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Neste vídeo, aprenderemos como resolver sistemas de equações lineares utilizando a eliminação.
As equações lineares são equações em que a potência mais alta de cada variável que aparece é um. E também não temos termos nos quais diferentes variáveis sejam multiplicadas. Por exemplo, a equação dois 𝑥 mais três 𝑦 igual a sete é uma equação linear. Envolve duas variáveis ou incógnitas, 𝑥 e 𝑦. E como envolve duas variáveis, não podemos resolver esta equação por conta própria; precisamos de mais informações.
Se nos deram uma segunda equação linear que também envolve estas mesmas duas variáveis, como a equação cinco 𝑥 menos 𝑦 igual a nove, agora temos o que é chamado de sistema de equações lineares. Em geral, precisamos do mesmo número de equações e variáveis. Portanto, neste sistema, temos duas variáveis 𝑥 e 𝑦 e duas equações. Então, poderíamos resolvê-lo para determinar os valores de 𝑥 e 𝑦 que funcionassem em ambas as equações. Existem vários métodos que podemos utilizar para o fazer. Neste vídeo, vamos focar-nos no método de eliminação. Vejamos uma série de exemplos diferentes, começando com este.
Utilizando a eliminação, resolva o sistema de equações três 𝑥 mais dois 𝑦 igual a 14, seis 𝑥 menos dois 𝑦 igual a 22.
Agora, equações simultâneas são apenas outra maneira de dizer um sistema de equações. Podemos ver que temos duas equações. E cada um está nas mesmas duas variáveis, 𝑥 e 𝑦. Disseram-nos que precisamos de utilizar o método de eliminação para responder a esta questão. Então, vamos ver como é. O princípio deste método é que podemos eliminar ou livrar-nos de uma das duas variáveis das nossas duas equações. Podemos escolher eliminar 𝑥 ou 𝑦. Mas para facilitar as coisas, percebemos que nesta questão, temos dois 𝑦 em cada equação. Mas na equação 1, dois 𝑦 estão a ser adicionados ao termo 𝑥 e na equação 2 estão a ser subtraídos do termo 𝑥.
A principal coisa que precisamos de identificar é que, se adicionarmos estas duas equações inteiras, eliminaremos o termo em 𝑦. Vamos ver como é. No primeiro membro, três 𝑥 mais seis 𝑥 dá nove 𝑥. Temos então mais dois mais menos dois 𝑦. Isto é dois 𝑦 menos dois 𝑦, que é igual a zero. No segundo membro, temos 14 mais 22, que é igual a 36. Portanto, eliminamos as variáveis 𝑦 e criamos uma equação apenas em 𝑥. Nove 𝑥 é igual a 36.
Agora que a nossa equação é apenas em termos de 𝑥, é fácil de resolver para determinar o valor de 𝑥. Temos nove 𝑥 igual a 36, então precisamos de dividir ambos os membros da equação por nove. Fazer isto dá 𝑥 igual a quatro. Então, descobrimos o valor de uma das nossas duas variáveis. A seguir, precisamos de determinar o valor da nossa variável 𝑦. E para fazer isto, podemos substituir o valor que determinámos para 𝑥 em qualquer uma das nossas duas equações. Realmente não importa o que escolhemos. Eu vou escolher utilizar a equação 1 simplesmente porque o coeficiente de 𝑦 é positivo nesta equação, então isto tornará as coisas um pouco mais fáceis.
Então, substituir 𝑥 igual a quatro dá três vezes quatro mais dois 𝑦 é igual a 14. Três vezes quatro é, obviamente, igual a 12. Portanto, temos a equação 12 mais dois 𝑦 igual a 14, que é uma equação apenas em 𝑦. Para resolver, primeiro precisamos de subtrair 12 de cada membro para dar dois 𝑦 igual a dois e depois dividir cada membro da equação por dois para dar 𝑦 igual a um. Então, também determinámos o valor de 𝑦. E, portanto, resolvemos o sistema de equações. A nossa solução é um par de valores: 𝑥 igual a quatro e 𝑦 igual a um.
Agora é sempre uma boa ideia verificar a nossa resposta onde pudermos. E, para fazer isso, vamos substituir o par de valores que determinámos para 𝑥 e 𝑦 em qualquer equação que não utilizámos ao determinar o segundo valor. Então, vamos substituir na equação 2. Substituir 𝑥 igual a quatro e 𝑦 igual a um no primeiro dá seis multiplicado por quatro menos dois multiplicado por um. Isto é 24 menos dois, o que é igual a 22. E este é na verdade o valor que devemos ter no segundo membro da equação. Portanto, isto confirma que a nossa solução está correta.
O princípio chave do método de eliminação nesta questão era perceber que tínhamos quase o mesmo coeficiente de 𝑦 em cada equação, mas um era positivo e o outro era negativo. Portanto, descobrimos que, se adicionássemos as duas equações, isso eliminaria as variáveis 𝑦, deixando uma equação apenas em 𝑥. A nossa solução é 𝑥 igual a quatro e 𝑦 igual a um.
No nosso próximo exemplo, veremos como o método de eliminação funciona se não pudermos eliminar uma variável adicionando as duas equações.
Utilize o método de eliminação para resolver o sistema de equações três 𝑎 mais dois 𝑏 igual a 14, quatro 𝑎 mais dois 𝑏 igual a 16.
Portanto, temos um par de equações simultâneas ou um sistema de equações lineares em duas variáveis 𝑎 e 𝑏. E disseram-nos que devemos utilizar o método de eliminação para resolver este sistema de equações. Identificaremos as nossas duas equações como equação 1 e equação 2 para facilitar a referência. E olhando para as duas equações, notamos, em primeiro lugar, que elas têm exatamente o mesmo coeficiente de 𝑏. Ambas têm dois 𝑏 positivos. Agora, o seu primeiro pensamento pode ser que podemos, portanto, eliminar a variável 𝑏 adicionando as duas equações. Mas vamos ver como é.
No primeiro membro, três 𝑎 mais quatro 𝑎 dá sete 𝑎. Temos então mais dois 𝑏 mais outro mais dois 𝑏, o que dá mais quatro 𝑏. E no segundo membro, temos 14 mais 16, que é igual a 30. Portanto, temos a equação sete 𝑎 mais quatro 𝑏 igual a 30. Esta equação ainda envolve ambas as variáveis, então não alcançámos o nosso objetivo de eliminar uma, o que significa que adicionar as duas equações não foi o passo correto a ser dado.
Em vez disso, vamos tentar subtrair uma equação da outra. E como o coeficiente do outro valor, 𝑎, é maior na equação 2 do que na equação 1, vou tentar subtrair a equação 1 da equação 2. No primeiro membro, quatro 𝑎 menos três 𝑎 dá 𝑎. Temos então dois 𝑏 menos dois 𝑏. Então, isto anula-se para zero. E no segundo membro, 16 menos 14 é dois. Então, temos 𝑎 igual a dois. Eliminámos a variável 𝑏. E, de facto, determinámos a solução para 𝑎 ao mesmo tempo. A maneira correta de eliminar uma variável era subtrair uma equação da outra. E a razão para isto é que os coeficientes da variável que estávamos a tentar eliminar, ou seja, os 𝑏, são idênticos em ambas as equações e têm o mesmo sinal.
Há um acrónimo útil que podemos utilizar para nos ajudar a lembrar isto, SIS. Significa que, se tivermos os mesmos sinais, subtraímos. Devemos lembrar que são os sinais da variável que procuramos eliminar que são importantes. Então, é nos 𝑏 que estávamos interessados aqui. Como os sinais dos 𝑏 eram iguais, eliminámo-los subtraindo uma equação da outra.
Agora que determinámos o valor de 𝑎, precisamos de determinar o valor de 𝑏, o que podemos fazer substituindo o nosso valor de 𝑎 em qualquer uma das duas equações. Vamos escolher a equação um. Temos três multiplicado por dois mais dois 𝑏 igual a 14. Isto é seis mais dois 𝑏 é igual a 14. E subtrair seis de cada membro dá dois 𝑏 igual a oito. Em seguida, resolvemos 𝑏 dividindo cada membo da equação por dois, dando 𝑏 igual a quatro.
Portanto, temos a nossa solução para as equações simultâneas: 𝑎 é igual a dois e 𝑏 é igual a quatro. Mas devemos verificar a nossa resposta, o que podemos fazer substituindo o par de valores que determinámos na outra equação. Esta é a equação 2. Substituir 𝑎 igual a dois e 𝑏 igual a quatro no primeiro membro da equação 2 dá quatro vezes dois mais dois vezes quatro. Isto é oito mais oito, que é igual a 16, o valor no segundo membro da equação 2. Portanto, isto confirma que a nossa solução está correta.
Precisamos de nos lembrar desta sigla útil SIS, que significa se os sinais da variável que queremos eliminar são os mesmos, então subtraímos. Obviamente, o contrário também é verdadeiro. Se os sinais da variável que queremos eliminar forem diferentes, adicionamos. A nossa solução para este conjunto de equações simultâneas que verificámos é 𝑎 igual a dois e 𝑏 igual a quatro.
Agora, nos dois exemplos que vimos até agora, conseguimos eliminar uma das variáveis imediatamente, adicionando ou subtraindo as duas equações originais. Às vezes, porém, pode haver uma etapa extra necessária antes que possamos fazer isto, que veremos no nosso próximo exemplo.
Utilizando a eliminação, resolva o sistema de equações cinco 𝑥 menos quatro 𝑦 igual a 21, quatro 𝑥 mais 12𝑦 igual a 32.
Então, somos solicitados resolver este sistema de equações utilizando o método de eliminação, o que significa que estamos à procura de eliminar a variável 𝑥 ou 𝑦 adicionando ou subtraindo as nossas duas equações. No entanto, se tentarmos fazer isto como as equações estão atualmente, descobriremos que em ambos os casos ainda temos variáveis 𝑥 e 𝑦 na equação que nos resta. Se somarmos, teremos a equação nove 𝑥 mais oito 𝑦 igual a 53. E se subtrairmos, teremos a equação 𝑥 menos 16𝑦 igual a menos 11. Então, isto não ajudou.
Então, porque é que não funcionou? Bem, para utilizar o método de eliminação, procuramos que os coeficientes de uma das variáveis sejam os mesmos em ambas as equações, ou pelo menos tenham a mesma intensidade, como mais e menos três. Mas neste problema, este não é o caso. Temos um coeficiente de cinco para 𝑥 na primeira equação e quatro na segunda. E temos um coeficiente de menos quatro para 𝑦 na primeira equação e 12 na segunda. Portanto, simplesmente adicionar ou subtrair estas equações como estão atualmente não elimina nenhuma das variáveis.
Disseram-nos, porém, que precisamos de utilizar o método de eliminação. Então, o que devemos fazer? Bem, o que vamos fazer é manipular ligeiramente estas equações para que tenhamos o mesmo coeficiente, ou pelo menos a mesma intensidade do coeficiente para uma das variáveis. Para conseguir isto, utilizamos a propriedade da igualdade da multiplicação, que diz que, se multiplicarmos os dois membros de uma equação pelo mesmo valor, a igualdade ainda será verdadeira. Estamos à procura de um valor no qual podemos multiplicar uma equação pelo qual daremos o mesmo coeficiente, ou coeficiente do mesmo tamanho, para uma das variáveis em ambas as equações.
Olhando para as variáveis 𝑦 nas nossas duas equações, vemos que quatro é um fator de 12. Então, se multiplicássemos a equação 1 por três, teríamos menos 12𝑦. E assim o módulo dos coeficientes de 𝑦 seria o mesmo em ambas as equações. Vamos tentar isto então. Vamos multiplicar a equação 1 por três. Então, multiplicamos tudo na equação 1 por três, dando 15𝑥 menos 12𝑦 é igual a 63. Os coeficientes de 𝑦 nas nossas duas equações agora são do mesmo tamanho, mas com sinais diferentes, o que significa que podemos eliminar as variáveis 𝑦 adicionando as nossas duas equações.
Quando o fazemos, temos 15𝑥 mais quatro 𝑥, o que dá 19𝑥; menos 12𝑦 mais 12𝑦, que dá zero; e no direito membro 63 mais 32, que é 95. Portanto, eliminamos a variável 𝑦 das nossas equações, dando uma única equação em 𝑥, que podemos resolver dividindo os dois lados por 19. Fazer isto dá a solução para 𝑥. 𝑥 é igual a cinco.
Podemos então determinar o valor de 𝑦 substituindo 𝑥 igual a cinco em qualquer uma das três equações, seja das duas originais ou da equação que criamos quando multiplicamos a equação 1 por três. Vou utilizar a equação 2, pois todos os coeficientes são positivos nesta equação. Fazer isto dá quatro vezes cinco, que é 20, mais 12𝑦 é igual a 32. Podemos então subtrair 20 de cada membro e dividir por 12 para dar 𝑦 igual a um. Portanto, temos a nossa solução: 𝑥 igual a cinco e 𝑦 igual a um. Mas é claro, devemos verificar. Vou escolher verificar substituindo os valores na equação 1. Isto é cinco 𝑥 menos quatro 𝑦 é igual a 21. Substituindo 𝑥 igual a cinco e 𝑦 igual a um dá cinco vezes cinco menos quatro vezes um. Isto é 25 menos quatro, o que é realmente igual a 21. Portanto, isto confirma que a nossa solução está correta.
A etapa chave nesta questão, então, era perceber que não poderíamos eliminar nenhuma das variáveis adicionando ou subtraindo as duas equações em sua forma original. Em vez disso, tivemos que primeiro multiplicar uma equação por uma constante para criar uma equação equivalente na qual o coeficiente de 𝑦 tivesse o mesmo módulo que na segunda equação. Só então poderíamos utilizar o método de eliminação para resolver este sistema de equações.
Nem sempre é possível multiplicar apenas uma equação por uma constante. Em vez disso, podemos precisar de multiplicar ambas as equações por constantes diferentes. Vamos dar uma olhadela num exemplo disso.
Utilizando a eliminação, resolva o sistema de equações quatro 𝑥 mais seis 𝑦 igual a 40 e três 𝑥 mais sete 𝑦 igual a 40.
Nas duas equações que nos foram dadas, os coeficientes de 𝑥 são diferentes e os coeficientes de 𝑦 também são diferentes, o que significa que não podemos eliminar uma variável apenas adicionando ou subtraindo as equações. Também notamos que nenhum dos coeficientes de 𝑥 são fatores do outro e nenhum dos coeficientes de 𝑦 são fatores um do outro. Queremos criar equações nas quais os coeficientes de qualquer uma das variáveis sejam iguais ou pelo iguais, mas com sinais diferentes. Então, como é que vamos fazer isso?
Bem, teremos que multiplicar as duas equações por uma constante. Vou escolher multiplicar a equação 1 por três e a equação 2 por quatro, porque isto criará 12𝑥 em cada equação. Também poderíamos ter escolhido multiplicar a equação 1 por sete e a equação 2 por seis, pois isso criaria 42𝑦 em cada equação. Não importa qual é a variável escolhemos eliminar.
Agora que temos nossas duas novas equações, temos 12𝑥 em cada uma. E como os sinais são iguais, podemos eliminar a variável 𝑥 subtraindo. Na verdade, vou subtrair a equação de cima da de baixo porque o coeficiente de 𝑦 é maior na segunda equação. Temos 12𝑥 menos 12𝑥, que anula; 28𝑦 menos 18𝑦, o que dá 10𝑦; e 160 menos 120, que é 40. Então, eliminamos a variável 𝑥 da nossa equação. Podemos então resolver em ordem a 𝑦 dividindo ambos os membros desta equação por 10, dando 𝑦 igual a quatro.
Para resolver 𝑥, substituímos este valor de 𝑦 em qualquer uma das nossas quatro equações. Vou escolher a equação 1. Isto dá uma equação linear direta para 𝑥 que podemos resolver subtraindo 24 e dividindo por quatro para dar 𝑥 igual a quatro. Portanto, temos a nossa solução. Ambos 𝑥 e 𝑦 são iguais a quatro. Como sempre, devemos verificar a nossa solução substituindo os nossos valores em qualquer uma das outras equações. Eu utilizei a equação 2. E confirma que a nossa solução está correta.
O passo chave nesta questão, então, foi multiplicar ambas as equações por um número para criar o mesmo coeficiente de uma das variáveis. Poderíamos então utilizar o método de eliminação para eliminar esta variável e resolver os nossos sistemas de equações.
Vamos revrr alguns dos pontos principais desta aula. O nosso objetivo neste método é eliminar uma variável adicionando ou subtraindo as duas equações. Se os coeficientes da variável que queremos eliminar têm sinais diferentes, adicionamos as duas equações. E se os sinais são iguais, subtraímos as equações, que podemos lembrar utilizando a sigla SIS. Também vimos que, em alguns casos, podemos precisar multiplicar uma ou ambas as equações por uma constante antes de adicionar ou subtrair para eliminar uma variável.
Uma vez eliminada uma variável e determinado o valor da outra, precisamos de substituir este valor de novo numa das nossas equações para determinar o valor da variável que eliminámos. E devemos sempre verificar a nossa resposta substituindo ambos os valores em qualquer equação que não utilizamos ao calcular o segundo valor.
