Pop Video: Prova da Lei de Snell Usando Molas

Video Transcript

Então, no meu vídeo com Steven Strogatz sobre a braquistócrona, nós fizemos referência a essa coisa chamada “Lei de Snell”. É o princípio da física que diz como a luz se dobra quando viaja de um meio para outro, onde sua velocidade muda. Nossa conversa falou sobre isso em detalhes, mas foi um pouco demais. Então acabei cortando o vídeo. Então, o que eu quero fazer aqui é apenas mostrar uma versão condensada disso porque ele faz referência a um argumento bastante inteligente de Mark Levi, e também dá uma sensação de conclusão à solução de braquistócrona como um todo.

Considere quando a luz viaja do ar para a água. A velocidade da luz é um pouco mais lenta na água do que no ar. E isso resulta em um feixe de luz se curvando à medida que entra na água. Por quê? Há muitas maneiras de pensar sobre isso, mas uma boa ideia é usar o princípio de Fermat. Nós conversamos sobre isso em detalhes no vídeo sobre a braquistócrona. Mas em suma, diz-lhe que, se a luz vai de um ponto a outro, sempre o fará da maneira mais rápida possível.

Considere algum ponto 𝐴 em sua trajetória no ar e algum ponto 𝐵 em sua trajetória na água. Primeiro, você pode pensar que a linha reta entre eles é o caminho mais rápido. Strogatz: O único problema com essa estratégia, apesar de ser o caminho mais curto, é que você pode passar muito tempo na água. Sanderson: A luz é mais lenta na água, então o caminho pode se tornar mais rápido se mudarmos as coisas para favorecermos gastar mais tempo no ar. Você pode até tentar minimizar o tempo gasto na água, deslocando-o todo para a direita. Strogatz: No entanto, também não é a melhor coisa a fazer. Sanderson: Assim como no problema da braquistócrona, nos encontramos tentando equilibrar esses dois fatores concorrentes. Strogatz: É um problema que você pode escrever com geometria. Sanderson: E se isso fosse uma aula de cálculo, definiríamos a equação apropriada com uma única variável 𝑥 e descobriríamos onde sua derivada é zero.

Mas temos algo melhor que cálculo: a solução Mark Levi. Ele reconheceu que a óptica não é a única vez que a natureza procura um mínimo. Isso também acontece com a energia. Qualquer configuração mecânica se estabilizará quando a energia potencial estiver no mínimo.

Então, para esse problema de “luz entre um meio”, ele imagina colocar uma haste na borda entre o ar e a água e colocar um anel na haste, que fica livre para deslizar para a esquerda e para a direita. Agora, prenda uma mola do ponto 𝐴 ao anel e uma segunda mola entre o anel e o ponto 𝐵. Você pode pensar no layout das molas como um caminho potencial que a luz poderia levar entre 𝐴 e 𝐵. Para definir as coisas de modo que a energia potencial nas molas seja igual à quantidade de tempo que a luz levaria nesse caminho, você só precisa ter certeza de que cada mola tem uma tensão constante, que é inversamente proporcional à velocidade da luz em seu meio.

Sanderson: O único problema com isso é que molas de tensão constantes não existem. Strogatz: Isso mesmo; são molas não-físicas, mas ainda há o aspecto do sistema que quer minimizar sua energia total. Esse princípio físico será válido mesmo que essas fontes não existam no mundo como a conhecemos. Sanderson: A razão pela qual as molas tornam o problema mais simples é que podemos encontrar o estado estável apenas pelo equilíbrio das forças. A componente à esquerda da força na mola superior tem que se cancelar com a componente à direita na força da mola inferior. Neste caso, a componente horizontal em cada mola é apenas a força total multiplicada pelo seno do ângulo que a mola faz com a vertical. Strogatz: E daí vem a coisa chamada “Lei de Snell”, que muitos de nós aprendemos em nossa primeira aula de física.

Sanderson: A lei de Snell diz que seno de 𝜃 dividido pela velocidade da luz permanece constante quando a luz viaja de um meio para outro, onde 𝜃 é o ângulo que aquele feixe de luz faz com uma reta perpendicular à interface entre os dois meios. Então lá vai você! Nenhum cálculo é necessário.