Vídeo: Determinando a Forma Canónica a partir da Equação de Uma Reta

Aprende como utilizar e manipular a equação de uma reta para identificar o declive e a interseção com O𝑦 do gráfico de uma reta.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a utilizar a equação de uma reta para determinar o declive e a interseção em O𝑦 dessa reta. A forma canónica de uma equação da reta é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏 e poderás conhecê-la como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 ou 𝑦 igual a 𝑎𝑥 mais 𝑏. Isto na verdade não importa. O importante é que o número pelo qual estás a multiplicar 𝑥 indica o declive da reta e o número isolado, adicionado ou subtraído no final, informa a interseção com O𝑦 da reta.

Assim, por exemplo, se tivéssemos a equação 𝑦 igual a três 𝑥 mais dois, três será o declive e dois positivos será a interseção com O𝑦. Mas o que é que isto realmente significa? Bem, simplificando, a interseção com O𝑦 é onde interseta o eixo O𝑦. Então aqui está. Portanto, outra maneira de pensar sobre isto é que, se olharmos para este ponto aqui, a coordenada em 𝑥 é zero e a coordenada em 𝑦 é dois. Portanto, a coordenada em 𝑦 quando a coordenada em 𝑥 é zero é a interseção com O𝑦. E se pensarmos sobre isso em termos da nossa equação, se eu colocar um valor zero na minha equação, em 𝑥, tenho 𝑦 é igual a três vezes zero mais dois ou três vezes zero é apenas zero. Então, 𝑦 é igual a zero mais dois; 𝑦 é igual a dois.

Então, temos algumas maneiras de pensar sobre a interseção em O𝑦. Em primeiro lugar, é apenas este número na nossa equação. Em segundo lugar, é exatamente onde interseta o eixo O𝑦. Em terceiro lugar, é a resposta que obtenho para 𝑦 quando substituo a coordenada em 𝑥 por zero. E estas duas últimas coisas significam exatamente a mesma coisa.

E o declive é tudo sobre a subida ou a descida acentuada da reta. Portanto, neste caso, o nosso declive é três. E isso significa que sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 aumenta em três, porque é três positivo. Então, vou aumentar a minha coordenada em 𝑥 uma unidade; a coordenada em 𝑦 aumenta três. Se aumentar a minha coordenada em 𝑥 um novamente, a coordenada em 𝑦 aumentará três, o que obviamente significa que, se retroceder, se diminuir a minha coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 vai diminuir três. Pelo que posso descobrir quais serão os meus outros pontos e traçar minha reta. Portanto, o declive não é apenas o declive da reta que podemos reconhecer aqui. Se obtivemos a nossa equação na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, o declive é o multiplicador de 𝑥 ou o coeficiente de 𝑥 nesta equação.

Então, vamos ver alguns exemplos. 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 mais dois. Está na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, então o declive é apenas menos cinco e a interseção com O𝑦 é dois positivo. E se pensarmos sobre isto em termos do gráfico, se eu tomar um ponto nesta reta e depois adicionar um à coordenada em 𝑥, o que muda na coordenada em 𝑦 para voltar à reta? Neste caso, é menos cinco. E a interseção com O𝑦, lembra-te, é exatamente onde interseta o eixo O𝑦; então, neste caso, é dois.

Direito. Próximo exemplo: 𝑦 igual 𝑥 menos um meio. Bem, o declive é a coisa pela qual multiplicamos 𝑥, e a interseção é a coisa que se adiciona no final. Então, nós temos esta equação basicamente na forma certo 𝑦 é igual a algo vezes 𝑥 mais outro número, exceto que não escrevemos este número à frente de 𝑥, o que significa que é um. Quando é um vezes 𝑥, normalmente não escrevemos um, mas está mesmo lá. E a outra pequena diferença do normal é que, embora digamos que é 𝑚𝑥 mais 𝑏, o número que adicionamos aqui é menos um meio. Então, aqui, o declive é um e a interseção com O𝑦 é menos um meio. Isso significa que interseta o eixo O𝑦 quando 𝑦 é menos um meio e sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em O𝑦 correspondente nesta equação também aumenta uma unidade. Portanto, nestas questões, não precisaria necessariamente de representar o gráfico. Mas apenas por interesse, é assim que seria neste caso. Sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 correspondente aumenta uma unidade quando volto para a reta. E a interseção O𝑦, onde interseta o eixo O𝑦, é menos um meio.

Que tal este: 𝑦 igual a sete 𝑥. Bem, temos um coeficiente de 𝑥, temos um 𝑦 sozinho, então o declive é sete. Mas o que adicionámos no fim? Bem, não adicionámos nada. Então, isso significa que a nossa interseção com O𝑦 é zero; passa na origem. A reta 𝑦 igual a sete 𝑥 tem uma coordenada; quando 𝑥 é zero, a coordenada em 𝑦 também é zero.

Agora, às vezes, não tens a equação na forma correta e precisas de trabalhar um pouco para chegar lá. Esta não está na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, temos 𝑦 mais dois 𝑥 igual a menos sete. Portanto, podemos utilizar operações inversas para tentar limpar tudo o mais no membro da equação que tem 𝑦 e ​​ver com o que ficamos. Então, no primeiro membro, temos 𝑦 mais dois 𝑥. Bem, a operação inversa de adicionar dois 𝑥 é subtrair dois 𝑥. Então, vou subtrair dois 𝑥 a ambos os membros da minha equação. E no primeiro membro, 𝑦 mais dois 𝑥 menos dois 𝑥, deixa-me apenas com 𝑦. Bem, este era o objetivo de fazer isto. E no segundo membro, se eu subtrair dois 𝑥, fico com menos sete menos dois 𝑥. Agora tenho dois termos aqui. Eu tenho menos sete e menos dois 𝑥. Agora, não importa se começo com menos sete e depois subtraio dois 𝑥 disso ou começo com menos dois 𝑥 e subtraio sete; obtenho a mesma coisa. Mas eu recomendaria que a escrevesses nesta forma, porque assim, que é a forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, será mais fácil descobrir qual é o seu declive e a interseção com O𝑦. O coeficiente de 𝑥, ou o multiplicador de 𝑥, neste caso, é menos dois. Então, o declive é menos dois. Portanto, esta é uma reta decrescente. E a interseção com O𝑦 é menos sete, então vai intersetar o eixo O𝑦 em menos sete. E se estiveres interessado no gráfico, observa que interseta o eixo O𝑦 aqui em menos sete e sempre que aumento a coordenada em 𝑥 um, a coordenada em 𝑦 diminui dois ao longo desta reta. Ou seja, o declive é menos dois.

Agora, no nosso próximo exemplo, dois 𝑦 mais três 𝑥 igual a seis. Ainda é a equação de uma reta, mas não está bem organizada na forma certa 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏. Então, novamente, vou procurar operações inversas. Eu tenho dois 𝑦 mais três 𝑥. Portanto, o oposto de adicionar três 𝑥 é subtrair três 𝑥. Vou fazer isso nos dois membros da minha equação. E no primeiro membro, tenho dois 𝑦 mais três 𝑥 menos três 𝑥 é apenas dois 𝑦; e no segundo membro, tenho seis menos três 𝑥. Mais uma vez, vou trocar estes dois porque prefiro tê-los na forma 𝑚𝑥 mais 𝑏, e ambos são equivalentes. Então, precisas de ter um pouco de cuidado com os sinais ali. Então, temos dois 𝑦 igual a menos três 𝑥 mais seis. Mas ainda não estamos prontos para terminar. Olha, ainda temos este dois 𝑦 aqui. Então, 𝑦 vezes dois. Agora, a operação inversa de multiplicar por dois é dividir por dois; portanto, se eu quiser ficar com 𝑦 sozinho, preciso de dividir os dois membros da minha equação por dois. E isso significa todos os termos de ambos os membros. Então, passando termo por termo no primeiro membro, metade de dois 𝑦 é um 𝑦, metade de menos três é menos um e meio, mas, na verdade, vou escrever nesta forma: menos três dividido por dois. Na verdade, economiza qualquer trabalho e esta é uma forma perfeitamente aceitável do valor, e depois metade de seis é três, mais três. Agora, temos a forma correta: 𝑦 igual a algo vezes 𝑥 mais algo. E o algo que vezes 𝑥 diz-nos que o declive é menos três sobre dois, ou menos um e meia é o declive. E o algo sozinho no final, mais três, três positivo, é a interseção com O𝑦. É aí que interseta o eixo O𝑦, e o declive diz-nos que é decrescente. Sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade e movo para a direita uma unidade, a coordenada em 𝑦 diminui um e meio.

Então, apenas para resumir o que aprendemos; podemos obter equações na forma 𝑦 é igual a algo vezes 𝑥 mais algo. Agora o múltiplo de 𝑥, o coeficiente de 𝑥 é conhecido como o declive do gradiente; e isto diz-nos como a reta está inclinada. E o número sozinho que adicionamos diz-nos onde interseta o eixo O𝑦. Então, temos um exemplo aqui: essa reta interseta o eixo O𝑦 em dois, então a interseção em O𝑦 é dois, dois positivo. E movendo-se ao longo desta reta, sempre que aumento a coordenada em 𝑥 uma unidade, a coordenada em 𝑦 correspondente também aumenta uma unidade. Então, o declive é um positivo. Portanto, substituindo isto de volta na nossa equação, neste caso, 𝑚 seria igual a um e 𝑏 seria igual a dois positivo. E a equação da nossa reta é: 𝑦 igual a um 𝑥 mais dois, mas é claro que, lembra-te de que, normalmente não nos damos ao trabalho de escrever o um, pelo que podemos apagar isto; 𝑦 é igual a 𝑥 mais dois. E, às vezes, a equação que nos foi dada não está na forma certa para nós, então precisamos de utilizar operações inversas para reorganizar isto, para que possamos descobrir qual é o declive e a interseção em O𝑦.

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