Vídeo: Localização no Plano Complexo Definida Usando o Módulo

Neste vídeo, aprenderemos a desenhar e interpretar a localização no plano complexo expressa em termos do módulo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender como desenhar e interpretar localizações no plano complexo expressas em termos do módulo. Começaremos observando a geometria no plano complexo antes de considerar localização e as equações de vários locais diferentes. Estas incluem locais circulares, bissetrizes perpendiculares e locais elípticos.

Começamos por recordar algumas definições. A localização de um ponto dito no plano complexo é o conjunto de todos os pontos ditos, que satisfazem uma condição particular. Também sabemos que o módulo de um número complexo é a distância do ponto que representa esse número complexo desenhado no plano de Argand desde a origem. Para um número complexo na forma algébrica, 𝑧 é igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, seu módulo é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Em nosso primeiro exemplo, simplesmente consideraremos a geometria do plano complexo.

Um número complexo 𝑤 está a uma distância de cinco raiz de dois de 𝑧 um, que é nove sobre dois mais sete sobre dois 𝑖, e a uma distância de quatro raiz de cinco de 𝑧 dois, que é menos nove sobre dois menos sete sobre dois 𝑖. O ponto 𝑤 está no círculo centrado na origem que passa por 𝑧 um e 𝑧 dois?

Para responder a essa pergunta, começaremos considerando as propriedades dos círculos. Os números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois podem ser desenhados em um diagrama Argand conforme mostrado. 𝑧 um é representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são nove sobre dois e sete sobre dois. E da mesma forma, 𝑧 dois tem coordenadas cartesianas menos nove sobre dois e menos sete sobre dois.

Observe como 𝑧 um é igual a menos 𝑧 dois. Então eles são diametralmente opostos. E o segmento de reta que une 𝑧 um a 𝑧 dois deve formar o diâmetro do círculo. Podemos usar os teoremas do círculo para deduzir que isso significa que 𝑤 se situará no círculo se o triângulo formado por 𝑧 um, 𝑧 dois e 𝑤 for um triângulo retângulo.

Para verificar se este é um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras para verificar se os comprimentos dos lados dados como 𝑎, 𝑏 e 𝑐 satisfazem a fórmula 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado igual a 𝑐 ao quadrado, onde 𝑐 é claro o lado mais longo, a hipotenusa, naquele triângulo.

Nós já sabemos que 𝑤 está cinco raiz de dois unidades longe de 𝑧 um e que está quatro raiz de cinco unidades longe de 𝑧 dois. Então, precisamos encontrar o comprimento do terceiro lado do triângulo. Esse é o comprimento do lado que une 𝑧 um e 𝑧 dois. A distância do comprimento deste lado será o módulo da diferença entre esses dois números complexos. Ela será o módulo de 𝑧 um menos 𝑧 dois.

Para encontrar a diferença, simplesmente encontramos a diferença entre suas partes reais e suas partes imaginárias. As partes reais são nove sobre dois menos menos nove sobre dois. E para as partes imaginárias, são sete sobre dois menos menos sete sobre dois. E isso significa que a diferença entre 𝑧 um e 𝑧 dois é nove mais sete 𝑖.

Lembre-se, procuramos descobrir o módulo da diferença entre esses dois números. Então essa é a raiz quadrada de nove ao quadrado mais sete ao quadrado, que é a raiz quadrada de 130.

Agora que sabemos o comprimento desses três lados, podemos verificar se eles satisfazem o teorema de Pitágoras. A raiz de 130 é maior que cinco raiz de dois e quatro raiz de cinco. Então, vamos encontrar a soma dos quadrados dos dois comprimentos mais curtos. Quatro raiz de cinco ao quadrado é 50, e cinco raiz de dois ao quadrado é 80. 50 mais 80 é 130, que é de fato igual ao quadrado da raiz de 130.

Vimos que esses três lados satisfazem o teorema de Pitágoras e, portanto, formam os lados de um triângulo retângulo. Isso, por sua vez, significa que a reta que une 𝑧 um e 𝑧 dois forma o diâmetro de um círculo para o qual 𝑤 está na circunferência como solicitado.

Vamos olhar para generalizar essa ideia. Vimos que a distância entre dois pontos é dada pelo módulo de sua diferença. Podemos, portanto, dizer que, para um dado número complexo constante 𝑧 um, a localização de um ponto 𝑧, que satisfaz a equação do módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝑟, é um círculo centrado em 𝑧 um de raio 𝑟. Vamos agora considerar um exemplo da aplicação dessa definição.

Um número complexo 𝑧 satisfaz a equação do módulo de 𝑧 menos dois mais três 𝑖 é igual a dois. 1) Descreva a localização de 𝑧 e dê-lhe uma equação cartesiana. 2) Encontre o intervalo do argumento de 𝑧 no intervalo menos 𝜋 até 𝜋. 3) Encontre o intervalo do módulo de 𝑧.

Lembre-se, para um número complexo constante 𝑧 um, a localização de um ponto 𝑧, que satisfaz a equação dada, é um círculo centrado em 𝑧 um com um raio 𝑟. Para responder à primeira parte, reescreveremos 𝑧 menos dois mais três 𝑖 por meio da fatoração do menos um. E temos 𝑧 menos dois menos três 𝑖. Isso significa que, como nosso número complexo 𝑧 satisfaz essa equação, sua localização é um círculo com um raio dois, cujo centro é dois menos três 𝑖.

E há duas maneiras pelas quais podemos dar uma equação cartesiana. Poderíamos substituir 𝑧 igual 𝑥 mais 𝑦𝑖 na equação dada. Alternativamente, lembramos a equação cartesiana para um círculo centrado em 𝑎𝑏 com um raio de 𝑟. É 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado.

Tomando 𝑥 a parte real e 𝑦 a parte imaginária, sabemos que, para o nosso círculo, o raio é dois, 𝑎 é igual a dois e 𝑏 é igual a menos três. Substituindo estes valores na fórmula, nós obtemos 𝑥 menos dois tudo ao quadrado mais 𝑦 menos menos três tudo ao quadrado é igual a dois ao quadrado. Então a equação cartesiana é simplificada para 𝑥 menos dois ao quadrado mais 𝑦 mais três ao quadrado é igual a quatro.

E agora nós consideramos a parte dois. Encontre o intervalo do argumento de 𝑧 no intervalo menos 𝜋 até 𝜋.

Começaremos desenhando a localização dada em um diagrama de Argand. Lembre-se, é um círculo cujo centro é dois, menos três. E seu raio é duas unidades. Isso significa que o eixo imaginário deve ser tangente a esse círculo. É claro, então, que o menor valor possível para o argumento deve ser menos 𝜋 sobre dois radianos. Mas e quanto ao seu valor máximo?

Bem, vamos chamar isto de 𝜃 menos 𝜋 sobre dois. E vamos adicionar outra tangente ao círculo. Vamos chamar isto de ponto 𝑏. Sabemos que os triângulos 𝑂𝐵𝐶 e 𝐴𝑂𝐶 são congruentes. Eles são triângulos retângulos que compartilham uma hipotenusa de igual comprimento. Eles também têm o raio do círculo como um dos lados. Então eles devem ser congruentes. Isso significa que esses ângulos agudos em 𝑂 devem ser iguais. Vamos chamá-los de 𝜃 dividido por dois.

Usando o triângulo retângulo, podemos ver que tg de 𝜃 dividido por dois deve ser igual a 𝐴𝐶 dividido por 𝐴𝑂. 𝐴𝐶 é duas unidades e 𝐴𝑂 é três unidades. Assim, 𝜃 dividido por dois deve ser igual a um arctg de dois terços. E podemos, portanto, dizer que 𝜃 é igual a duas vezes o arctg de dois terços. E o valor máximo é, portanto, dois arctg de dois terços menos 𝜋 dividido dois. E nós temos o intervalo para o argumento.

Então vamos ver a parte três. Encontre o intervalo do módulo de 𝑧.

Sabemos que o valor mínimo de 𝑧 estará neste ponto 𝐷. E o máximo ficará no ponto 𝐸. E isso porque o módulo é a distância entre o ponto que representa o número complexo no diagrama de Argand e a origem. E agora nós sabemos o raio do círculo. Assim, podemos definir o mínimo como o comprimento de 𝑂𝐶 menos o raio e o máximo como o comprimento de 𝑂𝐶 mais o raio.

Agora, claro que vimos que o raio é dois. Então o mínimo é 𝑂𝐶 menos dois, e o máximo é o comprimento de 𝑂𝐶 mais dois. E podemos usar a fórmula de distância ou a definição do módulo para encontrar o comprimento de 𝑂𝐶. 𝐶 está no ponto dois, três negativos. Assim, o comprimento de 𝑂𝐶 é a raiz quadrada de dois ao quadrado mais menos três ao quadrado, que é raiz de 13. E podemos ver que o intervalo do módulo de 𝑧 são valores entre raiz de 13 menos dois e raiz de 13 mais dois. Também podemos inverter esse processo e aplicar a geometria de coordenadas padrão para nos permitir descrever uma determinada localização como uma equação em termos do módulo. Vamos ver como isso parece.

A figura mostra uma localização de um ponto 𝑧 no plano complexo. Escreva uma equação para a localização na forma em que o módulo de 𝑧 menos 𝑎 é igual a 𝑏, em que 𝑎 é um número complexo e 𝑏 é maior que zero, e eles são constantes a serem encontrados.

Lembre-se, a localização de um ponto 𝑧, que satisfaz a equação do módulo de 𝑧 um é 𝑧 um igual a 𝑟, é um círculo centrado em 𝑧 um de raio 𝑟. Portanto, precisamos encontrar o centro e o raio do círculo representado em nosso diagrama.

Nós vemos que a circunferência do círculo passa por três pontos. Estes são os pontos que representam os números complexos zero, quatro 𝑖 e menos 10. Vemos que o vértice em 𝑧 um está correto. E então, portanto, sabemos que a linha que une 𝑧 um e 𝑧 dois passa pelo centro do círculo. Este é o diâmetro do círculo.

Podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular seu comprimento. E assim poderemos encontrar o raio. Denotando o diâmetro como 𝑑, vemos que 𝑑 é igual à raiz quadrada de 10 ao quadrado mais quatro ao quadrado. E isso é igual a dois raiz de 29. Seu raio é a metade disso. Então o raio do nosso círculo é raiz de 29 unidades.

Também sabemos que o centro do círculo deve estar no ponto médio do diâmetro. Podemos aplicar a geometria de coordenadas padrão aqui. Ou podemos lembrar o fato de que o ponto médio de dois números complexos é metade da soma deles. E vemos que o centro do círculo está no ponto que representa um número complexo da metade de menos 10 mais quatro 𝑖. Isso é menos cinco mais dois 𝑖. Portanto, temos um círculo cujo raio é a raiz de 29 e cujo centro se encontra em menos cinco mais dois 𝑖. Isso significa que a equação do nosso círculo e, portanto, a equação da localização dada é o módulo de 𝑧 menos menos cinco mais dois 𝑖 é igual a raiz de 29.

No próximo exemplo, usamos o fato de que uma equação dada pelo módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual ao módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois representa uma bissetriz perpendicular ao segmento de reta que une os pontos 𝑧 um a 𝑧 dois. Por exemplo, o módulo de 𝑧 igual ao módulo de 𝑧 menos seis 𝑖 representa a localização de todos os pontos equidistantes dos pontos zero, zero e zero, seis. Vamos ver um exemplo um pouco mais complicado.

Um número complexo 𝑧 satisfaz o módulo de 𝑧 mais um mais 𝑖 é igual ao módulo de 𝑧 menos dois menos seis 𝑖. Descreva a localização de 𝑧 e dê sua equação cartesiana. Começaremos considerando os termos dentro de cada módulo para garantir que essa localização se pareça com a forma geral.

O módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual ao módulo de 𝑧 um menos 𝑧 dois. Esse é o módulo de 𝑧 menos menos um menos 𝑖 é igual ao módulo de 𝑧 menos dois mais seis 𝑖. Isto significa que a localização de 𝑧 é dado por todos os pontos equidistantes de menos um menos 𝑖 e dois mais seis 𝑖. É a bissetriz perpendicular ao segmento de reta entre os dois pontos no plano Argand.

Podemos encontrar sua equação cartesiana como faríamos com a equação cartesiana de qualquer reta, encontrando primeiro seu gradiente. O gradiente do segmento de reta entre esses pontos que representam nossos dois números complexos é seis menos menos um sobre dois menos menos um, que é sete terços. Como a localização dos pontos que representam 𝑧 formam a bissetriz perpendicular desse segmento de reta, o gradiente é encontrado usando o fato de que o produto dos gradientes de duas retas, que são perpendiculares, é menos um. Então seu gradiente é menos três sétimos.

Também sabemos que essa linha passa pelo ponto médio dos pontos que representam nossos dois números complexos. E esse ponto médio é metade da soma desses dois números complexos. É metade de menos um menos 𝑖 mais dois mais seis 𝑖. Isso é meio mais cinco sobre dois 𝑖. Usando a fórmula 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 um, com as coordenadas cartesianas a meio, cinco sobre dois, obtemos 𝑦 menos cinco sobre dois é igual a menos três sétimos vezes 𝑥 menos meio.

E podemos reorganizar isso. E vemos que a equação de nossa reta é 𝑦 igual a menos três sétimos 𝑥 mais 19 sobre sete. Para nossos dois exemplos finais, consideraremos a localização de um ponto 𝑧 que forma um círculo diferente de nosso primeiro exemplo e o que forma uma elipse. A primeira definição que precisamos saber é que a localização de um ponto 𝑧, que satisfaz a equação do módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝑘 vezes o módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois quando 𝑘 é maior que zero e não é igual a um, é um círculo. Nós também precisamos saber que a localização de um ponto 𝑧, que satisfaz a equação do módulo de 𝑧 menos 𝑧 um mais o módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois é igual a 𝑎, onde o módulo de 𝑧 um menos 𝑧 dois é menor que 𝑎 , é uma elipse, com focos 𝑧 um e 𝑧 dois e um eixo maior de comprimento 𝑏.

Um número complexo 𝑧 satisfaz a equação de que o módulo de 𝑧 mais um menos 13𝑖 é igual a três vezes o módulo de 𝑧 menos sete menos cinco 𝑖. Encontre a equação cartesiana da localização de 𝑧.

Sabemos que a localização dos pontos 𝑧 que satisfazem esta equação formam um círculo. Podemos encontrar seu centro e raio substituindo a forma algébrica geral do número complexo nesta equação. Vamos deixar 𝑧 ser igual a 𝑥 mais 𝑦𝑖. No lado esquerdo, temos 𝑥 mais 𝑦𝑖 mais um menos 13𝑖. E do lado direito, torna-se 𝑥 mais 𝑦𝑖 menos sete menos cinco 𝑖. Podemos reunir partes reais e imaginárias.

Em seguida, consideramos a definição do módulo. O módulo de um número complexo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária. No nosso caso, isso é como mostrado. Vamos elevar ao quadrado os dois lados dessa equação. Em seguida, distribuímos dentro de nossos parênteses e agrupamos todos os termos. Podemos então dividir por oito. E temos 𝑥 ao quadrado menos 16 𝑥 mais 𝑦 ao quadrado menos oito 𝑦 mais 62 igual a zero.

Podemos então completar o quadrado. E vemos que isso simplifica para 𝑥 menos oito todos ao quadrado mais 𝑦 menos quatro todos ao quadrado igual a 18. Encontramos a equação cartesiana da localização de 𝑧. E, de fato, podemos descrever essa localização como um círculo, que dissemos anteriormente. No entanto, agora sabemos que tem um centro no ponto cujas coordenadas cartesianas são oito, quatro. E o seu raio é a raiz de 18, o que simplifica para três raiz de dois unidades.

Um número complexo satisfaz o módulo de 𝑧 mais o módulo de 𝑧 menos cinco menos três 𝑖 é igual a oito. Descreva a localização de 𝑧.

Lembre-se, a localização de um ponto 𝑧 que satisfaz o módulo de 𝑧 menos 𝑧 um mais o módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois igual a 𝑎, onde o módulo de 𝑧 um menos 𝑧 dois é menor que 𝑎, é uma elipse, com um foco em 𝑧 um e 𝑧 dois e um eixo maior de comprimento 𝑏. Podemos reescrever nossa equação ligeiramente para ser o módulo de 𝑧 menos zero mais o módulo de 𝑧 menos cinco mais três 𝑖 é igual a oito. Isso significa que a localização de 𝑧 é uma elipse. Tem focos na origem e cinco mais três 𝑖. E tem um eixo principal de comprimento oito unidades.

Nesta aula, vimos que podemos usar nossa compreensão da geometria e da geometria do plano complexo para interpretar as localizações de pontos que satisfazem certas equações. Vimos que a localização de um ponto 𝑧, que satisfaz essa equação, é um círculo de raio 𝑟. A localização dos pontos que satisfazem estas equações são a bissetriz perpendicular do segmento de reta entre 𝑧 um e 𝑧 dois. Nós também vimos a forma alternativa para a localização dos pontos que são um círculo, bem como a localização de pontos que são uma elipse.

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