Vídeo: Área entre Curvas

Aprenderemos a aplicar a integração para determinar a área limitada pelas curvas de duas ou mais funções.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar a integração para determinar a área delimitada pelas curvas de duas ou mais funções. Nesta etapa, deve sentir-se confiante na aplicação de processos de integração para calcular integrais definidos e indefinidos. Agora, veremos como a integração pode ajudar-nos a determinar a área das regiões que ficam entre os gráficos de duas ou mais funções.

Considere a região que fica entre a curva com a equação 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e o eixo O𝑥 que é delimitado pelas linhas verticais 𝑥 iguais 𝑎 e 𝑥 iguais 𝑏. Eu sombreei esta região a rosa. Se 𝑓 é uma função contínua, sabemos que podemos calcular a área desta região integrando a função 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥 entre os limites de 𝑎 e 𝑏.

Agora, vamos adicionar outra curva ao nosso diagrama. Desta vez, a curva tem a equação 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, onde 𝑔 é contínua e 𝑔 de 𝑥 é menor ou igual a 𝑓 de 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. Mais uma vez, podemos determinar a área da região entre a curva 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 e o eixo O𝑥 e estas duas linhas verticais, agora sombreei esta região a amarelo, calculando o integral de 𝑔 de 𝑥 entre o limites de 𝑎 e 𝑏.

Agora podemos ver que, se subtrairmos a área entre a curva 𝑔 de 𝑥 e o eixo O𝑥 da área entre a curva de 𝑓 de 𝑥 e o eixo O𝑥, ficaremos com esta região 𝐴 três. Esta é a região entre as duas curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e 𝑦 iguais 𝑔 de 𝑥. Podemos, portanto, dizer que a área 𝐴 três da região delimitada por 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 é o integral de 𝑓 de 𝑥 calculado entre 𝑎 e 𝑏 menos o integral de 𝑔 de 𝑥 calculado entre 𝑎 e 𝑏.

Mas também sabemos que a soma ou diferença do integral de duas funções é igual ao integral da soma ou diferença dessas funções. Portanto, podemos dizer que a área é igual o integral de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 em ordem a 𝑥 calculado entre 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏. Isso leva-nos à nossa primeira definição. A área 𝐴 da região delimitada pelas curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 e as retas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏, onde 𝑓 e 𝑔 são contínuas e 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a 𝑔 de 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, é o integral definido de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 calculado entre os limites de 𝑎 e 𝑏.

Observe aqui que 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a 𝑔 de 𝑥 para todos os 𝑥 entre e incluindo 𝑎 e 𝑏. Precisamos de observar com atenção as situações em que esse não é o caso e aplicar alguma lógica extra. Por enquanto, veremos a aplicação desta fórmula.

Determine a área da região delimitada pelas curvas 𝑦 igual a três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 e 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 ao quadrado.

Lembraremos que a área da região delimitada pelas curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 e as retas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏 para funções contínuas 𝑓 e 𝑔, de modo que 𝑓 de 𝑥 seja maior igual ou igual a 𝑔 de 𝑥 para todos 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, é o integral definido entre os limites de 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. Portanto, precisaremos de definir as funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 com muito cuidado e, é claro, os valores para 𝑎 e 𝑏, garantindo que 𝑓 de 𝑥 seja maior que 𝑔 de 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 para 𝑏.

As retas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏 marcarão o início e o fim da região em que estamos interessados. Então, quais são as equações dessas retas? São as coordenadas em 𝑥 nos pontos em que os dois gráficos se intersetam. Assim, podemos estabelecer as equações três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 e menos cinco 𝑥 ao quadrado iguais entre si e resolver em ordem a 𝑥.

Começamos por adicionar cinco 𝑥 ao quadrado a ambos os membros. E a seguir, fatorizamos a expressão no primeiro membro, retirando este fator de 𝑥. E obtemos 𝑥 vezes oito 𝑥 menos cinco igual a zero. Sabemos que, para que esta afirmação seja verdadeira, 𝑥 deve ser igual a zero ou oito 𝑥 menos cinco deve ser igual a zero. Para resolver esta equação à direita, adicionamos cinco e depois dividimos por oito. E obtemos 𝑥 igual a cinco oitavos.

Portanto, podemos ver que as coordenadas em 𝑥 dos pontos de interseção ase nossas duas curvas são zero e cinco oitavos. Então, 𝑎 é igual a zero e 𝑏 é igual a cinco oitavos. Agora, precisamos de decidir qual função é 𝑓 de 𝑥 e qual função é 𝑔 de 𝑥. O que fazemos a seguir é esboçar os gráficos de 𝑦 igual a três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 e 𝑦 é igual a menos cinco 𝑥 ao quadrado. Estamos à procura de identificar qual das curvas está essencialmente por cima.

Sabemos que o gráfico de 𝑦 é igual a três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 é uma parábola em forma de U. Podemos até fatorizar a expressão três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥, estabelece-la como zero e resolver em ordem a 𝑥. E vemos que passa pelo eixo O𝑥 em zero e cinco terços. Então, será algo parecido com isto. O gráfico de 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 ao quadrado é uma parábola invertida que passa pela origem desta forma. E assim, obtemos a região sombreada.

Agora podemos ver que, no intervalo fechado de zero a cinco oitavos, a função que está em cima, se preferir, é a função definida por 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 ao quadrado. Então, podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos cinco 𝑥 ao quadrado. Significando que 𝑔 de 𝑥 é três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥. A área em que estamos interessados ​​deve, portanto, ser dada pelo integral definido calculado entre zero e cinco oitavos de menos cinco 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 em ordem a 𝑥.

Distribuindo os parênteses, e nosso integrando torna-se menos oito 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥. Mas espere um minuto, sabemos que, quando calculamos áreas abaixo do eixo 𝑥, acabamos com um resultado engraçado. Temos um valor negativo. Pode fazer pausa no vídeo por um momento e considerar o que isso significa neste exemplo. Pensou nisso? Podemos ver que toda a nossa região fica abaixo do eixo O𝑥 e estamos apenas a calcular a diferença entre as áreas. Portanto, os resultados negativos que obteríamos da integração de cada função individualmente simplesmente anular-se-iam. Então, tudo o que resta é calcular este integral.

O integral de menos oito 𝑥 ao quadrado é menos oito 𝑥 ao cubo sobre três. E o integral de cinco 𝑥 é cinco 𝑥 ao quadrado sobre dois. Precisamos de calcular isto entre zero e cinco oitavos, o que representa menos oito terços de cinco oitavos ao cubo mais cinco sobre dois vezes cinco oitavos ao quadrado menos zero. É 125 sobre 384 unidades quadradas. Esta questão foi bem direta, já que a curva 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 ao quadrado era maior ou igual à curva 𝑦 igual a três 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 no intervalo em que estamos interessados.

Vamos agora ver o que poderíamos fazer se não fosse esse o caso.

As curvas apresentadas são 𝑦 igual a um sobre 𝑥 e 𝑦 igual a um sobre 𝑥 ao quadrado. Qual é a área da região sombreada? Dê uma resposta na forma exata.

Lembre-se, a área de uma região delimitada pelas curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 e as retas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏 para funções contínuas 𝑓 de 𝑔, quando 𝑓 de 𝑥 for maior ou igual a 𝑔 de 𝑥 para 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, é dado pelo integral definido calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥.

Agora, temos um problema aqui. Podemos ver claramente que a região é delimitada pelas retas verticais 𝑥 igual a 0.5 e 𝑥 igual a dois. Porém, no intervalo fechado 𝑥 de 0.5 a dois, podemos ver que uma das nossas funções nem sempre é maior ou igual à outra. Portanto, não podemos aplicar esta definição. Podemos ver, no entanto, que se dividirmos a nossa região um pouco mais, atingiremos este requisito. Adicionei uma terceira reta no ponto em que as duas curvas se intersetam. Esta tem a equação 𝑥 igual a um.

No intervalo fechado de 0.5 a um, os valores na curva vermelha são sempre maiores ou iguais aos da curva verde. E no intervalo fechado 𝑥 entre um e dois, o inverso é verdadeiro. Então, tudo o que fazemos é dividir a nossa região e adicionar os valores no final. Vamos determinar a área da nossa primeira região, 𝑅 um. Para o fazer, precisamos de verificar novamente que reta é qual. Provavelmente, podemos deduzir que é mais provável que a curva vermelha esteja um sobre 𝑥 do quadrado. Mas vamos escolher um par de coordenadas e substituir esses valores para segurança.

Podemos ver que a curva passa pelo ponto com as coordenadas 0.5, 4. Portanto, vamos substituir 𝑥 igual a 0.5 na equação 𝑦 igual a um sobre 𝑥 ao quadrado. Quando o fazemos, obtemos 𝑦 igual a mais de 0.5 ao quadrado, que é um sobre 0.25, que é quatro, conforme pretendido. Portanto, a curva vermelha tem a equação 𝑦 igual a mais de 𝑥 ao quadrado e a curva verde tem a equação 𝑦 é igual a mais de 𝑥. E ao calcular a área de 𝑅 um, 𝑓 de 𝑥 é, portanto, um sobre 𝑥 ao quadrado e 𝑔 de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥.

A área é, portanto, dada pelo integral definido entre os limites de 0.5 e um de um sobre 𝑥 ao quadrado menos um sobre 𝑥. Então, tudo o que resta aqui é calcular este integral. Isso é muito mais fácil se reescrevermos um sobre 𝑥 ao quadrado como 𝑥 elevado a menos dois e depois recordarmos alguns resultados padrão. Para integrar 𝑥 elevado a menos dois, adicionamos um ao expoente e depois dividimos por esse novo número. Isso dá-nos 𝑥 elevado a menos um sobre menos um, que é menos um sobre 𝑥. O integral de um sobre 𝑥, no entanto, é o logaritmo natural do módulo de 𝑥. Portanto, o nosso integral é menos um sobre 𝑥 menos o logaritmo natural do módulo de 𝑥.

Agora, calcularemos isso entre 𝑥 igual a 0.5 e 𝑥 igual a um. É menos um sobre um, menos o log natural de um menos um sobre 0.5, menos o log natural de 0.5. E observe que perdi o símbolo do módulo porque um e 0.5 já são positivos. O log natural de zero é um. Menos um sobre um é menos um. E menos um sobre 0.5 é dois. Também reescrevi o log natural de 0.5 como log natural de um meio e distribuí os parênteses. E isto simplifica para um mais o logaritmo natural de um meio.

Uma capacidade realmente importante, no entanto, é ser capaz de identificar quando podemos simplificar ainda mais um termo logarítmico. Se reescrevermos o logaritmo natural de um meio como o logaritmo natural de dois elevado a menos um. E a seguir, utilize o facto de que o logaritmo natural de 𝑎 elevado a 𝑏 é igual a 𝑏 vezes o logaritmo natural de 𝑎. Vemos que a área exata da primeira região 𝑅 um é menos o logaritmo natural de dois.

Vamos abrir espaço e repetir este processo para a região dois. Desta vez, a curva verde está acima da curva vermelha, portanto, seja 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 ao quadrado. A nossa área é o integral definido entre um e dois de um sobre 𝑥 menos um sobre 𝑥 ao quadrado que, quando integramos, dá-nos o logaritmo natural do módulo de 𝑥 mais um sobre 𝑥. Calculando entre os limites um e dois, obtemos o logaritmo natural de dois mais um meio menos do logaritmo natural de um mais um, que é igual ao logaritmo natural de dois menos um meio.

Queremos determinar a área de toda a região, portanto adicionamos estes dois valores. É um menos o logaritmo natural de dois mais o logaritmo natural de dois menos um meio, o que simplifica para um meio. A área da região sombreada é de um meio unidades quadradas. Neste exemplo, vimos que a fórmula da área pode ser aplicada para determinar a área entre duas curvas em que uma curva está acima da outra para parte do intervalo de integração e o oposto na segunda parte do intervalo, desde que lembremos de divida a região no ponto em que as curvas se intersetam.

Agora veremos como podemos desenvolver esta fórmula ainda mais para nos ajudar a determinar a região delimitada por três curvas.

Determine a área da região delimitada pelas curvas 𝑦 igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado, 𝑦 igual a menos 𝑥 e 𝑦 igual à raiz quadrada de 𝑥. Dê a sua resposta arredondada a uma casa decimal.

Lembre-se, para funções contínuas 𝑓 e 𝑔, a área da região delimitada pelas curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 é igual a 𝑔 de 𝑥 e as retas 𝑥 igual a 𝑎 e 𝑥 igual a 𝑏, desde que 𝑓 de 𝑥 seja maior que ou igual a 𝑔 de 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏, é dado pelo integral calculado entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. Precisamos de ter um pouco de cuidado aqui, pois temos três curvas. Então, vamos começar a esboçar isso e ver com o que estamos a lidar.

A área entre as três curvas parece-se um pouco com isto. Agora, se formos realmente espertos, podemos utilizar a definição que procurámos antes. Podemos dividir esta região na região acima do eixo O𝑥 e na região abaixo do eixo O𝑥. Podemos então dividir isto um pouco mais. Vemos que temos 𝑅 um, que é a região entre o eixo O𝑥 e a curva 𝑦 igual a raiz 𝑥 entre 𝑥 igual a zero e 𝑥 igual a 𝑏. Onde 𝑏 é a coordenada em 𝑥 no ponto de interseção da curva 𝑦 igual a raiz 𝑥 e 𝑦 igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado.

Temos a seguir 𝑅 dois. Esta é a região entre 𝑦 igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado, 𝑥 igual a 𝑏 e 𝑥 igual a dois. E a razão pela qual escolhemos 𝑥 igual a dois como nosso limite superior é porque é o valor de 𝑥 no ponto em que a curva interseta o eixo O𝑥. Podemos até dividir as nossas três em mais duas regiões para facilitar a vida. Mas vamos lidar primeiro com a área de 𝑅 um e 𝑅 dois. Precisamos de calcular o valor de 𝑏.

Dissemos que é a coordenada em 𝑥 no ponto de interseção das duas curvas quatro menos 𝑥 ao quadrado e raiz 𝑥. Então, estabelecemos estes igual um ao outro e resolvemos em ordem a 𝑥. Isso dá-nos um valor de 𝑥 de 1.648, arredondado com três casas decimais. Então, 𝑏 é igual a 1.648. Podemos fazer isso manualmente ou utilizar as nossas calculadoras gráficas para calcular cada um destes integrais. A área de 𝑅 um torna-se 1.4104 e assim por diante. E a área de 𝑅 dois é 0.23326 e assim por diante.

Vamos agora considerar a área de 𝑅 três. É o integral entre zero e dois de menos 𝑥 em ordem a 𝑥. Precisamos de ter um pouco de cuidado aqui, já que este está abaixo do eixo O𝑥 e, portanto, produzirá um resultado negativo na integração. De facto, isso dá-nos menos dois. Então, podemos dizer que a área é o módulo disto. É dois. E observe que poderíamos realmente ter utilizado a fórmula da área de um triângulo para resolver esta área.

Agora, a área de 𝑅 quatro é o integral definido entre dois e 𝑐 de quatro menos 𝑥 ao quadrado menos menos 𝑥. E aqui, 𝑐 é a coordenada em 𝑥 do ponto de interseção das curvas 𝑦 igual a menos 𝑥 e 𝑦 igual a quatro menos 𝑥 ao quadrado. Mais uma vez, podemos definir quatro menos 𝑥 ao quadrado igual a menos 𝑥 e resolver em ordem a 𝑥. E descobrimos, com três casas decimais, que se intersetam no ponto em que 𝑥 é igual a 2.562. Digitamos isto na nossa calculadora e descobrimos que a área desta região é 0.59106. Achamos o total destes quatro valores, que nos dá 4.2347, ou seja, 4.2 unidades quadradas, arredondado com uma casa decimal.

Neste vídeo, vimos que podemos utilizar a área da fórmula igual ao integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 em ordem a 𝑥 para funções contínuas 𝑓 e 𝑔, contanto que 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a 𝑔 para todo o 𝑥 no intervalo fechado 𝑎 a 𝑏. Também vimos que, para regiões mais complicadas, como aquelas delimitadas por três ou mais curvas, aquelas que envolvem regiões acima e abaixo do eixo O𝑥, ou aquelas onde 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 alternam, talvez seja necessário dividir essa região um pouco mais.

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