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Vídeo da aula: O Teorema da Potência de um Ponto Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a potência de um ponto em relação a uma circunferência.

17:55

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a potência de um ponto em relação a uma circunferência e usar a potência de um ponto para encontrar outros comprimentos geométricos. A potência de um ponto é um número que quantifica a relação geométrica entre um ponto e uma circunferência. Definimos a potência de um ponto da seguinte maneira. Dado uma circunferência de raio 𝑟 centrado em 𝑀 e um ponto 𝐴, a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀, denotado P 𝑀 de 𝐴, é dado por P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado. Vamos agora ver um exemplo de como podemos usar essa definição de potência de um ponto para encontrar a potência de um ponto em relação a uma determinada circunferência.

Uma circunferência tem centro 𝑀 e raio 𝑟 é igual a 21. Encontre a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência, dado que 𝐴𝑀 é igual a 25.

Para responder a essa pergunta, precisaremos da definição da potência de um ponto. Temos que a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀 ou P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado. Agora, na pergunta, foi dado que 𝐴𝑀 é igual a 25. Também nos foi dado que 𝑟 é igual a 21. Tudo o que precisamos fazer é substituir esses valores em nossa fórmula pela potência do ponto 𝐴. Temos que P 𝑀 de 𝐴 é igual a 25 ao quadrado menos 21 ao quadrado.

Agora, 25 ao quadrado é igual a 625 e 21 ao quadrado é igual a 441. E a diferença entre esses números é 184. Aqui, chegamos à nossa solução, que é que a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀 é igual a 184. Neste exemplo, nossa potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀 é positiva, e isso acontece porque 𝐴𝑀 é maior que o raio 𝑟. Isso de fato nos diz que o ponto 𝐴 está fora da circunferência.

Existem dois outros casos a serem considerados em relação à posição do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀. Aqui é mostrado o primeiro caso em que 𝐴 está fora da circunferência, bem como no exemplo anterior. Podemos ver que o comprimento de 𝐴𝑀 é maior que 𝑟; portanto, 𝐴𝑀 ao quadrado é maior que 𝑟 ao quadrado. Subtraindo 𝑟 ao quadrado de ambos os lados da equação, podemos ver que 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado é maior que zero. Agora, o lado esquerdo dessa inequação é igual à potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀. Portanto, P 𝑀 de 𝐴 é maior que zero, o que equivale a dizer que é positivo.

O segundo caso é quando 𝐴 está na circunferência. Como podemos ver no diagrama, 𝐴𝑀 é igual ao comprimento do raio. Portanto, 𝐴𝑀 é igual a 𝑟. Seguindo uma lógica semelhante à do primeiro caso, temos que 𝐴𝑀 ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado e 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado é igual a zero. Portanto, quando 𝐴 está na borda da circunferência, a potência do ponto 𝐴 em relação à circunferência 𝑀 é igual a zero. O terceiro caso é quando 𝐴 está dentro da circunferência. Portanto, 𝐴𝑀 é menor que 𝑟. Seguindo uma lógica semelhante aos dois casos anteriores, obtemos que 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado é menor que zero. Portanto, quando nosso ponto 𝐴 está dentro da circunferência, a potência do ponto é negativa. Vamos ver um exemplo de como isso pode ser usado para determinar a posição de um ponto em relação a uma circunferência.

Determine a posição de um ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑁 se P 𝑁 de 𝐴 for igual a 814.

Sabemos que a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑁 é igual a 𝐴𝑁 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado. E fomos informados de que esse valor é igual a 814, que é maior que zero. Então P 𝑁 de 𝐴 deve ser positivo. Isso nos diz que 𝐴𝑁 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado também é positivo. Adicionando 𝑟 ao quadrado a ambos os lados da inequação, obtemos que 𝐴𝑁 ao quadrado é maior que 𝑟 ao quadrado. Como 𝐴𝑁 e 𝑟 são comprimentos, sabemos que ambos devem ser maiores que zero. Portanto, ao obter raízes quadradas em ambos os lados de nossa inequação, não precisamos nos preocupar com negativos, dando que 𝐴𝑁 é maior que 𝑟. Como o comprimento do centro da circunferência até o ponto 𝐴 ou 𝐴𝑁 é maior que o raio da circunferência, isso nos diz nossa solução, que é que o ponto 𝐴 fica fora da circunferência.

Vamos agora ver mais algumas aplicações geométricas da potência de um ponto. Começaremos considerando a relação entre a potência de um ponto e o comprimento de uma tangente. No diagrama, podemos ver que temos uma circunferência com centro 𝑀, um ponto 𝐵 na circunferência e um ponto 𝐴 tal que 𝐴𝐵 é uma tangente à circunferência. Como definimos 𝐴𝐵 como uma tangente, sabemos que a medida do ângulo 𝑀𝐵𝐴 deve ser de 90 graus. Portanto, o triângulo 𝑀𝐵𝐴 é um triângulo retângulo. Isso significa que podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Temos que o quadrado da hipotenusa ou 𝐴𝑀 ao quadrado é igual à soma do quadrado dos outros dois lados, então 𝐴𝐵 ao quadrado mais 𝑟 ao quadrado.

Reorganizando essa equação, temos que 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado é igual a 𝐴𝐵 ao quadrado. Agora, o lado esquerdo desta equação é igual à potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀. Então podemos dizer que P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐵 ao quadrado. Isso nos leva a outra definição para a potência de um ponto e o comprimento de uma tangente. Considere uma circunferência 𝑀 e um ponto 𝐴 fora da circunferência. Seja 𝐴𝐵 uma tangente a circunferência. Então P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐵 ao quadrado. A seguir, consideraremos uma circunferência contendo uma secante e uma tangente. Essa propriedade de relacionar o comprimento das tangentes e a potência de um ponto será útil em nossa prova.

Aqui, temos uma circunferência onde 𝐴𝐵 é uma tangente a circunferência, 𝐴𝐶𝐷 é uma secante e 𝐵𝐶 e 𝐵𝐷 são ambas as cordas dentro da circunferência. Agora, vamos reivindicar que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é semelhante ao triângulo 𝐴𝐵𝐷. E vamos tentar provar essa afirmação. Para começar, podemos ver que o ângulo 𝐵𝐴𝐶 é compartilhado por ambos os triângulos. Portanto, tudo o que precisamos fazer é mostrar que os triângulos compartilham mais um par de ângulos iguais. Vamos começar chamando a medida do arco 𝐵𝐶 𝜃. Portanto, este ângulo central subtendido por este arco também será igual a 𝜃. Agora, sabemos que o ângulo inscrito que subtende um arco é igual a metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.

Portanto, podemos dizer que o ângulo 𝐵𝐷𝐶 é igual a metade de 𝜃. Também sabemos que o ângulo entre uma tangente e uma corda é metade da medida do arco iniciado pela corda. Então nós temos que o ângulo 𝐴𝐵𝐶 também é igual a metade 𝜃. Então, encontramos dois pares de ângulos iguais dentro de nossos triângulos, provando assim nossa afirmação de que os dois triângulos são semelhantes. Usando a semelhança desses dois triângulos, podemos formar uma relação entre os comprimentos laterais correspondentes. Temos que 𝐴𝐵 sobre 𝐴𝐷 é igual a 𝐴𝐶 sobre 𝐴𝐵. Multiplicando pelos denominadores, obtemos que 𝐴𝐵 ao quadrado é igual a 𝐴𝐶 multiplicado por 𝐴𝐷.

Agora 𝐴𝐵 é uma tangente a circunferência. E sabemos que quando 𝐴𝐵 é uma tangente, a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência 𝑀 é igual a 𝐴𝐵 ao quadrado. Equacionando essa definição com a equação que acabamos de encontrar, podemos dizer que P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐶 multiplicado por 𝐴𝐷. Chegamos a outra definição, esta para a potência de um ponto e o comprimento de uma secante. Considere uma circunferência 𝑀 e um ponto 𝐴 fora da circunferência. Seja 𝐴𝐶𝐷 uma secante da circunferência. Então P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐶 vezes 𝐴𝐷. Quando o ponto 𝐴 está fora da nossa circunferência, a potência de 𝐴 em relação a circunferência forma uma relação com uma tangente a circunferência e uma secante a circunferência.

Usando isso, podemos formar uma relação entre tangentes e secantes, ambas passando pelo mesmo ponto. Isso é conhecido como a potência de um teorema de ponto. O teorema da potência de um ponto consiste em três afirmações diferentes, todas relacionadas à potência de um ponto. Vamos começar observando a potência de um teorema de ponto relacionando uma tangente e uma secante a circunferência. Considere uma circunferência 𝑀 e um ponto 𝐴 fora da circunferência. Seja 𝐴𝐵 uma tangente a circunferência e 𝐴𝐶𝐷 uma secante a circunferência. Então podemos dizer que 𝐴𝐵 ao quadrado é igual a 𝐴𝐶 multiplicado por 𝐴𝐷. Vamos agora considerar um exemplo em que usaremos esse teorema para encontrar um comprimento ausente envolvendo uma tangente e uma secante para uma circunferência.

Uma circunferência tem uma tangente 𝐴𝐵 e uma secante 𝐴𝐷 que corta a circunferência em 𝐶. Dado que 𝐴𝐵 é igual a sete centímetros e 𝐴𝐶 é igual a cinco centímetros, encontre o comprimento de 𝐶𝐷. Dê sua resposta para o centésimo mais próximo.

A primeira coisa que notamos sobre essa pergunta é que nos perguntam sobre uma tangente e uma secante, ambas passando pelo ponto 𝐴. Portanto, podemos usar a potência de um teorema de ponto para uma tangente e uma secante. Este teorema nos diz que para uma tangente 𝐴𝐵 e uma secante 𝐴𝐶𝐷, bem como neste exemplo, 𝐴𝐵 ao quadrado é igual a 𝐴𝐶 multiplicado por 𝐴𝐷. Foi dito na pergunta que 𝐴𝐵 é igual a sete centímetros e 𝐴𝐶 é igual a cinco centímetros. Substituindo esses valores em nossa fórmula, obtemos que sete ao quadrado é igual a cinco multiplicado por 𝐴𝐷.

Reorganizando, obtemos que 𝐴𝐷 é igual a sete ao quadrado sobre cinco ou 49 sobre cinco. Escrevendo essa fração como um número, obtemos que o comprimento de 𝐴𝐷 é 9,8 centímetros. Podemos ter encontrado 𝐴𝐷, mas essa ainda não é a nossa solução, pois a questão nos pediu para encontrar o comprimento de 𝐶𝐷. Podemos usar o fato de que a secante 𝐴𝐶𝐷 é de fato um segmento de reta. Então, 𝐴𝐷 será igual a 𝐴𝐶 mais 𝐶𝐷. Acabamos de encontrar 𝐴𝐷 e recebemos 𝐴𝐶 na pergunta. Então temos que 9,8 é igual a cinco mais 𝐶𝐷. Reorganizando isso, obtemos que 𝐶𝐷 é igual a 4,8. Não devemos esquecer que a pergunta nos pediu para dar nossa resposta ao centésimo mais próximo e também nossas unidades de centímetros. Portanto, nossa solução é que 𝐶𝐷 é igual a 4,80 centímetros.

Vimos como podemos resolver um problema envolvendo uma tangente e uma secante. A seguir, consideraremos o que acontece quando temos duas secantes. Aqui, temos uma circunferência com duas secantes, 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐷𝐸. A propriedade geral da potência de um ponto para secantes nos diz que para secantes 𝐴𝐶𝐷, P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐶 vezes 𝐴𝐷. Em nosso diagrama, temos as secantes 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐷𝐸. Então, aplicando essa propriedade às duas secantes, temos que P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶 e também que P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐷 vezes 𝐴𝐸. Ao igualar os lados direitos dessas duas equações, chegaremos à nossa secante do teorema de potência do ponto.

Considere uma circunferência 𝑀 e um ponto 𝐴 fora da circunferência. Sejam 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐷𝐸 secantes para a potência. Então 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶 é igual a 𝐴𝐷 vezes 𝐴𝐸. Vamos agora ver um exemplo de como esse teorema pode ser usado.

Uma potência tem duas secantes 𝐴𝐵 e 𝐴𝐷, cruzando-se em 𝐴. Dado que 𝐴𝐸 é igual a três centímetros, 𝐸𝐷 é igual a cinco centímetros e 𝐴𝐵 é igual a nove centímetros, encontre o comprimento de 𝐵𝐶, dando sua resposta ao décimo mais próximo.

Podemos começar notando que temos duas secantes na potência se cruzando do lado de fora no ponto 𝐴. Portanto, a potência de um teorema do ponto nos diz que 𝐴𝐶 vezes 𝐴𝐵 é igual a 𝐴𝐸 vezes 𝐴𝐷. Na pergunta, recebemos o comprimento de 𝐴𝐸, 𝐸𝐷 e 𝐴𝐵. Como 𝐴𝐸𝐷 é um segmento de reta, então 𝐴𝐷 é igual a 𝐴𝐸 mais 𝐸𝐷. Podemos substituir os valores e simplificar para descobrir que 𝐴𝐷 é igual a oito centímetros. Agora, podemos substituir 𝐴𝐵, 𝐴𝐸 e 𝐴𝐷 em nossa equação a partir da potência de um teorema de ponto. Em seguida, dividimos ambos os lados por nove e cancelamos um fator de três. Isso dá que 𝐴𝐶 é igual a oito sobre três centímetros.

Para encontrar o comprimento 𝐵𝐶, podemos usar o fato de que 𝐴𝐶𝐵 é um segmento de reta para dizer que 𝐴𝐵 é igual a 𝐴𝐶 mais 𝐵𝐶. Então, nove é igual a oito sobre três mais 𝐵𝐶. Reorganizando e simplificando, descobrimos que 𝐵𝐶 é igual a 19 sobre três centímetros. Arredondando essa resposta para o décimo mais próximo, chegamos à nossa solução, que é que 𝐵𝐶 é igual a 6,3 centímetros.

Para o final do teorema de potência do ponto, consideraremos uma circunferência contendo duas cordas. Vamos começar supondo que uma dessas cordas seja de fato um diâmetro. Aqui, temos uma corda 𝐵𝐶 cruzando nosso diâmetro 𝐷𝐸. Vamos fazer uma afirmação de que o triângulo 𝐴𝐵𝐷 é semelhante ao triângulo 𝐴𝐶𝐸. Imediatamente, podemos ver que os ângulos 𝐶𝐴𝐸 e 𝐷𝐴𝐵 são ângulos opostos. Portanto, eles são iguais. Tudo o que precisamos fazer para provar a semelhança é mostrar que dois outros ângulos nos triângulos são iguais. Se considerarmos o arco 𝐷𝐶, podemos ver que os dois ângulos 𝐷𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐶 estão inscritos por este arco. Portanto, eles são iguais. Então, provamos nossa afirmação de que esses dois triângulos são semelhantes.

Usando essa semelhança, podemos formar uma relação entre os comprimentos laterais correspondentes. 𝐴𝐵 sobre 𝐷𝐴 é igual a 𝐴𝐸 sobre 𝐴𝐶. Multiplicando pelos denominadores, temos que 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶 é igual a 𝐴𝐸 vezes 𝐷𝐴. Agora podemos vincular essa equação à potência de um ponto. Como nosso ponto está dentro da circunferência, sabemos que a potência do ponto será negativa. Então, para manter nossos valores positivos, vamos multiplicar ambos os lados dessa equação por menos um. Agora, podemos fatorar o lado direito da equação. Em nosso diagrama, podemos ver que 𝐷𝑀 é igual a 𝑟. Também podemos ver que 𝐷𝐴 é igual a 𝐷𝑀 menos 𝐴𝑀, que também é igual a 𝑟 menos 𝐴𝑀. Da mesma forma, 𝑀𝐸 é igual a 𝑟. E 𝐴𝐸 é igual a 𝑀𝐸 mais 𝐴𝑀, que também é igual a 𝑟 mais 𝐴𝑀.

Como 𝐷𝐴 é igual a 𝑟 menos 𝐴𝑀 e 𝐴𝐸 é igual a 𝑟 mais 𝐴𝑀, podemos dizer que menos P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐷𝐴 vezes 𝐴𝐸. Portanto, podemos relacionar a potência de um ponto à corda 𝐵𝐴𝐶. Podemos dizer que quando 𝐴 está dentro da circunferência, menos P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶. Agora, vamos considerar uma circunferência contendo duas cordas. Aqui temos as cordas 𝐵𝐴𝐶 e 𝐷𝐴𝐸. Para a corda 𝐵𝐴𝐶, podemos dizer que menos P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶. E para a corda 𝐷𝐴𝐸, podemos dizer que menos P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝐷 vezes 𝐴𝐸. Ao igualar essas duas equações, alcançamos nossa terceira potência do teorema de ponto.

Considere uma circunferência 𝑀 e um ponto 𝐴 dentro da circunferência. Sejam 𝐵𝐴𝐶 e 𝐷𝐴𝐸 cordas para a circunferência. Então 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶 é igual a 𝐴𝐷 vezes 𝐴𝐸. Vamos agora ver um exemplo de como esse teorema pode ser usado.

Uma circunferência tem duas cordas, 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷, que se cruzam em 𝐸. Dado que 𝐴𝐸 a 𝐵𝐸 é igual a um a três e 𝐶𝐸 é igual a seis centímetros, encontre o comprimento de 𝐷𝐸.

O teorema da potência de ponto para duas cordas nos diz que 𝐴𝐸 vezes 𝐶𝐸 é igual a 𝐷𝐸 vezes 𝐵𝐸. Agora nos foi dado que 𝐶𝐸 é igual a seis e também que 𝐴𝐸 a 𝐵𝐸 é igual a um a três. Se deixarmos 𝐴𝐸 ser igual a 𝑥 centímetros, então podemos dizer que 𝐵𝐸 é igual a três 𝑥 centímetros. Agora, podemos substituir nossos valores em nossa fórmula. Temos que 𝑥 vezes seis é igual a 𝐷𝐸 vezes três 𝑥. Reorganizando isso para 𝐷𝐸, descobrimos que 𝐷𝐸 é igual a dois centímetros.

Já cobrimos uma variedade de exemplos. Vamos recapitular alguns pontos importantes do vídeo.

Pontos Chave

Dado uma circunferência de raio 𝑟 centrado em 𝑀 e um ponto 𝐴, a potência do ponto 𝐴 em relação a circunferência é dada por P 𝑀 de 𝐴 é igual a 𝐴𝑀 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado. Se P 𝑀 de 𝐴 for maior que zero, então 𝐴 estará fora da circunferência. Se P 𝑀 de 𝐴 é igual a zero, então 𝐴 está na circunferência. E se P 𝑀 de 𝐴 for menor que zero, então 𝐴 está dentro da circunferência. O teorema da potência de ponto que está em três partes. Para uma tangente e uma secante, 𝐴𝐵 ao quadrado é igual a 𝐴𝐶 vezes 𝐴𝐷. Para duas secantes, 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶 é igual a 𝐴𝐷 vezes 𝐴𝐸. E, finalmente, para duas cordas, 𝐴𝐵 vezes 𝐴𝐶 é igual a 𝐴𝐷 vezes 𝐴𝐸.

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