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Vídeo: Demonstração da Lei de Snell Utilizando Cordas

Demonstração da Lei de Snell Utilizando Cordas

03:57

Transcrição do vídeo

Então, no meu vídeo com Steven Strogatz sobre a braquistócrona, fizemos referência a esta coisa chamada “Lei de Snell”. É o princípio da física que diz como a luz se desvia quando passa de um meio para outro, a sua velocidade muda. A nossa conversa passou por isto com detalhe, mas foi um pouco demais. Então acabei por cortar o vídeo. Assim, o que eu quero fazer aqui é apenas mostrar uma versão condensada daquilo, porque ele faz referência a um argumento bastante inteligente de Mark Levi, e também dá uma sensação de conclusão à solução de braquistócrona como um todo.

Considera quando a luz viaja do ar para a água. A velocidade da luz é um pouco mais lenta na água do que no ar. E isto resulta num feixe de luz a curvar-se à medida que entra na água. Porquê? Há muitas maneiras de pensar sobre isto, mas uma boa ideia é utilizar o princípio de Fermat. Nós conversamos sobre isto com detalhe no vídeo da braquistócrona. Mas em suma, diz-te que, se a luz vai de um ponto a outro, fá-lo-á sempre da maneira mais rápida possível.

Considera um ponto 𝐴 na sua trajetória no ar e um ponto 𝐵 na sua trajetória na água. Primeiro, podes pensar que a linha reta entre eles é o caminho mais rápido. Strogatz: O único problema com esta estratégia, apesar de ser o caminho mais curto, é que podes passar muito tempo na água. Sanderson: A luz é mais lenta na água, então o caminho pode tornar-se mais rápido se mudarmos as coisas para favorecermos gastar mais tempo no ar. Podes até tentar minimizar o tempo gasto na água, deslocando-o todo para a direita. Strogatz: No entanto, também não é a melhor coisa a fazer. Sanderson: Tal como no problema da braquistócrona, encontramo-nos tentar equilibrar estes dois fatores concorrentes. Strogatz: É um problema que podes abordar com geometria. Sanderson: E se isso fosse uma aula de cálculo, definiríamos a equação apropriada com uma única variável 𝑥 e descobriríamos onde sua derivada é zero.

Mas temos algo melhor que cálculo: uma solução de Mark Levi. Ele reconheceu que a ótica não é a única situação em que a natureza procura um mínimo. Isto também acontece com a energia. Qualquer configuração mecânica se estabilizará quando a energia potencial estiver no mínimo.

Então, para este problema de “luz num meio”, ele imagina colocar uma viga na transição entre o ar e a água e colocar um anel na viga, que está livre para deslizar para a esquerda e para a direita. Agora, prende uma mola do ponto 𝐴 ao anel e uma segunda mola entre o anel e o ponto 𝐵. Podes pensar no layout das molas como um caminho potencial que a luz poderia levar entre 𝐴 e 𝐵. Para definir as coisas de modo que a energia potencial nas molas seja igual à quantidade de tempo que a luz levaria nesse caminho, só precisas de ter a certeza de que cada mola tem uma tensão constante, que é inversamente proporcional à velocidade da luz no seu meio.

Sanderson: O único problema com isto é que molas de tensão constante não existem. Strogatz: Isso mesmo; são molas não-físicas, mas ainda há o aspeto do sistema que quer minimizar a sua energia total. Este princípio físico será válido mesmo que estas fontes não existam no mundo como a conhecemos. Sanderson: A razão pela qual as molas tornam o problema mais simples é que podemos determinar o estado estável apenas pelo equilíbrio das forças. A componente à esquerda da força na mola superior tem que se cancelar com a componente à direita na força da mola inferior. Neste caso, a componente horizontal em cada mola é apenas a força total multiplicada pelo seno do ângulo que a mola faz com a vertical. Strogatz: E daí vem a coisa chamada “Lei de Snell”, que muitos de nós aprendem na nossa primeira aula de física.

Sanderson: A lei de Snell diz que o seno de 𝜃 dividido pela velocidade da luz permanece constante quando a luz viaja de um meio para outro, onde 𝜃 é o ângulo que aquele feixe de faz com uma reta perpendicular à interface entre os dois meios. Então aqui tens! Não foi necessário cálculo.