 𝑡 mais um. Quando integramos 𝑒 elevado a 𝑡, obtemos 𝑒 elevado a 𝑡. E o integral de um é 𝑡.

Isto significa que o comprimento do arco é 𝑒 ao quadrado mais dois menos 𝑒 elevado a zero mais zero. E, é claro, 𝑒 elevado a zero é um. Portanto, isto simplifica para 𝑒 elevado a dois mais um. E o comprimento da curva com as nossas equações paramétricas para valores de 𝑡 de zero a dois é 𝑒 elevado a dois mais um unidades.

Neste vídeo, aprendemos que, para uma curva definida parametricamente por 𝑥 igual a 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡, o comprimento de arco da curva para valores de 𝑡 maior que ou igual a 𝛼 e menor ou igual a 𝛽 é dado pelo integral definido entre 𝛼 e 𝛽 da raiz quadrada de d𝑥 sobre d𝑡 ao quadrado mais d𝑦 sobre d𝑡 ao quadrado em ordem a 𝑡. Neste caso, 𝑓 linha e 𝑔 linha devem ser funções contínuas no intervalo fechado 𝛼 a 𝛽. Vimos que também vale a pena recordar que, com equações paramétricas, a curva pode fazer um loop sobre si mesma. E, nesse caso, precisamos de determinar um intervalo para 𝑡, no qual o arco é traçado exatamente uma vez.