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Vídeo da aula: Integração Envolvendo Funções Trigonométricas Inversas Matemática • Ensino Superior

Neste vídeo, aprenderemos como calcular integrais resultando em funções trigonométricas inversas, por exemplo, ∫ 1/(1 + 𝑥²) d𝑥.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como podemos usar a primitiva de funções trigonométricas inversas para integrar funções mais complicadas, onde não é imediatamente óbvio como a regra de substituição e a integração por partes podem ajudar. Portanto, é importante que você confie na diferenciação de funções trigonométricas inversas da forma seno inverso de 𝑥, tg inversa de 𝑥 e secante inversa de 𝑥.

Todo este vídeo é possível graças ao teorema fundamental do cálculo. Lembre-se, a primeira parte deste teorema diz que se uma função 𝑓 é contínua, então a derivada da integral de uma função 𝑓 em relação à variável 𝑡 em algum intervalo de 𝑎 a 𝑥 é igual à função 𝑓 em relação a 𝑥. Essencialmente, ele descreve a derivada e a integral como processos inversos. E, felizmente para nós, isso significa que, se pudermos reconhecer a derivada de uma função como nosso integrando, com um pouco de manipulação, poderemos integrar facilmente funções bastante desagradáveis.

Portanto, nesta fase, recordaremos os resultados gerais para as derivadas das principais funções trigonométricas inversas às quais nos referiremos ao longo deste vídeo. O primeiro em que estamos interessados ​​é a derivada da função inversa seno de 𝑥 sobre 𝑎 para constantes reais 𝑎. É um sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado. E isso é válido apenas para valores de seno inverso de 𝑥 sobre 𝑎 maior que ou igual a menos 𝜋 sobre dois e menor que 𝜋 sobre dois. Com restrições semelhantes no intervalo da função tg inversa de 𝑥 sobre 𝑎, obtemos sua derivada como 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado.

E, finalmente, sabemos que a derivada do inverso de sec de 𝑥 sobre 𝑎 é 𝑎 sobre 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado. Agora lembre-se, ao realizar cálculos com funções trigonométricas, sempre trabalhamos com radianos. Agora, veremos um exemplo simples de como essas derivadas podem nos ajudar a calcular uma função com uma função trigonométrica inversa simples como resultado.

Calcule a integral definida entre os limites de um e a raiz três de menos um sobre um mais 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥.

Aqui, temos uma integral definida com limites de um e raiz quadrada de três. Isso significa que precisaremos usar a segunda parte do teorema fundamental do cálculo para calculá-lo. Isso nos diz que se 𝑓 é uma função de valor real em algum intervalo fechado 𝑎 a 𝑏 e 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 nesse intervalo fechado, de modo que o capital 𝐹 primo de 𝑥 seja igual a 𝑓 de 𝑥. Então, se 𝑓 é Riemann integrável no intervalo fechado, então podemos dizer que a integral definida entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝐹 de 𝑏 menos 𝐹 de 𝑎. Essencialmente, podemos calcular a integral aqui, encontrando a primitiva dessa função negativa um sobre um mais 𝑥 ao quadrado e calculando-a entre a raiz três e um.

Agora, a integral de menos um sobre um mais 𝑥 ao quadrado não é particularmente agradável. Mas, na verdade, descobrimos que podemos eliminar fatores constantes e focar na própria integral. Então aqui tomamos nosso fator constante de menos um. E agora estamos procurando calcular a integral negativa de um sobre um mais 𝑥 ao quadrado entre um e a raiz de três. Então descobrimos que temos o resultado padrão para a derivada de tg inversa de 𝑥 sobre 𝑎. Isso é 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado. E isso, é claro, significa que a primitiva de 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado deve ser a tg inversa de 𝑥 sobre 𝑎.

Agora, se compararmos a função 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado com a nossa função um sobre um mais 𝑥 ao quadrado, podemos ver que 𝑎 é igual a um. Portanto, se dissermos que 𝑓 de 𝑥 é igual a um sobre um mais 𝑥 ao quadrado, então a primitiva 𝐹 de 𝑥 deve ser a tg inversa de 𝑥 sobre um, que é simplesmente a tg inversa de 𝑥. Na segunda parte do nosso teorema, podemos dizer que a integral definida entre um e a raiz três de um sobre um mais 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 é igual a tg inversa da raiz três menos a tg inversa de um. E, é claro, tiramos essa constante de menos um do início.

Sabemos então que a tg inversa da raiz três é 𝜋 sobre três e a tg inversa de um é 𝜋 sobre quatro. Nós vamos encontrar a diferença entre essas duas frações usando um denominador comum. Multiplicamos o numerador e o denominador da nossa primeira fração por quatro e o numerador e o denominador da nossa segunda fração por três. E estamos procurando descobrir menos quatro 𝜋 sobre 12 menos três 𝜋 sobre 12. Quatro 𝜋 sobre 12 menos três 𝜋 sobre 12 são 𝜋 sobre 12. Portanto, nossa resposta aqui é menos 𝜋 sobre 12. Agora, acabamos de encontrar o resultado geral para a integral indefinida de 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 para constantes reais 𝑎. É a tg inversa de 𝑥 sobre 𝑎 mais alguma constante de integração 𝑐. E, em vez de pular diretamente para calcular 𝐹 de 𝑏 menos 𝐹 de 𝑎, é claro que poderíamos ter incluído essa etapa extra usando esses colchetes.

Encontre a primitiva mais geral 𝐺 de 𝑣 da função 𝑔 de 𝑣 igual a quatro cos 𝑣 mais três sobre cinco raiz de um menos 𝑣 ao quadrado.

Lembre-se, a primitiva é basicamente o oposto da derivada. E outra maneira de pensar sobre isso é encontrar a primitiva 𝐺 de 𝑣. Podemos encontrar a integral indefinida dessa função. Dizemos, portanto, que 𝐺 de 𝑣 é igual à integral indefinida de 𝑔 de 𝑣. Vamos substituir 𝑔 de 𝑣 pela função quatro cos de 𝑣 mais três sobre cinco vezes a raiz quadrada de um menos 𝑣 ao quadrado. Recordamos então uma propriedade chave das integrais; isto é, a integral da soma de duas ou mais funções é igual à soma da integral de cada função respectiva. E podemos, portanto, dividir nossa integral. E vemos que 𝐺 de 𝑣 é igual à integral de quatro cos 𝑣 mais a integral de três sobre cinco vezes a raiz quadrada de um menos 𝑣 ao quadrado.

Outra propriedade chave que podemos aplicar é que a integral de algumas constantes vezes uma função é igual a essa constante vezes a integral de uma função. E assim podemos reescrever isso como quatro vezes a integral de cos de 𝑣 mais três quintos da integral de um sobre o quadrado de um menos 𝑣 ao quadrado. Agora, isso é ótimo, porque podemos usar resultados gerais para derivadas. Primeiramente, sabemos que a derivada do seno de 𝑥 é cos de 𝑥. Portanto, a primitiva e, portanto, a integral de cos de 𝑣 é sen de 𝑣. E, é claro, ao lidar com integrais definidas, adicionamos uma constante de integração. Vamos chamar de 𝐴. Portanto, essa primeira parte se torna quatro vezes o sen de 𝑣 mais 𝐴.

Em seguida, sabemos que se o sen inverso de 𝑥 sobre 𝑎 é maior ou igual a menos 𝜋 sobre dois e menor ou igual a 𝜋 sobre dois, então sua derivada é igual a um sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado. Agora, em nosso exemplo, 𝑎 ao quadrado é igual a um. Portanto, 𝑎 também deve ser igual a um. Portanto, a primitiva de um sobre a raiz quadrada de um menos 𝑣 ao quadrado e, portanto, a integral dessa função é o sen inverso de 𝑥 sobre um. E adicionamos outra constante de integração 𝐵. Agora, é claro, o sen inverso de 𝑥 sobre um pode ser escrito como o sen inverso de 𝑥.

Distribuindo nossos parênteses e combinando as constantes em uma nova constante 𝐶, descobrimos que a primitiva geral 𝐺 de 𝑣 é igual a quatro sen de 𝑣 mais três quintos do sen inverso de 𝑣 mais 𝐶. E neste exemplo, vimos que a integral indefinida de um sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 é o sen inverso de 𝑥 sobre 𝑎 mais 𝑐.

Agora, veremos um exemplo que requer um pouco mais de manipulação.

Calcule a integral indefinida de um sobre a raiz quadrada de quatro 𝑥 ao quadrado menos 16 em relação a 𝑥.

À primeira vista, pode parecer que isso tenha um resultado simples de uma função trigonométrica inversa. No entanto, uma vez que sabemos que a derivada de sec inversa de 𝑥 sobre 𝑎 é 𝑎 sobre 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado, quando a secante inversa de 𝑥 sobre 𝑎 é maior que zero, menor que 𝜋, mas não igual a 𝜋 sobre dois. Nosso integrando não tem esse formato. Percebemos particularmente que temos quatro 𝑥 ao quadrado em vez de apenas 𝑥 ao quadrado. Portanto, precisaremos realizar alguma manipulação. Começaremos multiplicando o numerador e o denominador da nossa fração por dois. Lembre-se de que isso não altera o integrando, porque é o equivalente a multiplicar por um.

Portanto, procuramos calcular a integral indefinida de dois sobre dois 𝑥 vezes o quadrado de quatro 𝑥 ao quadrados menos 16. Agora, percebemos que quatro 𝑥 ao quadrado e 16 são ambos números quadrados. Isso significa que podemos escrever quatro 𝑥 ao quadrado menos 16 como dois 𝑥 tudo ao quadrado menos quatro ao quadrado. E agora, percebemos que podemos fazer uma substituição. Seja 𝑢 igual a dois 𝑥 ao quadrado, então, dentro do nosso sinal de raiz quadrada, teremos 𝑢 ao quadrado menos quatro ao quadrado. Observe que isso está muito mais próximo da forma que estamos procurando. Se 𝑢 foi igual a dois 𝑥, então sabemos que d𝑢 por d𝑥 deve ser igual a dois. E podemos dizer equivalentemente que d𝑢 deve ser igual a dois 𝑥.

Bem, observe, agora podemos substituir dois d𝑥 por d𝑢. Podemos substituir dois 𝑥 e dois 𝑥 sobre 𝑢 e nossa função agora está na forma que procuramos. Precisamos integrar um sobre 𝑢 vezes a raiz quadrada de 𝑢 ao quadrado menos quatro ao quadrado em relação a 𝑢. Olhando para a nossa derivada original, notamos que sec inversa de 𝑥 sobre 𝑎 é a primitiva de 𝑎 sobre 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado. No nosso exemplo, 𝑎 deve ser igual a quatro. Agora, o numerador, é claro, de nossa fração é um, não quatro. Portanto, nossa integral será um quarto de sec inversa de 𝑢 sobre quatro mais 𝑐. Nosso passo final é relembrar nossa substituição e substituir 𝑢 por dois 𝑥. E vemos que nossa integral indefinida é um quarto de sec inversa de 𝑥 sobre dois mais a constante de integração 𝑐.

Em nosso exemplo final, examinaremos uma integral que envolve manipulação, completando o quadrado e uma pequena substituição inteligente.

Calcule a integral indefinida de um sobre 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 mais um em relação a 𝑥.

Agora, essa não é uma boa função para integrar. Então, precisamos fazer algo um pouco inteligente. Certamente não é o produto de duas funções. Portanto, não vamos usar a integração por partes. Mas se fizermos algo especial ao denominador, podemos realmente usar a integração por substituição. Vamos completar o quadrado do denominador da expressão 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 mais um. Lembre-se, dividimos pela metade o coeficiente de 𝑥. Aqui, ele é menos um, então metade disso é menos um meio. Portanto, temos 𝑥 menos um meio tudo ao quadrado entre parênteses. Menos um meio ao quadrado é um quarto, então subtraímos esse um quarto. E vemos que nossa expressão é equivalente a 𝑥 menos um meio tudo ao quadrado mais três quartos. E agora, essa é a integral que queremos calcular.

Em seguida, precisamos descobrir que sabemos que a integral indefinida de 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado. É a tg inversa de 𝑥 sobre 𝑎. Portanto, para garantir que nossa função se pareça um pouco com isso, faremos uma substituição. Vamos deixar 𝑥 menos um meio é igual a 𝑢. Então esta parte será 𝑢 ao quadrado. A derivada de 𝑥 menos um meio é um. Então d𝑢 por d𝑥 é igual a um, o que significa que d𝑢 é igual a d𝑥. Portanto, podemos substituir d𝑥 por d𝑢 e 𝑥 menos um meio por 𝑢. E vemos que realmente estamos procurando encontrar a integral indefinida de um sobre 𝑢 ao quadrado mais três quartos.

Agora, isso ainda não parece o que buscamos. Precisamos que ele seja 𝑎 ao quadrado no denominador. Bem, três quartos é o mesmo que a raiz quadrada de três quartos ao quadrado. Então, 𝑎 aqui é igual à raiz quadrada de três quartos. E, é claro, uma vez que os numerados de nossa fração são um e não a raiz quadrada de três quartos, a integral é dividida pela raiz quadrada de três quartos vezes a tg inversa de 𝑢 sobre a raiz quadrada de três quartos mais 𝑐. Um dividido pela raiz quadrada de três quartos é dois raiz de três sobre três. E então voltamos à nossa substituição 𝑢 igual a 𝑥 menos um meio. E nós substituímos isso em nosso resultado. E, finalmente, distribuímos nossos parênteses. A integral indefinida de um sobre 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 mais um em relação a 𝑥 é dois raiz de três sobre três vezes a tg inversa da raiz de três sobre três vezes dois 𝑥 menos um mais a constante de integração 𝑐.

Neste vídeo, vimos que podemos usar o conceito de primitiva para integrar funções que têm resultados trigonométricos inversos. A integral de um sobre a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado menos 𝑥 ao quadrado é o sen inverso de 𝑥 sobre 𝑎. A integral de 𝑎 sobre 𝑎 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado é a tg inversa de 𝑥 sobre 𝑎. E a integral de 𝑎 sobre 𝑥 vezes a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado é a sec inversa de 𝑥 sobre 𝑎. Também vimos que, às vezes, precisamos realizar alguma manipulação e uma substituição inteligente para alcançar nossos resultados.

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