Vídeo: Resolvendo Equações Quadráticas com Coeficientes Complexos

Neste vídeo, aprenderemos a resolver equações quadráticas com coeficientes complexos usando a fórmula quadrática.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como resolver equações quadráticas com coeficientes complexos. Então, como resolvemos algo da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 é igual a zero, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 podem ser números complexos?

Lembre-se de que o discriminante de uma equação quadrática 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero é 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐. O discriminante é frequentemente denotado pelo Δ. Para uma equação quadrática com coeficientes reais, o discriminante nos permite determinar a natureza de suas raízes.

Existem três possibilidades. Se o discriminante é positivo, então temos duas raízes reais. Se é zero, então temos uma raiz real repetida. E se é negativo, então temos um par conjugado complexo de raízes complexas. Mas isso só é verdade se a equação quadrática tiver coeficientes reais, isto é, se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 forem todos números reais.

Vamos ver o que podemos dizer se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números complexos. Mas primeiro, vamos ver como resolver uma equação quadrática com coeficientes complexos. Nós temos o familiar 𝑎𝑧 ao quadrado mais 𝑏𝑧 mais 𝑐 igual a zero. Mas o que há de novo é que os coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 podem ser números complexos.

Agora, se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 fossem reais, poderíamos aplicar a fórmula quadrática. Mas pode não ser óbvio que essa fórmula quadrática ainda se aplique quando 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números complexos. Então, vamos rederivar a fórmula quadrática completando o quadrado, verificando se cada passo que usamos ainda é válido quando 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números complexos e não apenas números reais.

Podemos dividir ambos os lados por 𝑎 para fazer o coeficiente de 𝑧 ao quadrado um. E agora queremos completar o quadrado, escrevendo 𝑧 ao quadrado mais 𝑏 sobre 𝑎𝑧 como um único quadrado. Nós obtemos 𝑧 mais algo ao quadrado. E essa coisa é metade do coeficiente de 𝑧, então metade de 𝑏 sobre 𝑎, que é 𝑏 sobre dois 𝑎. E se nós distribuímos, vemos que de fato temos 𝑧 ao quadrado mais 𝑏 sobre 𝑎𝑧. Mas também obtemos um termo de 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Precisamos subtrair este termo para obter 𝑧 ao quadrado mais 𝑏 sobre 𝑎𝑧. Tornamos essa substituição segura, sabendo que toda a resposta que fizemos é tão verdadeira para números complexos quanto para números reais.

Agora podemos subtrair os termos constantes de ambos os lados. E podemos combinar as duas frações do lado direito, obtendo 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Agora vem uma parte complicada, precisamos ter raízes quadradas. Acontece que a resposta é o que esperamos da nossa experiência com números reais. Podemos verificar, elevando a última linha ao quadrado e observando que obtemos a linha acima dela. E pelo teorema fundamental da álgebra, não pode haver nenhuma solução que tenhamos perdido. Nós temos um polinômio de grau dois e assim esperamos duas raízes. E essas duas raízes são dadas pelas opções de mais e menos do lado direito. Não pode haver mais opções.

Tudo o que resta a fazer é subtrair 𝑏 mais de dois 𝑎 de ambos os lados. E então nós pegamos a fórmula quadrática que conhecemos e amamos. 𝑧 é igual a menos 𝑏 mais ou menos raiz de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. Vamos ver alguns exemplos de aplicação desta fórmula.

Resolva três 𝑧 ao quadrado mais cinco 𝑖𝑧 menos dois igual a zero.

Nós resolvemos isso usando a fórmula quadrática. A fórmula nos diz que a equação quadrática 𝑎𝑧 ao quadrado mais 𝑏𝑧 mais 𝑐 igual a zero tem solução 𝑧 é igual a menos 𝑏 mais ou menos raiz de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. E essa fórmula se aplica mesmo se os coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 forem números complexos e não apenas números reais. Então podemos aplicá-lo ao nosso problema.

O que é menos 𝑏? Bem, o coeficiente de 𝑧 é cinco 𝑖. Então são menos cinco 𝑖. Temos então mais ou menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado, o que obviamente é cinco 𝑖 ao quadrado. E a partir disso, subtraímos quatro vezes 𝑎, que é três, vezes 𝑐, que é menos dois. E finalmente, nós dividimos por dois 𝑎, 𝑎 naturalmente sendo três.

Agora só precisamos simplificar. Não podemos ver muito com menos cinco 𝑖 no momento. Mas cinco 𝑖 ao quadrado é menos 25. E quatro vezes três vezes menos dois é menos 24. Duas vezes três é seis. E agora podemos simplificar ainda mais sob o radical. Menos 25 menos menos 24 é menos 25 mais 24, que é menos um. E assim podemos ver que temos um discriminante negativo aqui. E sabemos o que é a raiz quadrada de menos um. É 𝑖. As duas soluções são 𝑧 igual a menos quatro 𝑖 sobre seis e 𝑧 é igual a menos seis 𝑖 sobre seis. Podemos simplificar as soluções para 𝑧 é igual a menos dois terços 𝑖 e 𝑧 igual a menos 𝑖.

Note que embora tenhamos um discriminante negativo aqui, nossas duas soluções não são complexos conjugados. Se uma equação quadrática com coeficientes reais tiver um discriminante negativo, obteremos duas soluções complexas conjugadas. No entanto, não há garantias quando temos um coeficiente não real, como fazemos aqui.

Resolva 𝑧 ao quadrado mais dois mais 𝑖 vezes 𝑧 mais 𝑖 é igual a zero.

Usamos a fórmula quadrática, substituindo os coeficientes por 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Podemos simplificar sob o radical. Dois mais 𝑖 ao quadrado é dois ao quadrado, que é quatro, mais duas vezes duas vezes 𝑖, que é quatro 𝑖, mais 𝑖 ao quadrado, que é um menos um. E a partir disso, subtraímos quatro vezes uma vez 𝑖, que é quatro 𝑖. Nós vemos que os termos envolvendo 𝑖 cancelam-se. E ficamos com apenas quatro menos um, que é três sob o radical.

Observe que temos um discriminante positivo aqui. Há um pouco mais de simplificação para fazer. Duas vezes um no denominador é apenas dois. E podemos distribuir o sinal de menos sobre os parênteses. Fazendo isso e reorganizando os termos, obtemos menos dois mais ou menos raiz de três menos 𝑖 sobre dois. Nossas soluções são, portanto, 𝑧 igual a menos dois mais raiz de três sobre dois menos 𝑖 sobre dois e 𝑧 igual a menos dois menos raiz de três sobre dois menos 𝑖 sobre dois.

Observe que, embora nossa equação tenha um discriminante positivo, não obtemos duas soluções reais. Se uma equação quadrática com coeficientes reais tiver um discriminante positivo, obteremos duas soluções reais. No entanto, nossa equação quadrática tem alguns coeficientes não reais. E como vimos, não devemos esperar que tenha duas raízes reais.

Resolva dois mais três 𝑖 vezes 𝑧 ao quadrado mais quatro 𝑧 menos seis 𝑖 mais quatro igual a zero.

Nós usamos a fórmula quadrática. Nós substituímos os valores dos coeficientes por 𝑎, 𝑏 e 𝑐. E agora nós simplificamos. No denominador, temos quatro mais seis 𝑖. No numerador, obtemos quatro negativos mais ou menos um grande radical. E dentro desse radical, quatro ao quadrado é 16. E, a partir disso, subtraímos quatro vezes o produto de 𝑎 e 𝑐. Quando distribuímos, vemos que os termos envolvendo 𝑖 cancelam-se. E ficamos com apenas oito mais 18, que é 26. 16 menos quatro vezes 26 é menos 88.

Observe que temos um discriminante negativo aqui. A raiz quadrada de menos 88 é 𝑖 vezes a raiz quadrada de 88 ou duas 𝑖 vezes a raiz quadrada de 22. É tentador dizer que esta é a nossa resposta final aqui. Mas gostaríamos que nossos denominadores fossem reais, se possível. Fazemos isso multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado desse denominador.

Vamos fazer isso para primeira raiz. Nós distribuímos no numerador e no denominador também. E no denominador, notamos que os termos envolvendo 𝑖 cancelam-se, deixando apenas o módulo do nosso número complexo no denominador. São quatro ao quadrado mais seis ao quadrado. Calculamos o denominador e agrupamos as partes real e imaginária no numerador. E percebemos que podemos cancelar um fator quatro. Podemos, portanto, escrever nossa primeira raiz na forma mais simples, como mostrado. E podemos usar exatamente o mesmo procedimento para simplificar a segunda raiz.

Observe que, embora nossa quadrática tenha um discriminante negativo, essas duas raízes não são complexos conjugados. Eles nem sequer têm as mesmas partes reais.

Resolva 𝑧 ao quadrado menos quatro mais quatro 𝑖 𝑧 mais oito 𝑖 igual a zero.

Nós usamos a fórmula quadrática. Nós substituímos os valores dos coeficientes por 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Sob o símbolo de radical, menos quatro mais quatro 𝑖 ao quadrado se tornam 16 mais 32𝑖 menos 16, o que é apenas 32𝑖. E a partir disso, subtraímos quatro vezes um vez oito 𝑖, que é 32𝑖, o que significa que, sob o radical, temos zero. No denominador, temos dois. Escrevendo novamente sem todos os cancelamentos, vemos que nosso discriminante é zero. A raiz quadrada de zero é zero. Então, adicionamos ou subtraímos nada, o que significa que há apenas uma raiz. 𝑧 é igual a quatro mais quatro 𝑖 sobre dois, que é dois mais dois 𝑖.

Pelo teorema fundamental da álgebra, esta deve ser uma raiz repetida. E você pode verificar que é. Assim, vemos que esta quadrática tem uma única raiz não real repetida. Acontece que, se o discriminante é zero, então estamos garantidos com uma raiz repetida. Se os coeficientes da quadrática são reais, então esta raiz deve ser real em si. Mas se eles são complexos, então as raízes podem ser complexas.

Podemos ver isso observando a fórmula quadrática. Se nós fizermos o discriminante zero, então ficamos com apenas 𝑧 igual a menos 𝑏 sobre dois 𝑎. Este é o valor da nossa raiz repetida. Se os coeficientes 𝑏 e 𝑎 são reais, então a raiz repetida, menos 𝑏 sobre dois 𝑎, deve ser real também. Mas se 𝑎 ou 𝑏 ou ambos não são reais, então menos 𝑏 sobre dois 𝑎 pode não ser real também. Nos exemplos que vimos neste vídeo até agora, o discriminante sempre foi real. Mas os números tiveram que ser cuidadosamente escolhidos para que isso acontecesse. Em geral, os discriminantes podem não ser reais. Vamos ver um exemplo.

Resolva um mais dois 𝑖 vezes 𝑧 ao quadrado menos três mais 𝑖 igual a zero. Arredonde suas respostas para três números significativos.

Como não há termo envolvendo 𝑧, parece um pouco bobo quebrar a fórmula quadrática. O que podemos fazer ao invés disso é subtrair menos três mais 𝑖 de ambos os lados e então dividir ambos os lados por um mais dois 𝑖 para achar 𝑧 ao quadrado igual a três menos 𝑖 sobre um mais dois 𝑖.

Agora só precisamos encontrar a raiz quadrada desse número complexo. Mas primeiro multiplicamos o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador. Podemos distribuir e depois simplificar. E temos um quinto menos sete quintos 𝑖.

Agora, como encontramos a raiz quadrada desse número? Bem, podemos escrevê-lo na forma polar e depois aplicar o teorema de Moivre para as raízes. Qual é o módulo deste número complexo? Nós encontramos que é a raiz de dois. Como nosso número complexo está no quarto quadrante, seu argumento é o arctg de sua parte imaginária sobre sua parte real. Nós achamos que seu argumento é arctg de menos sete. E assim podemos escrever nosso número complexo na forma polar.

O teorema de De Moivre para as raízes nos dá as 𝑛-ésimas raízes de um número complexo na forma polar. Estamos procurando raízes quadradas e, portanto, 𝑛 é dois. Aplicando esta fórmula ao nosso exemplo, onde 𝑟 é a raiz de dois e 𝜃 é arctg de menos sete, obtemos o seguinte. Colocando estes valores em uma calculadora, obtemos 𝑧 igual a 0.898 menos 0.779𝑖 e 𝑧 é menos 0.898 mais 0.77𝑖 com três números significativos.

Resolva 𝑧 ao quadrado mais dois menos dois 𝑖 𝑧 menos sete mais 26𝑖 igual a zero.

Nós usamos a fórmula quadrática. Nós substituímos os valores dos coeficientes por 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Nós simplificamos sob o símbolo de radical, notando que há algum cancelamento. E menos oito 𝑖 mais 28 mais 104𝑖 é 28 mais 96𝑖. Notamos que, sob o radical, temos dois múltiplos de quatro. Assim, podemos tirar esse múltiplo de quatro em cada caso e colocar dois na frente do símbolo de radical. Isso nos permite cancelar o dois no denominador. Assim, obtemos menos um mais 𝑖 mais ou menos a raiz quadrada de sete mais 24𝑖.

Usamos o teorema de Moivre para encontrar as raízes quadradas. Mas primeiro, precisamos escrever sete mais 24𝑖 na forma polar. Seu módulo é 25 e seu argumento é arctg 24 sobre sete. E o teorema de Moivre para raízes nos diz como encontrar as raízes quadradas.

O módulo da raiz quadrada é a raiz quadrada do módulo. Então é a raiz quadrada de 25, que é cinco. Temos que reduzir pela metade o argumento. O argumento da raiz quadrada é o arctg 24 sobre sete dividido por dois. Colocando estes valores em uma calculadora, achamos que cos deste valor é 0.8 e sen deste valor é 0.6. E assim, ao multiplicar pelo módulo cinco, adicionamos ou subtraímos quatro mais três 𝑖. Portanto, nossas duas raízes são 𝑧 é igual a três mais quatro 𝑖 e 𝑧 é igual a menos cinco menos dois 𝑖.

Aqui, como o discriminante era complexo, tínhamos que usar o teorema de Moivre para encontrar suas raízes quadradas. Na verdade, encontramos apenas uma de suas raízes quadradas usando o teorema de Moivre. Mas nós sabíamos que a outra deveria ser o seu oposto. E nós temos esse sinal de mais ou menos aqui.

Aqui estão os principais pontos que abordamos neste vídeo. Podemos resolver equações quadráticas com coeficientes complexos usando a fórmula quadrática. Se o discriminante é zero, a equação tem uma única raiz repetida. Ao contrário de equações quadráticas com coeficientes reais, essa raiz repetida não precisa ser real. Se o discriminante é diferente de zero, então existem duas raízes distintas. Assim, vemos que o discriminante nos diz se a quadrática tem uma raiz repetida ou duas raízes distintas.

Vimos que, para equações quadráticas com coeficientes reais, o sinal do discriminante nos dizia se as raízes eram reais ou não reais. Se foi positivo, tivemos duas raízes reais distintas. Se foi zero, nós tivemos uma única raiz real repetida. E se foi negativo, tivemos duas raízes complexas conjugadas. Este não é o caso de equações quadráticas com coeficientes complexos. Não podemos usar o sinal do discriminante para determinar se as raízes são reais ou não reais. Tudo o que podemos fazer é dizer se há uma raiz repetida ou se há duas raízes distintas. E, de fato, em geral, o discriminante não precisa ser um número real.

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