Vídeo: Encontrando a Integral de uma Função Racional Utilizando o Método da Substituição

Determine ∫((𝑥² + 7)/(𝑥³ + 21𝑥 − 5))𝑑𝑥.

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Determine a integral indefinida de 𝑥 ao quadrado mais sete sobre 𝑥 ao cubo mais 21 𝑥 menos cinco em relação a 𝑥.

Para resolver este problema, estaremos usando o método de integração pela substituição. A maneira que podemos identificar isso é se tomarmos nosso denominador e chamá-lo de 𝑔 de 𝑥. Então, temos 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco.

Agora, nós derivamos isso para encontrar 𝑔 linha de 𝑥. Derivando o 𝑥 ao cubo, obtemos três 𝑥 ao quadrado. Derivando 21𝑥, obtemos 21 e menos cinco derivado dá zero. Assim, 𝑔 linha de 𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado mais 21, que também podemos escrever como três vezes 𝑥 ao quadrado mais sete, já que isolamos o três. E neste ponto, notamos que temos alguma constante que é três multiplicado pelo numerador de nossa fração na integral.

Agora, podemos reorganizar isso para escrever que 𝑥 ao quadrado mais sete é igual a um terço vezes 𝑔 linha de 𝑥. Assim, podemos escrever nossa integral como um terço vezes 𝑔 linha de 𝑥 dividido por 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. E desde que um terço é apenas uma constante, podemos fatorar e isolar da integral. E isso nos deixa com isso.

Agora, nossa integral é da forma: a integral 𝐹 de 𝑔 de 𝑥 vezes 𝑔 linha de 𝑥 com respeito a 𝑥, onde no nosso caso o 𝐹 é 𝐹 de 𝑔 de 𝑥 é igual a um sobre 𝑔 de 𝑥. Então, agora, nossa integral é desta forma, podemos usar o que é chamado de 𝑢 substituição. E nessa substituição, vamos dizer 𝑢 igual a 𝑔 de 𝑥.

Agora, vamos precisar encontrar 𝑑𝑢 em termos de 𝑑𝑥. Podemos usar o fato de que 𝑑𝑢 é igual a 𝑑𝑢 por 𝑑𝑥 vezes 𝑑𝑥. Agora, como 𝑢 é igual a 𝑔 de 𝑥, 𝑑𝑢 𝑑𝑥 é, portanto, igual a 𝑔 linha de 𝑥. E assim, obtemos 𝑑𝑢 é igual a 𝑔 linha de 𝑥 vezes 𝑑𝑥.

Podemos reescrever nossa integral de um terço vezes a integral vezes 𝑔 linha de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 𝑑𝑥 como um terço vezes a integral de um sobre 𝑔 de 𝑥 vezes 𝑔 linha de 𝑥 em relação a 𝑥. E agora, notamos que temos 𝑔 linha de 𝑥 vezes 𝑑 de 𝑥 que é o mesmo que 𝑑𝑢 de 𝑥.

Então estamos prontos para fazer a substituição, lembrando que 𝑢 é igual a 𝑔 de 𝑥 e 𝑑𝑢 é igual a 𝑔 linha vezes 𝑑 de 𝑥. E assim percebemos que isso é igual a um terço vezes a integral de um sobre 𝑢 𝑑𝑢. Agora, tudo o que precisamos fazer é calcular um terço vezes a integral de um sobre 𝑢 𝑑𝑢. E nós entendemos que é igual a um terço vezes o logaritmo natural do valor absoluto de 𝑢. Agora, como essa é uma integral indefinida, não podemos esquecer de adicionar uma constante de integração. Então temos mais 𝑐 no final.

Em seguida, podemos fazer o inverso de nossa substituição. Então nós temos que 𝑢 é igual a 𝑔 de 𝑥. Assim, podemos substituir isso de volta, nos dando um terço vezes o logaritmo natural do valor absoluto de 𝑔 de 𝑥 mais 𝑐. E para o nosso passo final, podemos substituir em que 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco.

Obtemos a resposta final de que a integral indefinida de 𝑥 ao quadrado mais sete sobre 𝑥 ao cubo mais 21 𝑥 menos cinco em relação a 𝑥 é igual a um terço vezes o logaritmo natural do valor absoluto de 𝑥 ao cubo mais 21𝑥 menos cinco mais 𝑐.

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