Vídeo: Utilizando Propriedades do Triângulo de 30-60-90

Aprenda os valores exatos das razões seno, cosseno e tangente para os ângulos 30° e 60°. Aplique estes valores exatos das razões ao cálculo de comprimentos de lados num conjunto de questões que envolvem triângulos retângulos com ângulos de 30° e 60°.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos introduzir um triângulo específico com ângulos de 30 graus, 60 graus e 90 graus. Veremos como as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente podem ser trabalhadas com valores exatos para os ângulos de 30 e 60 graus. Vê-los-emos na forma de irracionais. E depois veremos como aplicá-los no cálculo de alguns comprimentos neste triângulo.

Então, vamos começar por descobrir quais são as razões seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30 e 60 graus. Agora, vou começar com um triângulo equilátero, no qual todos os três lados são uma unidade. Obviamente, porque é equilátero, todos os ângulos são de 60 graus. Agora, para calcular as razões seno, cosseno e tangente, precisamos de triângulos retângulos e isso não é o que eu tenho neste momento. Mas eu posso criar um triângulo retângulo dividindo este triângulo ao meio.

Se desenhar a altura perpendicular do vértice superior até o centro do lado oposto, isto dividirá o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos. Agora vou concentrar-me num destes dois triângulos. E pensando nos ângulos, obviamente tenho o ângulo de 90 graus para o ângulo reto. Então este ângulo aqui ainda é de 60 graus porque este ainda é o ângulo do triângulo equilátero no qual comecei. O último ângulo no triângulo, bem eu cortei este ângulo ao meio quando desenhei esta altura, de modo que é a metade do ângulo de 60 graus. De modo que é o ângulo de 30 graus. Portanto, este triângulo é o triângulo de 30-60-90 graus em que estou interessado.

Também podemos calcular o comprimento dos lados deste triângulo. Agora, eu devo saber que a hipotenusa é de uma unidade. E a base deste triângulo aqui, bem, era uma unidade para o triângulo completo. Agora que eu dividi ao meio, esta base aqui será metade. Por fim, gostaria de descobrir o terceiro lado deste triângulo ao qual me referi como 𝑥. E eu posso fazer isso utilizando o teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras, lembre-se, diz que, num triângulo retângulo, se considerar os dois lados mais curtos e coloca-los ao quadrado e adicioná-los obtém os mesmos resultados como se fizesse o quadrado da hipotenusa. Então, para este triângulo, isso significa que se eu fizer 𝑥 ao quadrado e um meio ao quadrado e adicioná-los, obtenho o mesmo resultado como se tivesse um ao quadrado. Então isto dá-me uma equação que posso resolver para calcular o comprimento deste lado 𝑥.

Agora vou substituir um meio ao quadrado e um ao quadrado pelos seus valores. Então, tenho que 𝑥 ao quadrado mais um quarto é igual a um. Subtraindo um quarto a ambos os membros, tenho que 𝑥 ao quadrado é igual a três quartos. E aplicar a raiz quadrada diz-me que 𝑥 é igual à raiz quadrada de três sobre quatro, ou que é equivalente a apenas a raiz quadrada de três sobre dois. Agora tenho o comprimento de todos os três lados neste triângulo retângulo.

Acabei de apagar a outra metade do triângulo equilátero original para que possa vê-lo com mais clareza. Vou começar com as razões seno, cosseno e tangente para este ângulo de 60 graus. Assim, vou identificar os três lados deste triângulo retângulo em relação ao ângulo de 60 graus. Pelo que identifiquei o oposto, o adjacente e a hipotenusa. Agora vou descobrir os valores destas três razões para o ângulo de 60 graus, e vou utilizar o SOHCAHTOA para me ajudar.

Então, sen, primeiro que tudo, o SOH diz-me que o seno é igual ao oposto dividido pela hipotenusa. Então, para 60 graus, olhando para o triângulo, isto é a raiz de três sobre dois dividido por um. Agora é claro que dividir por um não tem efeito. Portanto isto simplifica para seno de 60 igual a raiz de três em dois. Cos em segundo lugar, bem SOHCAHTOA diz-me que a razão cos é o adjacente dividido pela hipotenusa. Então, olhando para o triângulo, isso é um meio dividido por um. E, novamente, dividir por um não tem efeito, apenas simplifica para um meio.

Finalmente, para a razão tan, então TOA diz-me que é o oposto dividido pelo adjacente. E olhando para o triângulo, posso ver que é raiz de três sobre dois dividido por um meio. Agora, dividir por um meio equivale a multiplicar por dois. De modo que terá o efeito de anular o dois no denominador da primeira fração, deixando-me com apenas raiz de três. Então, estes são os valores exatos das razões trigonométricas para um ângulo de 60 graus. Nós temo-los exatamente em termos destes irracionais que envolvem a raiz de três.

Pode, naturalmente, calculá-los na forma decimal. Mas assim que fizer isso, perderá alguma precisão na sua resposta, pois teria que arredondá-la para um determinado número de casas decimais. Consequentemente, sempre que estamos a trabalhar com um ângulo de 60 graus, utilizamos estes valores exatos.

Certo, agora vamos fazer a mesma coisa para o ângulo de 30 graus. Então vou apagar as identificações dos lados em relação ao ângulo de 60 graus e reenquadrá-los em relação ao ângulo de 30 graus. Portanto, a hipotenusa permanece a mesma porque é sempre o mesmo lado, mas o oposto e o adjacente trocaram de lugar. Então, agora vou escrever as três razões trigonométricas para este ângulo de 30 graus, começando pela razão seno.

O seno é o oposto dividido pela hipotenusa. E neste caso será um meio dividido por um que simplificará para um meio. E isso dá-me a minha primeira razão trigonométrica. Para cos, então, será o adjacente dividido pela hipotenusa, de modo que será a raiz de três sobre dois dividido por um, o que simplificará para apenas raiz de três sobre dois. Então isso dá-me a segunda razão trigonométrica de 30 graus. Finalmente, olhando para tan, tan é o oposto dividido pelo adjacente. Então vou dividir um meio pela raiz de três sobre dois.

Agora vou ter que fazer um pouco de simplificação com cuidado aqui. Dividir por uma fração equivale a inverter a fração e multiplicar. Então, isto é o mesmo que um meio multiplicado por dois sobre raiz de três. Agora, o dois no numerador e o dois no denominador anulam-se, deixando-me com apenas um sobre três. Mas isso deixa-o com o irracional no denominador. Então se continuar e racionalizar este denominador, fico com uma resposta equivalente a raiz de três sobre três. Então, tenho as três razões trigonométricas na sua forma exata para um ângulo de 30 graus.

Agora repare nestas razões para os dois ângulos e deverá ver algumas observações interessantes. Se olhar para o sen de 30 e cos de 60, ambos são iguais a um meio. Da mesma forma, cos de 30 e sen de 60, ambos são iguais a raiz de três sobre dois. Assim, as razões seno e cosseno para estes dois ângulos alteram-se e isso acontece porque o lado oposto e o lado adjacente trocam em relação a estes dois ângulos.

Se olhar para as razões tan, bem tan de 60 é a raiz de três. E na abordagem a 30, temos tan de 30 é um sobre a raiz de três. Então são os inversos um do outro. E mais uma vez isso é devido ao oposto trocar com o adjacente. Então precisa de aprender estas razões de memória e ser capaz de recuperá-las. Agora veremos algumas questões em que utilizamos essas razões.

Nesta questão, temos um diagrama de um triângulo retângulo e somos solicitados a calcular o comprimento de 𝐴𝐵.

Agora podemos ver, olhando para o diagrama, que o ângulo que nos foi dado é de 60 graus, então este é, portanto, um triângulo retângulo de 30-60-90 graus e, portanto, um em que utilizaremos os valores exatos das razões trigonométricas. O primeiro passo, então, é identificar os três lados do triângulo em relação àquele ângulo de 60 graus. Então, tenho o oposto, o adjacente e a hipotenusa. Agora posso ver que eu quero calcular o adjacente e conheço a hipotenusa, pelo que é a razão cosseno que vou utilizar por causa da parte CAH do SOHCAHTOA.

Assim, posso escrever a razão cosseno deste triângulo, substituindo o ângulo 𝜃 por 60 graus, o adjacente por 𝐴𝐵 e a hipotenusa pelo seu valor de 7.8. Então, isso dá-me esta fase de trabalho aqui. Estou a tentar calcular 𝐴𝐵. Então, para o fazer, preciso de multiplicar ambos os membros desta equação por 7.8. E ao fazê-lo, tenho que 𝐴𝐵 é igual a 7.8 multiplicado por cos 60.

Agora, se tivesse uma calculadora para o ajudar, poderia simplesmente digitar isto diretamente numa calculadora. Mas 60 graus é um destes ângulos notáveis em que precisamos de saber as razões seno, cosseno e tangente de memória. Assim, poderá facilmente fazer essa questão quando não tiver acesso a uma calculadora. Precisa de se lembrar qual é o valor de cos de 60. E o seu valor exato é um meio. Então pode substituir este valor de cos de 60 no nosso trabalho para 𝐴𝐵. Temos então que 𝐴𝐵 é igual a 7.8 multiplicado por um meio, e isso é fácil de fazer sem calculadora. É 3.9.

Então, dentro desta questão, começámos por identificar os três lados em relação ao ângulo de 60 graus. Identificámos a necessidade da razão cosseno. Dentro do nosso trabalho, utilizámos cosseno de 60. E tivemos que lembrar o seu valor exato de memória sem utilizar uma calculadora para nos dar este valor.

Nesta questão, temos um triângulo retângulo e somos solicitados determinar o comprimento do lado 𝐴𝐶.

Agora, olhando para o diagrama, podemos ver que um dos ângulos marcados é de 30 graus. E, portanto, temos o triângulo de 30-60-90 graus. Então, vamos utilizar valores exatos nesta questão. Portanto, o primeiro passo é identificar os três lados do triângulo em relação ao ângulo de 30 graus. Assim, tenho o oposto, o adjacente e a hipotenusa.

Agora, olhando para o diagrama, tenho o oposto e quero calcular 𝐴𝐶, que é a hipotenusa. Isso diz-me que vou utilizar a razão seno porque O e H aparecem juntos na parte SOH de SOHCAHTOA. Então, vou escrever a razão seno utilizando as informações desta questão. E vou substituir 𝜃 pelo valor de 30 graus, o oposto por 7.5, e a hipotenusa, que é o que pretendo calcular, por 𝐴𝐶.

Então agora tenho uma equação que estou a tentar resolver para calcular 𝐴𝐶. Como 𝐴𝐶 aparece no denominador, o primeiro passo será multiplicar ambos os membros desta equação por 𝐴𝐶. E isso dá-me 𝐴𝐶 sen 30 igual a 7.5. Em seguida, para ter 𝐴𝐶 sozinho, preciso de dividir ambos os membros desta equação pelo sen 30. Então, tenho 𝐴𝐶 igual a 7.5 sobre sen 30.

Agora, é aqui que o facto de ser um triângulo de 30-60-90 graus é importante. Suponha que não tenho uma calculadora para esta questão. Então, em vez de utilizar a minha calculadora para me dizer quanto é sen 30, preciso de me lembrar do valor exato. E do que deve lembrar-se é que o sen 30 é igual a um meio. Então, posso utilizar este valor diretamente dentro da questão.

Torna-se então que 𝐴𝐶 igual a 7.5 dividido por meio. Agora, dividir por um meio é o mesmo que multiplicar por dois. E, portanto, tenho 𝐴𝐶 igual a 7.5 multiplicado por dois que é 15. Assim, dentro desta questão, identificámos a necessidade da razão seno porque era o oposto e a hipotenusa envolvidos. Tivemos que nos lembrar do valor exato do sen 30 como sendo um meio porque 30 graus é um daqueles ângulos notáveis para os quais precisamos de conhecer os valores de seno, cosseno e tangente.

Nesta questão, temos um diagrama de um triângulo retângulo e somos solicitados determinar o comprimento de 𝐵𝐶, dando a nossa resposta com duas casas decimais.

Então, primeiro que tudo, vou identificar os três lados deste triângulo com os seus nomes em relação ao ângulo de 30 graus. Fazendo isso, diz-me que é uma razão de tan que vou utilizar aqui porque tenho o comprimento do lado oposto e quero calcular o comprimento do lado adjacente, então TOA é onde o lado oposto e o adjacente aparecem juntos. Então, lembro-me da definição da razão tangente, que é tan de um ângulo é igual ao oposto dividido pelo adjacente. E agora vou escrevê-la para este triângulo específico.

Tenho então que tan de 30 é igual a seis sobre 𝐵𝐶. E quero resolver esta equação para calcular o valor de 𝐵𝐶, então a primeira coisa que vou fazer é multiplicar ambos os membros da equação por 𝐵𝐶 aparecer no denominador de uma fração. Eu tenho então que 𝐵𝐶 tan 30 é igual a seis. O próximo passo é que eu preciso de dividir ambos os membros da equação por tan de 30. E tenho então que 𝐵𝐶 é igual a seis sobre tan 30.

Agora 30 graus, lembre-se, é um daqueles ângulos notáveis para o qual precisamos de nos lembrar dos valores exatos das razões trigonométricas como irracionais. Então preciso de me lembrar a que é igual o valor de tan 30. E, se bem me lembro, é igual a raiz de três raízes sobre três, vou utilizar este valor dentro do meu cálculo. E tenho que 𝐵𝐶 é igual a 6 dividido pela raiz de três sobre três. Agora estou a dividir por uma fração, então, para o fazer, vou inverter a fração e multiplicar. Assim, isto torna-se 6 multiplicado por três sobre raiz de três.

Isto dá-me uma resposta de 18 sobre a raiz de três. Se não tivesse uma calculadora, poderia deixar a minha resposta assim ou talvez eu devesse racionalizar este denominador, multiplicando por raiz de três sobre raiz de três. Mas como esta questão diz, com duas casas decimais, eu tenho uma calculadora, então posso calculá-lo. Isso dá-me uma resposta de 10.39230. E se arredondar com duas casas decimais, então temos que 𝐵𝐶 é igual a 10.39. E isso é apenas unidades porque a questão original não especificou as unidades para esta medida de seis.

Assim, dentro desta questão, identificámos a necessidade da razão tan, porque os lados oposto e adjacente eram os dois lados envolvidos. E a seguir, como o ângulo era de 30 graus, tivemos que nos lembrar do valor exato de tan 30 em termos de irracionais e utilizar esse valor dentro do nosso cálculo.

Em resumo, vimos quais são os valores exatos das três razões trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus. Vimos de onde vieram, começando com um triângulo equilátero com lados de uma unidade e dividindo-o ao meio para criar um triângulo retângulo. E a seguir, aplicámos estes valores exatos a vários problemas.

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