Vídeo: Encontrando Raízes de Quadráticas por Fatoração

Veja como encontrar as raízes de uma quadrática ao fatorar uma expressão quadrática. Exemplos incluem 𝑥² + 10𝑥 = 0, (𝑥 + 7) ², 𝑥² + 2𝑥 − 35 = 0, 4𝑥² − 25 = 0 e 6𝑥² + 11𝑥 − 10 = 0. Além disso, abrange diferentes maneiras de apresentar respostas, como conjunto solução.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos dar uma olhada em alguns exemplos de equações quadráticas e usar fatoração, para encontrar suas raízes. Também falaremos sobre algumas das diferentes notações que você pode usar para apresentar suas respostas. Nós falamos sobre fatoração de diferentes tipos de quadrática com mais detalhes em outros vídeos, então vamos apenas recapitular o processo aqui.

Mas primeiro, lembre-se de que uma expressão quadrática tem um termo quadrado, um termo linear e um termo constante. Então, é um número positivo ou negativo vezes 𝑥 quadrado, um número positivo ou negativo vezes 𝑥 e uma constante positiva ou negativa no final. Lembre-se também que o coeficiente de 𝑥 ou o termo constante no final, o 𝑏 ou o 𝑐, poderiam ser zero ou os dois valores poderiam ser zero para esse assunto. Mas o valor de 𝑎 aqui não pode ser zero, caso contrário, não seria uma quadrática.

Por exemplo, se 𝑎 for um, 𝑏 for menos cinco e 𝑐 for seis, teríamos uma expressão quadrática de 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis. E lembre-se também que não precisa ser 𝑥; poderíamos usar qualquer letra. As raízes de uma quadrática são os valores de 𝑥 que geram o resultado zero, quando você os substitui na expressão. Então, por exemplo a questão: 𝑦 é igual a 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis significa resolver 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais seis igual a zero. Em outras palavras, encontre os valores de 𝑥 que resolvem a essa equação.

Agora, neste caso, não vamos nos preocupar sobre como as encontramos, mas há duas respostas possíveis. Quando 𝑥 é igual a dois, nós substituímos esse número e obtemos uma resposta zero, então ela funciona. E quando 𝑥 é igual a três, nós substituímos esse número em 𝑥 e obtemos uma resposta zero, então ela também funciona.

Agora podemos apresentar nossa resposta de duas maneiras. Podemos apresentá-la como uma lista, então 𝑥 é igual a dois ou 𝑥 é igual a três; ou podemos apresentá-la como um conjunto de soluções, então dois e três em notação de conjunto. E com as quadráticas, é provável que você encontre essa ideia de números reais, portanto, nosso conjunto de soluções é o conjunto de números reais. Então, pensando em como nossos gráficos quadráticos seriam, se o gráfico cortar o eixo 𝑥 em dois lugares, então temos duas soluções. Se tocar o eixo 𝑥 em um lugar, temos uma solução. E se não cortar o eixo 𝑥, então não temos soluções reais. Se usarmos números imaginários ou complexos, poderemos encontrar algumas soluções, mas não vamos nos aprofundar nisso agora.

OK. Vamos ver alguns exemplos. Número um: Encontre o conjunto solução de 𝑥 ao quadrado mais dez 𝑥 igual a zero. Isso também poderia ser dito como: Encontre as raízes de 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais dez 𝑥.

Agora esta é uma equação que fatoramos facilmente. Temos 𝑥 e 𝑥 aqui, então 𝑥 será nosso termo comum que podemos colocar em evidência. Então, podemos expressar isso como 𝑥 vezes 𝑥 mais dez igual a zero. Agora aquele 𝑥, junto aos parênteses, significa 𝑥 vezes 𝑥 mais dez, portanto temos isto vezes algo igual a zero. E a única maneira de obter uma resposta zero quando você multiplica duas coisas juntas é se uma delas for zero. Então, ou 𝑥 é igual a zero, ou 𝑥 mais dez é igual a zero. E se eu subtrair dez de cada lado dessa equação, fico com 𝑥 igual a menos dez. Então, se eu estivesse apenas escrevendo as respostas como uma lista, eu diria que minha resposta é 𝑥 igual a zero ou 𝑥 é igual a menos dez. Mas a pergunta pediu pelo conjunto solução. Portanto, usando a notação de conjunto, os dois valores que 𝑥 podem assumir são zero e menos dez; então esta seria minha resposta.

Número dois: Encontre o conjunto solução de 𝑥 mais sete todos ao quadrado igual a zero.

Agora, 𝑥 mais sete todos os quadrados significa 𝑥 mais sete vezes 𝑥 mais sete. Então, temos que algo vezes algo é igual a zero. Novamente, quando algo vezes algo é igual a zero, a única maneira de conseguir isso é se um dos termos for igual a zero. Então, 𝑥 mais sete é igual a zero, o que tornaria 𝑥 igual a menos sete, ou a mesma coisa. Então, temos raízes repetidas. Esta é uma daquelas situações em que se desenharmos o gráfico desta função 𝑦 igual a 𝑥 mais sete todos ao quadrado, pareceria mais ou menos assim. Ela tocaria o eixo 𝑥 em um lugar, o menos sete e, de fato, cortaria o eixo 𝑦 em quarenta e nove. Portanto, nosso conjunto solução tem apenas um item, o menos sete.

Passando para o número três então. Encontre o conjunto solução de 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos trinta e cinco é igual a zero em ℝ, o conjunto de números reais.

Então vale a pena lembrar que 𝑥 ao quadrado significa um 𝑥 ao quadrado. E quando temos um 𝑥 ao quadrado, há um certo conjunto de regras que podemos seguir quando estamos fazendo nossa fatoração. Então lembre-se que temos 𝑥 mais um número de vezes 𝑥 mais outro número e os multiplicamos termo a termo, temos 𝑥 vezes 𝑥 o que nos dá 𝑥 ao quadrado e temos 𝑥 vezes 𝑏 que é 𝑏𝑥 e 𝑎 vezes 𝑥 que é 𝑎𝑥 e 𝑎 vezes 𝑏 que é 𝑎𝑏.

Agora, olhando para isso, temos 𝑏𝑥 e 𝑎𝑥, então temos como fatorar o 𝑥; nós temos 𝑎 mais 𝑏 𝑥. Então, ao converter entre essas duas formas diferentes de nossa expressão, no final, temos 𝑎 vezes 𝑏, então esse número vezes esse número. E aqui, como o múltiplo de 𝑥, temos 𝑎 mais 𝑏. Então vou adicionar 𝑎 e 𝑏. E isso deve nos ajudar a fazer nossa fatoração lembrando daquela forma.

Então, estou procurando 𝑥 mais ou menos algumas vezes 𝑥 mais ou menos outra coisa. E se eu multiplicar esses dois números juntos, vou ter menos trinta e cinco e, se adicioná-los, terei dois positivo. Então, primeiro de tudo, vou escrever todos os fatores de trinta e cinco.

Então sempre comece com um e o número, então um vezes trinta e cinco, dois não é um fator, três não é, quatro não é, cinco é um fator, cinco vezes sete, seis não é um fator, e agora temos até sete. Já encontramos sete em nossa lista, por isso sabemos que temos todos os fatores de que precisamos: uma vez trinta e cinco ou cinco vezes sete. Bem, eles são fatores de trinta e cinco. Agora, para obter menos trinta e cinco, um precisa ser positivo e o outro precisa ser negativo. Vamos ter isso em mente, um deles será positivo, o outro será negativo. Agora, quando adiciono esses dois fatores, eles precisam me dar dois positivo. Para um e trinta e cinco, a diferença é trinta e quatro. Portanto, não importa qual deles é positivo e qual é negativo. Quando eu os adicionar, eu nunca vou conseguir uma resposta dois. Mas com cinco e sete, a diferença entre eles é dois. Então eu tenho que pensar cuidadosamente qual deles tem que ser positivo, qual deles tem que ser negativo.

E quando eu os somo, o resultado é positivo. Portanto, o número maior precisa ser positivo e o número menor precisa ser negativo. Então 𝑥 menos cinco vezes 𝑥 mais sete é igual a zero. Agora vamos verificar se conseguimos a mesma expressão quando as multiplicamos. 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado, 𝑥 vezes sete é sete 𝑥, menos cinco vezes 𝑥 é menos cinco 𝑥 e menos cinco vezes sete é menos trinta e cinco. E simplificando, sete 𝑥 menos cinco 𝑥 é dois 𝑥. Isso nos deixa com 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos trinta e cinco. Que é o que procurávamos originalmente, então nós fatoramos corretamente.

Então nos encontramos na situação em que temos algo vezes algo é igual a zero. E se algo vezes algo é igual a zero, uma dessas coisas deve ser zero. Então, 𝑥 menos cinco é zero, o que significaria que 𝑥 seria cinco; ou 𝑥 mais sete igual a zero, neste caso 𝑥 será igual a menos sete. Portanto, nosso conjunto solução consiste em menos sete e cinco.

Número quatro: Encontre o conjunto solução de quatro 𝑥 ao quadrado menos vinte e cinco igual a zero no conjunto de números reais.

Então aqui está uma quadrática que tem um 𝑏 valendo zero. E, de fato, este é um caso muito especial porque quatro 𝑥 ao quadrado pode ser escrito como dois 𝑥 todos ao quadrado e vinte e cinco pode ser escrito como cinco ao quadrado. Então, temos uma diferença de dois 𝑥 quadrados; dois 𝑥 todos ao quadrado menos cinco ao quadrado. Vamos apenas tirar um segundo para lembrar a técnica da diferença de dois quadrados. Se eu tivesse dois parênteses aqui 𝑥 menos 𝑎 vezes 𝑥 mais 𝑎, 𝑥 vezes 𝑥 é 𝑥 ao quadrado, 𝑥 vezes 𝑎 é 𝑎𝑥, menos 𝑎 vezes 𝑥 é menos 𝑎𝑥 e menos 𝑎 vezes 𝑎 é ​​menos 𝑎 ao quadrado. Então, multiplicando esses parênteses, tenho 𝑥 ao quadrado mais 𝑎𝑥 menos 𝑎𝑥. Nesses dois termos, se eu começar com 𝑎𝑥 e subtrair 𝑎𝑥, isso vai me dar zero; então vai cancelar. E então eu tenho menos 𝑎 ao quadrado. Assim, eu tenho 𝑥 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado; a diferença de dois quadrados. Então eu vou usar esse resultado 𝑥 menos 𝑎 vezes 𝑥 mais 𝑎 que me dá 𝑥 ao quadrado 𝑎 quadrado, para me ajudar a fatorar essa expressão.

Então alguma coisa ao quadrado menos outra coisa ao quadrado me dá algo menos a outra coisa vezes o algo mais a outra coisa. Vou fazer o mesmo padrão aqui. Então, isso é o que nós fatoramos e lembramos de nossa equação original que isso é igual a zero. Temos que algo vezes algo é igual a zero. Então, dois 𝑥 menos cinco é igual a zero, o que quando eu reorganizo e resolvo a equação obtenho 𝑥 é igual a cinco sobre dois; ou dois 𝑥 mais cinco é igual a zero, o que eu posso reorganizar e resolver para obter 𝑥 é igual a menos cinco sobre dois. Então, aqui estão minhas duas respostas: 𝑥 é igual a cinco sobre dois ou menos cinco sobre dois. E usando a notação definida como solicitada na pergunta, meu conjunto solução de números reais é menos cinco sobre dois ou cinco sobre dois.

Por fim, o exemplo número cinco. Encontre o conjunto solução de seis 𝑥 ao quadrado mais onze 𝑥 menos dez igual a zero no conjunto de números reais.

Aqui temos que fatorar uma expressão quadrática que não tem um 𝑥 ao quadrado; tem mais de um 𝑥 ao quadrado. Então, precisamos fatorar essa quadrática, colocá-la igual a zero e ver quais duas soluções obtemos. Agora isso é um pouco mais complicado do que as quadráticas monicas. A palavra monica significa quando o coeficiente do termo de maior potência é igual a um. Por exemplo, um 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais cinco. Agora, como dissemos, as monicas são mais fáceis de fatorar do que as não-monicas. Então, vamos agora passar por um método de fatoração dessas quadráticas não-monicas.

Primeiro de tudo, eu vou fazer o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, seis, vezes o termo constante menos dez. E seis vezes menos dez é menos sessenta. O que eu vou fazer é escrever todos os fatores de sessenta e então nós vamos lidar com o sinal de menos mais tarde. Assim, um vezes sessenta é sessenta, duas vezes trinta é sessenta, três vezes vinte, quatro vezes quinze, cinco vezes doze, seis vezes dez, sete não é um fator, oito não é um fator, nem é nove, e dez, nós já encontramos dez; então temos todos os fatores de sessenta.

Eu tenho seis pares de fatores de sessenta. Mas o que eu preciso saber agora é qual desses pares, quando eu os adiciono, obtenho onze positivo; que é o coeficiente do termo 𝑥. Agora lembre-se que eles vão se multiplicar para obter menos sessenta, então um deles tem que ser positivo e o outro tem que ser negativo. E quando eu os adicionar, eu vou obter a diferença dos dois. Então, eu estou procurando por dois fatores que têm uma diferença de onze. Obviamente, um e sessenta não vai ter uma diferença de onze, dois e trinta não vai ter uma diferença de onze, nem três e vinte, agora, quatro e quinze têm uma diferença de onze. Então, preciso descobrir qual precisa ser positivo e qual precisa ser negativo. Estou tentando gerar onze positivos, então o maior deles tem que ser positivo e o menor precisa ser negativo. Então temos, menos quatro e quinze que me dão onze positivo.

Vou reescrever esse termo do meio, mais onze 𝑥, como uma combinação de menos quatro 𝑥 e mais quinze 𝑥. Agora, não importa qual ordem eu escrevo isso, quinze 𝑥 menos quatro 𝑥 ou menos quatro 𝑥 mais quinze 𝑥; então eu escolhi fazer assim. Mas, basicamente, quinze 𝑥 menos quatro 𝑥 me dá onze 𝑥 como nós temos na linha acima; então essas duas linhas são completamente equivalentes. Tendo reescrevido esse termo do meio, o 𝑥, agora vou tratar disso como duas metades separadas, seis 𝑥 ao quadrado mais quinze 𝑥 e menos quatro 𝑥 menos dez 𝑥. E vou fatorar a primeira metade. Então, seis e quinze têm um maior fator comum que é o três e 𝑥 ao quadrado e 𝑥 têm um maior fator comum que é o 𝑥. Então, isso vai dar três 𝑥 vezes dois 𝑥. Porque três 𝑥 vezes dois 𝑥 me dá seis 𝑥 ao quadrado, o que eu preciso multiplicar três 𝑥 para obter quinze 𝑥; são apenas cinco.

Eu apenas fatorei a primeira metade dessa expressão aqui em cima. Agora esses termos entre parênteses, dois 𝑥 mais cinco, eu quero que seja um fator comum. Então, vou escrever esses parênteses novamente aqui, dois 𝑥 mais cinco. E preciso descobrir o que eu preciso para multiplicar isso, a fim de obter a expressão menos quatro 𝑥 menos dez. Então, dois 𝑥, o que eu preciso multiplicar por dois 𝑥 para obter menos quatro 𝑥. Bem, isso precisaria ser menos dois, menos dois vezes dois 𝑥 é menos quatro 𝑥. Agora, vamos verificar que menos dois vezes cinco nos dá menos dez. E esse é o outro termo que estamos procurando.

Então essas duas linhas também são equivalentes, nós apenas a reescrevemos de uma maneira diferente. Em vez de seis 𝑥 ao quadrado mais quinze 𝑥, temos três 𝑥 vezes dois 𝑥 mais cinco e, em vez de menos quatro 𝑥 menos dez 𝑥, temos menos dois vezes dois 𝑥 mais cinco. Agora temos algo vezes dois 𝑥 mais cinco menos algo vezes dois 𝑥 mais cinco. Aquele dois 𝑥 mais cinco é um fator comum a esses dois termos. Então eu vou colocá-lo como um fator comum em evidência. Agora, no primeiro termo, temos dois 𝑥 mais cinco vezes três 𝑥. E no segundo termo, temos dois 𝑥 mais cinco vezes menos dois. Então, fatorei minha expressão quadrática para dois 𝑥 mais cinco vezes três 𝑥 menos dois. E se fizermos uma verificação rápida de que dois 𝑥 vezes três 𝑥 é seis 𝑥 ao quadrado, dois 𝑥 vezes menos dois é menos quatro 𝑥, cinco vezes três 𝑥 é quinze 𝑥 e cinco vezes menos dois é menos dez. E como dissemos antes, menos quatro 𝑥 mais quinze 𝑥 é mais onze 𝑥. E sim, essa é a expressão que estávamos procurando. Então parece que nós fatoramos corretamente.

Então, fazendo nossa fatoração, temos que algo vezes algo é igual a zero. Então um desses termos vai ser zero. Portanto, dois 𝑥 mais cinco é zero, em outras palavras 𝑥 é igual a menos cinco sobre dois; ou três 𝑥 menos dois é zero, em outras palavras 𝑥 é igual a dois terços. Portanto, nosso conjunto solução é menos cinco sobre dois ou dois terços. E lembre-se de que se estivéssemos escrevendo isso como uma lista, teríamos escrito 𝑥 é igual a menos cinco negativo sobre dois, ou 𝑥 é igual a dois terços.

Para resumir, as raízes são valores de 𝑥 que substituímos na expressão para obter valor zero. As quadráticas podem ter duas ou uma ou nenhuma raiz real. Então, você só precisa escolher um método de fatoração. Você tem fatoração simples, diferença de dois quadrados, uma monica ou uma não-monica, você pode fatorar usando dois parênteses. E quando você os coloca iguais a zero e você tem algo vezes algo é igual a zero, ou o primeiro termo é igual a zero, ou o segundo termo é igual a zero. E isso permite que você encontre suas soluções. Aproveite da fatoração para resolver suas quadráticas.

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