Pop Video: Espaços Vetoriais Abstratos

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Gostaria de revisitar uma pergunta enganadoramente simples que fiz no primeiro vídeo desta série, o que são vetores? É um vetor bidimensional, por exemplo, fundamentalmente uma seta num plano que podemos descrever com coordenadas por conveniência, ou é fundamentalmente este par de números reais que se visualiza bem como uma seta num plano, ou são ambas manifestações de algo mais profundo?

Por um lado, a definição de vetores, principalmente por ser uma lista de números, parece clara e inequívoca. Faz coisas como vetores de quatro dimensões ou vetores de cem dimensões soarem como ideias reais e concretas com as quais pode realmente trabalhar. Caso contrário, uma ideia como quatro dimensões é apenas uma noção geométrica vaga que é difícil de descrever sem heurísticas. Mas por outro lado, uma sensação comum para aqueles que realmente trabalham com álgebra linear, especialmente à medida que se torna mais fluente na mudança de base, é que está a lidar com um espaço que existe independentemente das coordenadas que deu e que as coordenadas são na verdade um pouco arbitrárias, dependendo do que escolhe como vetores da base.

Os tópicos centrais da álgebra linear, como determinantes e vetores próprios, parecem indiferentes à sua escolha de sistemas de coordenadas. O determinante diz o quanto uma transformação redimensiona áreas, e os vetores próprios são os que permanecem no seu próprio span durante uma transformação, mas ambas as propriedades são inerentemente espaciais, e pode alterar livremente o seu sistema de coordenadas sem alterar os valores subjacentes de qualquer um deles. Mas, se os vetores não forem fundamentalmente listas de números reais, e se a sua essência subjacente é algo mais espacial, isto apenas levanta a questão do que os matemáticos querem dizer quando utilizam uma palavra como espaço ou espacial.

Para chegar onde pretendo, gostaria de gastar a maior parte deste vídeo a falar sobre algo que não é uma seta nem uma lista de números, mas também tem qualidades e funções vetoriais. Veja, há um sentido em que as funções são na verdade apenas outro tipo de vetor. Da mesma forma que pode adicionar dois vetores, há também uma noção sensata para adicionar duas funções, 𝑓 e 𝑔, para obter uma nova função, 𝑓 mais 𝑔. É uma daquelas coisas em que já sabe o que vai ser, mas fraseá-la ainda é um bocado. A imagem desta nova função para qualquer objeto, como menos quatro, é a soma das imagens de 𝑓 e 𝑔, quando calculou cada uma delas para o mesmo objeto, menos quatro. Ou, mais geralmente, o valor da função soma para qualquer objeto 𝑥 é a soma dos valores 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥.

Isto é semelhante à adição de vetores coordenada a coordenada; é que existem, de certo modo, infinitas coordenadas com que lidar. Da mesma forma, há uma noção sensata de redimensionar uma função por um número real, apenas multiplicando todas as imagens por esse número. E novamente, isto é análogo ao redimensionamento de um vetor coordenada a coordenada; parece que há infinitas coordenadas. Agora, dado que a única coisa que os vetores podem realmente fazer é somar ou multiplicar, parece que devemos ser capazes de utilizar as mesmas construções úteis e técnicas de resolução de problemas da álgebra linear, que foram originalmente pensadas no contexto das setas no espaço, e aplicá-las às funções também.

Por exemplo, há uma noção perfeitamente razoável de uma transformação linear para funções, algo que assume uma função e a transforma noutra. Um exemplo familiar vem do cálculo, a derivada. É algo que transforma uma função noutra função. Às vezes, neste contexto, ouvirá chamá-los de operadores em vez de transformações, mas o significado é o mesmo. Uma questão natural que pode querer perguntar é o que significa uma transformação de funções ser linear. A definição formal de linearidade é relativamente abstrata e de base simbólica em comparação à forma como falei disto no capítulo três desta série, mas a recompensa da abstração é que obteremos algo genérico o suficiente para aplicar às funções, assim como setas.

Uma transformação é linear se satisfizer duas propriedades, comumente chamadas de aditividade e homogeneidade. Aditividade significa que se adicionar dois vetores, 𝐕 e 𝐖, então aplique uma transformação à sua soma, e obtém o mesmo resultado como se tivesse adicionado as versões transformadas de 𝐕 e 𝐖. A propriedade da homogeneidade é que quando multiplica um vetor 𝐕 por um número, aplique a transformação, e obtém o mesmo vetor final se multiplicasse a versão transformada de 𝐕 pela mesma quantidade. O modo como costuma ouvir isto descrito é que as transformações lineares preservam as operações de adição vetorial e multiplicação escalar. A ideia de linhas de uma grelha que permanecem paralelas e uniformemente espaçadas que tenho falado nos vídeos anteriores é realmente apenas uma ilustração do que estas duas propriedades significam no caso específico de pontos no espaço 2D.

Uma das consequências mais importantes destas propriedades, que torna possível a multiplicação de um vetor e uma matriz, é que uma transformação linear é completamente descrita pelos vetores da base. Como qualquer vetor pode ser escrito multiplicando e adicionando os vetores da base de alguma forma, determinar a versão transformada de um vetor resume-se a multiplicar e adicionar as versões transformadas dos vetores da base da mesma maneira. Como verá daqui a pouco, isto é tão verdadeiro para funções quanto para setas. Por exemplo, os alunos de cálculo estão sempre a utilizar o facto de a derivada ser aditiva e ter a propriedade da homogeneidade, mesmo que não a tenham dito dessa maneira. Se adicionar duas funções, então considere a derivada, é o mesmo que considerar primeiro a derivada de cada uma separadamente e depois adicionar o resultado. Da mesma forma, se redimensionar uma função e, em seguida, tomar a derivada, é o mesmo que tomar primeiro a derivada e, em seguida, redimensionar o resultado.

Para realmente alcançar o paralelismo, vamos ver como seria descrever a derivada com uma matriz. Será um pouco complicado, uma vez que os espaços de função tendem a ter infinitas dimensões, mas acho que este exercício é bastante satisfatório. Vamos limitar-nos a polinómios, coisas como 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais cinco ou quatro 𝑥 elevado a sete menos cinco 𝑥 ao quadrado. Cada um dos polinómios no nosso espaço terá apenas um número finito de muitos termos, mas o espaço completo vai incluir polinómios com um grau arbitrariamente grande. A primeira coisa que precisamos de fazer é dar coordenadas a esse espaço, o que requer a escolha de uma base. Como os polinómios já estão escritas como a soma das potências da variável 𝑥, é muito natural escolher apenas potências puras de 𝑥 como funções da base. Por outras palavras, a nossa primeira função da base será a função constante, 𝑏 zero de 𝑥 igual a um. A segunda função da base será 𝑏 um de 𝑥 igual a 𝑥, depois 𝑏 dois de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, depois 𝑏 três de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo e assim por diante. O papel que essas funções da base desempenham será semelhante aos papéis de 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu no mundo dos vetores como setas.

Como os nossos polinómios podem ter um grau arbitrariamente elevado, este conjunto de funções da base é infinito. Mas tudo bem, significa apenas que quando tratamos os nossos polinómios como vetores, estes terão infinitas coordenadas. Um polinómio como 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais cinco, por exemplo, seria descrito com as coordenadas cinco, três, um, e infinitamente muitos zeros. Leria isto dizendo que é cinco vezes a primeira função da base mais três vezes esta segunda função da base, mais uma vez a terceira função da base, e nenhuma outra função da base deve ser adicionada a partir deste ponto. O polinómio quatro 𝑥 elevado a sete menos cinco 𝑥 ao quadrado teria as coordenadas zero, zero, menos cinco, zero, zero, zero, zero, quatro e, em seguida, uma sequência infinita de zeros. Em geral, como cada polinómio individual tem apenas alguns termos finitos, as suas coordenadas serão uma sequência finita de números com uma cauda infinita de zeros.

Neste sistema de coordenadas, a derivada é descrita com uma matriz infinita que é predominantemente cheia de zeros, mas que tem a contagem de inteiros positivos nesta diagonal. Vou falar sobre como pode determinar esta matriz daqui a pouco, mas a melhor maneira de ter uma ideia é ver isto em ação. Considere as coordenadas que representam o polinómio 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais cinco e, em seguida, coloque as coordenadas à direita da matriz. O único termo que contribui para a primeira coordenada do resultado é um vezes quatro, o que significa que o termo constante no resultado será quatro. Isso corresponde ao facto de que a derivada de quatro 𝑥 é a constante quatro. O único termo que contribui para a segunda coordenada do produto vetorial matriz é duas vezes cinco, o que significa que o coeficiente à frente de 𝑥 na derivada é dez. Aquele corresponde à derivada de cinco 𝑥 ao quadrado. Da mesma forma, a terceira coordenada no produto vetor e matriz se reduz a três vezes um. Este corresponde à derivada de 𝑥 ao cubo sendo três 𝑥 ao quadrado. E depois disso, não será nada além de zeros. O que torna isto possível é que a derivada é linear. E para aqueles de vocês que gostam de fazer uma pausa e ponderar, poderia construir esta matriz tomando a derivada de cada função da base e colocando as coordenadas dos resultados em cada coluna.

Assim, surpreendentemente, a multiplicação de vetores por matrizes e a derivação, que a princípio parecem animais completamente diferentes, são apenas membros da mesma família. De facto, a maioria dos conceitos sobre os quais falei nesta série em relação a vetores como setas no espaço, coisas como o produto interno ou vetores próprios, têm análogos diretos no mundo das funções. Embora às vezes se dão por nomes diferentes, coisas como produto interno ou função própria. Ora, de volta para a questão do que é um vetor. A ideia que quero deixar aqui é que existem muitas coisas vetoriais em matemática. Contanto que esteja a lidar com um conjunto de objetos em que haja uma noção razoável de multiplicação e adição, seja um conjunto de setas no espaço, listas de números, funções ou qualquer outra coisa louca que escolha definir, todas as ferramentas desenvolvidas em álgebra linear em relação a vetores, transformações lineares, e todas essas coisas, devem ser capazes de se aplicar.

Reserve um momento para se imaginar agora como um matemático que está a desenvolver a teoria da álgebra linear. Quer que todas as definições e descobertas do seu trabalho se apliquem a todas as coisas vetoriais em geral, não apenas a um caso específico. Estes conjuntos de coisas vetoriais, como setas ou listas de números ou funções, são chamadas de espaços vetoriais, e o que você, como matemático, pode querer fazer é dizer: “Ei pessoal! Eu não quero pensar em todos os tipos diferentes de espaços vetoriais loucos que podem criar.” Então, o que faz é estabelecer uma lista de regras que a adição e a multiplicação de vetores devem obedecer. Essas regras são chamadas de axiomas e, na moderna teoria da álgebra linear, existem oito axiomas que qualquer espaço vetorial deve satisfazer se toda a teoria e construções que descobrimos forem aplicáveis.

Vou deixá-las na tela aqui para quem quiser fazer uma pausa e ponderar, mas basicamente é apenas uma lista de verificação para se certificar de que as noções de adição vetorial e multiplicação escalar fazem as coisas que espera que façam. Esses axiomas não são regras fundamentais da natureza, pois são uma interface entre você, o matemático que descobre resultados e outras pessoas que podem querer aplicar esses resultados a novos tipos de espaços vetoriais. Se, por exemplo, alguém define algum tipo louco de espaço vetorial, como o conjunto de todas as criaturas, com alguma definição de adicionar e multiplicar criaturas, esses axiomas são como uma lista de coisas que elas precisam de verificar sobre suas definições antes de poder começar a aplicar os resultados da álgebra linear.

E você, como matemático, nunca precisa de pensar em todos os possíveis espaços vetoriais malucos que as pessoas possam definir. Só precisa de provar os seus resultados em relação a esses axiomas para que qualquer pessoa cujas definições satisfaçam esses axiomas possa aplicar os seus resultados com alegria, mesmo que nunca tenha pensado na situação deles. Consequentemente, tenderia a escrever todos os seus resultados de maneira bastante abstrata, ou seja, apenas em termos desses axiomas, em vez de se concentrar num tipo específico de vetor, como setas no espaço ou funções. Por exemplo, é por isso que praticamente todos os livros didáticos que encontrará definirão transformações lineares em termos de aditividade e homogeneidade, em vez de falar sobre linhas de grelha que permanecem paralelas e uniformemente espaçadas, embora o último seja mais intuitivo e, pelo menos na minha opinião, mais útil para alunos iniciantes, mesmo que seja específico de uma situação.

Portanto, a resposta do matemático para “o que são vetores” é simplesmente ignorar a pergunta. Na teoria moderna, a forma que os vetores tomam não importa realmente, setas, listas de números, funções, criaturas, na verdade, pode ser qualquer coisa, desde que haja uma noção de vetores de adição e multiplicação escalar que siga essas regras. É como perguntar o que é o número três. Sempre que surge concretamente, é no contexto de um trio de coisas. Mas em matemática, é tratada como uma abstração para todos os trios possíveis e permite raciocinar sobre todos os possíveis trios utilizando uma única ideia. O mesmo acontece com os vetores, que têm muitas formas, mas a matemática os abstrai numa única noção intangível de espaço vetorial.

Mas, como qualquer um que esteja a assistir a esta série sabe, acho melhor começar o raciocínio sobre os vetores num cenário visualizável concreto, como o espaço 2D com setas enraizadas na origem. Mas, à medida que aprende mais álgebra linear, saiba que estas ferramentas se aplicam de maneira muito mais geral e que esta é a razão subjacente pela qual os livros didáticos e as palestras tendem a ser redigidos, bem, abstratamente. Então com isto, acho que vou dar fim a esta série de álgebra linear essencial. Se assistiu e entendeu os vídeos, realmente acredito que tenha uma base sólida nas intuições subjacentes da álgebra linear. Isto não é o mesmo que aprender o tópico completo, é claro, é algo que só pode realmente resultar de trabalhar em problemas, mas a aprendizagem que faz pode ser substancialmente mais eficiente se tiver todas as intuições corretas em vigor. Portanto, divirta-se a aplicar estas intuições e boa sorte com a sua aprendizagem futura.