Vídeo: O Que são Quaternions e Como Você os Visualiza? Uma História de Quatro Dimensões

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Que são Quaternions e Como Você os Visualiza? Uma História de Quatro Dimensões

31:50

Transcrição do vídeo

O que você está vendo agora é algo chamado multiplicação de quaternion. Ou melhor, você está olhando para uma certa representação de um movimento específico acontecendo em uma esfera quadridimensional sendo representada em nosso espaço tridimensional. Um que você entenderá até o final deste vídeo.

Quaternions são um sistema numérico absolutamente fascinante e muitas vezes subestimado da matemática. Assim como os números complexos são uma extensão bidimensional dos números reais, os quaternions são uma extensão quadridimensional dos números complexos. Mas eles não são apenas brincadeiras matemáticas. Eles têm uma utilidade surpreendentemente pragmática para descrever a rotação em três dimensões e até para a mecânica quântica. A história de sua descoberta também é bastante famosa em matemática.

O matemático irlandês William Rowan Hamilton passou grande parte de sua vida buscando um sistema numérico tridimensional análogo aos números complexos. E, conforme a história segue, seu filho perguntava a ele todas as manhãs se ele havia descoberto como dividir triplos e ele sempre dizia: “não, ainda não”. Mas em 16 de outubro de 1843, enquanto atravessava a ponte Broome em Dublin, ele percebeu, com um suposto flash de insight, que o que ele precisava não era adicionar uma única dimensão aos números complexos. Mas para adicionar mais duas dimensões imaginárias. Três dimensões imaginárias descrevendo o espaço. E os números reais estão perpendiculares a isso em algum tipo de quarta dimensão. Ele esculpiu a equação crucial que descreve essas três unidades imaginárias na ponte. Que hoje tem uma placa em sua homenagem mostrando essa equação.

Agora, você precisa entender nossa noção moderna de vetores com o produto escalar e o produto vetorial, e coisas assim realmente não existiam no tempo de Hamilton, pelo menos não de forma padronizada. Então, após sua descoberta, ele se esforçou para que os quaternions fossem a língua principal com a qual ensinamos os alunos a descrever o espaço tridimensional. Inclusive formando uma sociedade oficial de quaternidade para proselitizar sua descoberta. Agora, infelizmente, isso foi equilibrado com matemáticos do outro lado da cerca. Quem acreditava que a noção confusa de multiplicação de quaternions não era necessária para descrever três dimensões. Resultando em uma conversa hilária sobre o lixo dos velhos tempos, legitimamente chamando-os de maus. Acreditou-se que a cena do Chapeleiro Maluco de Alice no País das Maravilhas, cujo autor você deve conhecer era um matemático de Oxford, foi escrita em referência a quaternions. Que as mudanças caóticas no posicionamento da mesa estavam zombando da multiplicação. E que certas citações estavam referenciando sua natureza não comutativa.

Avanço rápido cerca de um século. E a indústria da computação ressurgiu aos quaternários entre os programadores que trabalham com gráficos e robótica e qualquer coisa que envolva orientação no espaço 3D. E isso ocorre porque eles oferecem uma maneira elegante de descrever e calcular rotações 3D. O que é computacionalmente mais eficiente do que outros métodos. E isso também evita muitos erros numéricos que surgem nesses outros métodos. O século XX também trouxe aos quaternions um pouco mais de amor de uma direção completamente diferente, a mecânica quântica. Veja bem, as ações especiais que os quaternions descrevem em quatro dimensões são realmente relevantes para a maneira como os sistemas de dois estados, como o spin de um elétron ou a polarização de um fóton, são descritos matematicamente. O que vou mostrar aqui é uma maneira de visualizar os quaternions em toda a sua glória quadridimensional.

Surpreender-me-ia se essa abordagem fosse totalmente original. Mas posso dizer que certamente não é a maneira padrão de ensinar quaternions. E que essa imagem específica de regra quadridimensional à direita que eu gostaria de criar é algo que eu realmente não vi em outro lugar. Construir um entendimento para esse visual nos levará um tempo significativo. Mas uma vez que você o tenha, há uma intuição muito natural e satisfatória de como pensar sobre a multiplicação de quaternions. Até o próximo vídeo, mostrarei como exatamente os quaternions descrevem a orientação em três dimensões. Para algumas pessoas, é o motivo de nos preocuparmos com isso. Mas, uma vez que somos capazes de fazê-lo, armados com a imagem do que eles estão fazendo em uma hiperesfera 4D. Há um entendimento agradável das fórmulas opacas que caracterizam esse relacionamento.

A estrutura aqui será começar imaginando ensinar números complexos a alguém que entende apenas uma dimensão. Em seguida, descrevendo as rotações 3D para alguém que entende apenas duas dimensões. E, finalmente, representar o que os quaternions estão fazendo em quatro dimensões, dentro das restrições do nosso espaço 3D.

Nosso primeiro personagem é Linus, o Linelander, cuja mente só pode compreender a geometria unidimensional de retas e a álgebra de números reais. Vamos tentar descrever números complexos para Linus. E é realmente importante que você simpatize com ele o máximo que puder durante isso. Porque, em alguns minutos, você estará no lugar dele. Por um lado, você pode definir números complexos puramente algebricamente. Você diz que cada um é expresso como um número real mais algum outro número real vezes 𝑖. Onde 𝑖 é uma constante recém-inventada cuja propriedade definidora é que 𝑖 vezes 𝑖 é igual a menos um. Então você diz a Linus, para multiplicar dois números complexos, basta usar a propriedade distributiva. O que muitas pessoas aprendem na escola como PEIU. E você aplica esta regra, que 𝑖 vezes 𝑖 é igual a menos um, para simplificar ainda mais as coisas.

E tudo bem! Isso funciona totalmente, e a maneira padrão de introduzir livros de quaternions é análoga a isso. Mostrando as regras algébricas e terminando. Mas acho que falta algo se não tentarmos mostrar a Linus a geometria de números complexos e como é a multiplicação complexa. Como os problemas de matemática e física, onde números complexos são surpreendentemente úteis, muitas vezes aproveitam essa intuição espacial. Você e eu, que entendemos duas dimensões, podemos pensar assim. Quando você multiplica dois números complexos, 𝑍 vezes 𝑊, você pode pensar em 𝑍 como uma espécie de função que atua em 𝑊, girando e esticando-a de alguma forma. Gosto de pensar nisso ampliando a visão e perguntando: o que 𝑍 faz com todo o plano? E você pode pensar na ação de visão panorâmica imaginando usar uma mão para fixar o número zero. E usando outra mão para arrastar o ponto em um até 𝑍. Uma vez que qualquer coisa vezes zero é zero, e qualquer coisa vezes um é ela mesma.

E em duas dimensões, há uma e apenas uma ação de rotação-esticamento no plano que fará isso. Também é assim que vou pensar na multiplicação de quaternions mais tarde. Onde o número da esquerda atua como um tipo de função para o da direita. E entenderemos essa função vendo como ela age transformando o espaço. Embora, em vez de rotacionar o espaço 2D, ela faz uma espécie de rotação dupla no espaço 4D. A propósito, se você quiser rever o pensamento sobre números complexos como um tipo de ação, um bom aquecimento para este vídeo pode ser o que eu fiz 𝑒 elevado a 𝜋𝑖, explicando com a teoria introdutória dos grupos.

Agora Linus, o Linelander, está bastante confortável com a ideia de esticar. É assim que se parece a multiplicação por números reais. Talvez seja um pouco estranho para ele pensar em esticar em várias dimensões. Mas não é fundamentalmente diferente. O difícil de se comunicar com Linus é a rotação. Especificamente, concentre-se no círculo unitário do plano complexo. Todos os números à distância um do zero. Como a multiplicação por esses números corresponde à rotação pura. Como você explicaria a Linus a aparência e a sensação de multiplicar por esses números? No começo, isso pode parecer impossível. Quero dizer, rotação é apenas uma ideia intrinsecamente bidimensional. Mas, por outro lado, a rotação envolve apenas um grau de liberdade. Um único número, o ângulo, especifica uma determinada rotação exclusivamente.

Portanto, em princípio, deve ser possível associar o conjunto de todas as rotações ao contínuo unidimensional que é o mundo de Linus. E há muitas maneiras de fazer isso. Mas o que eu vou lhe mostrar é o que é chamado de projeção estereográfica. É uma maneira especial de mapear um círculo em uma reta ou uma esfera em um plano. Ou mesmo uma hiperesfera 4D no espaço 3D.

Para cada ponto no círculo unitário, desenhe uma reta de menos um até esse ponto. E onde quer que ele cruze a reta vertical através do centro do círculo, é onde o ponto do círculo é projetado. Por exemplo, o ponto em um é projetado no centro da reta. O ponto 𝑖 permanece fixo no lugar, assim como o menos 𝑖. Todos os pontos nesse arco de 90 graus entre um e 𝑖 serão projetados em algum lugar no intervalo entre o local onde um ficou e o local onde 𝑖 ficou. À medida que você avança mais ao redor do círculo no arco entre 𝑖 e menos um. Os pontos projetados terminam cada vez mais distantes a uma taxa crescente. Da mesma forma, se você der o caminho inverso a menos um. Os pontos projetados terminam cada vez mais no outro extremo da reta. Essa reta de pontos projetados é o que mostramos a Linus. Rotulando alguns pontos-chave, como um e 𝑖 e menos um, todos para referência.

Tecnicamente, o ponto em menos um não tem projeção neste mapa. Como a reta tangente ao círculo nesse ponto nunca cruza a reta vertical. Mas o que dizemos é que o menos um acaba no ponto no infinito. Este é um ponto especial que você imagina adicionar à reta. Onde você o abordaria se você caminhar infinitamente longe ao longo da reta em qualquer direção. Agora é importante lembrar e lembrar a Linus que o que ele está vendo são apenas os números complexos que estão distantes um da origem, um círculo unitário. Linus não vê a maioria dos números, como zero ou um mais 𝑖 ou menos dois menos 𝑖. Mas está tudo bem. Porque agora, nós apenas queremos descrever um número complexo 𝑍. Onde multiplicar por 𝑍 tem o efeito de uma rotação pura. Então ele só precisa entender o círculo unitário.

Por exemplo, quando pegamos o número 𝑖 e multiplicamos por qualquer outro número complexo 𝑊, o efeito é rotacionar 90 graus no sentido anti-horário. E quando aplicamos essa ação ao círculo que está sendo projetado na reta de Linus, o que ele vê? Bem, é um pouco de uma ação de transformação estranha na reta. Uma que eu quero que você se familiarize com algo que veremos mais adiante. É mais fácil entender, seguindo alguns pontos de referência importantes. 𝑖 vezes um é 𝑖, então isso significa que o número um deve subir para 𝑖. 𝑖 vezes 𝑖 é menos um, então o ponto em 𝑖 desliza para o infinito. 𝑖 vezes menos um é igual a menos 𝑖. Portanto, esse ponto no infinito volta do fundo para a posição uma unidade abaixo do centro. E 𝑖 vezes menos 𝑖 é um, de modo que o ponto menos 𝑖 desliza para um.

Embora esse seja um movimento estranho, ele nos permite comunicar algumas ideias importantes a Linus. Por exemplo, multiplicar por 𝑖 quatro vezes, o que corresponde a rotacionar 90 graus quatro vezes seguidas, nos leva de volta ao ponto em que começamos. 𝑖 elevado a quatro é igual a um. Aqui, para entender melhor as coisas, deixe-me mostrar o círculo rotacionado em vários ângulos diferentes. Na metade esquerda e direita da tela, estou colocando uma mão no ponto que começou no número um. Para nos ajudar e para ajudar Linus a acompanhar o movimento geral.

Em seguida, vamos apresentar Felix, o Flatlander, que entende apenas geometria bidimensional. Imagine tentar explicar as rotações de uma esfera para Felix. No espírito de fazer a transição de números complexos para quaternions, vamos estender os números complexos, com seu eixo horizontal de números reais e seu eixo vertical de números imaginários, com um terceiro eixo. Definido por alguma constante recém-inventada, 𝑗, situada a uma unidade do zero, perpendicular ao plano complexo. Em vez de ter esse novo eixo na direção 𝑧 como você poderia esperar. Para uma melhor analogia com a forma como visualizaremos os quaternions, queremos orientar as coisas para que os eixos 𝑖 e 𝑗 fiquem nas direções 𝑥 e 𝑦 com a reta do número real alinhada ao longo da direção 𝑧. Portanto, todo ponto no espaço 3D é descrito como um número real mais algum número real vezes 𝑖 mais algum número real vezes 𝑗.

Por acaso, não é possível definir uma noção de multiplicação para um sistema de números 3D como este que satisfaça as propriedades algébricas usuais que tornam a multiplicação uma construção útil. Talvez eu explique por que esse é o caso em um vídeo subsequente. Mas, mantendo o foco em nosso objetivo atual, pense em descrever as rotações em 3D neste sistema de coordenadas para Felix, o Flatlander. A esfera unitária consiste em todos os números que estão a uma distância de zero na origem. Ou seja, a soma dos quadrados de suas coordenadas é um. Não podemos mostrar todo o espaço em 3D para Felix. Mas o que podemos fazer é projetar essa superfície 2D para ele e dar uma ideia de como são as reorientações da esfera sob essa projeção. Analogamente ao que fizemos antes, a projeção estereográfica associará quase todos os pontos da esfera unitária a um ponto único no plano horizontal definido pelos eixos 𝑖 e 𝑗.

Para cada ponto da esfera, desenhe uma reta de menos um no polo sul através desse ponto e veja onde ela cruza o plano. Portanto, o ponto um no polo norte acaba no centro do plano. Todos os pontos do hemisfério norte são transformados em algum lugar dentro do círculo unitário do plano 𝑖𝑗. E esse círculo unitário que passa por 𝑖𝑗, menos 𝑖, menos 𝑗 permanece fixo no lugar. E esse é um ponto importante a ser observado. Mesmo que a maioria dos pontos, retas e remendos que Felix, o Flatlander vê, sejam projeções da esfera real. Esse círculo unitário é a única coisa que ele tem, que é uma parte honesta da nossa esfera unitária, inalterada pela projeção. Todos os pontos do hemisfério sul são projetados fora desse círculo unitário, cada um ficando cada vez mais longe quando você se aproxima de menos um no polo sul.

E, novamente, menos um não tem projeção nesse mapeamento. Mas o que dizemos é que acaba em algum momento no infinito. Esse ponto no infinito é algo que, não importa em que direção você caminhe no plano, à medida que avança infinitamente, se aproximará desse ponto. É análogo a como se você se afastar em qualquer direção do polo norte, se aproximará do polo sul. Agora, deixe-me ver o que Felix vê em duas dimensões. Enquanto eu rotaciono a esfera de várias maneiras, as linhas de latitude e longitude traçadas nessa esfera são projetadas em vários círculos e linhas no espaço de Felix. E a maneira como fiz as coisas aqui em cima, o padrão quadriculado na superfície da esfera, é refletido com precisão na vista projetada que você vê com Felix. E o ponto rosa representa onde o ponto que começou no polo norte termina após a rotação. E esse círculo amarelo representa onde o equador terminou após a projeção.

Quanto mais você se colocar no lugar de Felix agora, mais fáceis os quaternions serão em um momento. E, como Linus, ajuda a focar em alguns objetos de referência importantes, em vez de tentar ver a esfera inteira. Esse círculo, passando por um, 𝑖, menos um e menos 𝑖, é transformado em uma reta que Felix vê como o eixo horizontal. É importante lembrar Felix que o que ele vê não é a mesma coisa que o eixo 𝑖. Lembre-se, estamos projetando apenas os números que têm uma distância um da origem. Portanto, a maioria dos pontos no eixo 𝑖 atual, como zero e dois 𝑖 e três 𝑖, etc., são completamente invisíveis para Felix. Da mesma forma, o círculo que passa por um, 𝑗, menos um e menos 𝑗 é projetado no que ele vê como uma linha vertical. E, em geral, qualquer linha que Felix vê vem de algum círculo na esfera que passa por menos um. Em certo sentido, uma linha é apenas um círculo que passa pelo ponto no infinito.

Agora pense no que Felix vê ao girar a esfera. Uma rotação de 90 graus em torno do eixo 𝑗 leva um a 𝑖, 𝑖 a menos um, menos um a menos 𝑖 e menos 𝑖 a um. Então, o que Felix, o Flatlander, vê é uma extensão da rotação que Linus, o Linelander, estava vendo. Observe também que esta ação rotaciona o círculo unitário 𝑖𝑗 para a posição onde o círculo unitário um 𝑗 costumava estar. Então, o que Felix vê é seu círculo unitário amarelo sendo transformado em uma reta vertical. Enquanto essa reta vertical vermelha é transformada no círculo unitário. Obviamente, da nossa perspectiva, sabemos que tudo isso é apenas movimento rígido. Nenhum esticamento ou morfismo real está ocorrendo. Tudo isso é apenas um artefato da projeção.

Da mesma forma, uma rotação em torno do eixo 𝑖 envolve mover um para 𝑗, 𝑗 para menos um, menos um para menos 𝑗 e menos 𝑗 para um. Essa rotação transforma o círculo unitário 𝑖𝑗 em um círculo unitário um 𝑖 que, para Felix, se parece com o círculo unitário sendo transformado em uma linha horizontal. Uma rotação sobre o eixo real é realmente muito fácil para Felix entender. Como toda a projeção é rotacionada sobre a origem. Onde os únicos pontos que permanecem fixos são um na origem e menos um no infinito.

Da mesma forma que os números complexos incluíam os números reais com uma única citação extra, sem aspas, dimensão imaginária, representada pela unidade 𝑖. E que a coisa que não era realmente um sistema numérico que tínhamos em três dimensões incluía uma segunda direção imaginária, 𝑗. Os quaternions incluem os números reais, juntamente com três dimensões imaginárias separadas, representadas pelas unidades 𝑖, 𝑗 e 𝑘. Cada uma dessas três dimensões imaginárias é perpendicular à reta do número real. E elas são todas perpendiculares uma a outra de alguma forma. Assim, da mesma maneira que números complexos são representados como um par de números reais, cada quaternion pode ser escrito usando quatro números reais. E vive no espaço quadridimensional. Você costuma pensar nisso como sendo dividido em uma parte real ou escalar e depois em uma parte imaginária em 3D.

E Hamilton usou uma palavra especial para quaternions que não tinham parte real e apenas as componentes 𝑖, 𝑗, 𝑘. Uma palavra que antes era um tanto estrangeira no jargão da matemática e da física, vetor. Por um lado, você pode definir a multiplicação de quaternions, dando as regras de como 𝑖, 𝑗 e 𝑘 se multiplicam e dizendo que tudo deve ser distribuído de maneira adequada. Isso é análogo a definir multiplicação complexa, dizendo que 𝑖 vezes 𝑖 é menos um, e depois distribuindo e simplificando os produtos. E, de fato, é assim que você diria a um computador para realizar a multiplicação de quaternion. E a compacidade relativa dessa operação em comparação com, digamos, a multiplicação de matrizes é o que tornou o quaternion tão útil para a programação gráfica e muitas outras coisas.

Há também uma forma bastante elegante dessa regra de multiplicação escrita em termos de produto escalar e produto vetorial. E, em certo sentido, a multiplicação de quaternion inclui essas duas noções. Pelo menos, como elas aparecem em três dimensões. Porém, assim como um entendimento mais profundo da multiplicação complexa vem do entendimento de sua geometria, a multiplicação por um número complexo envolve uma combinação de redimensionamento e rotação. Você e eu estamos aqui pela geometria quadridimensional da multiplicação de quaternions. E assim como a magnitude de um número complexo, sua distância de zero, é a raiz quadrada da soma dos quadrados de sua componente. Essa mesma operação fornece a magnitude de um quaternion.

E multiplicar um quaternion, 𝑞 um, por outro, 𝑞 dois, tem o efeito de escalar 𝑞 dois pela magnitude de 𝑞 um seguido por um tipo muito especial de rotação em quatro dimensões. E essas rotações especiais em 4D, o coração do que precisamos entender, correspondem à hiperesfera dos quaternions a uma distância da origem. Tanto no sentido de que os quaternions, cuja ação multiplicadora é uma rotação pura, vivem nessa hiperesfera. E no sentido de que podemos entender essa estranha ação 4D apenas seguindo os pontos da hiperesfera. Em vez de tentar olhar para todos os pontos do trecho inconcebível como um espaço quadridimensional.

Analogamente ao que fizemos para Linus e Felix, projetamos estereograficamente essa hiperesfera no espaço 3D. Essa etiqueta no canto superior direito mostrará um determinado quaternion unitário. E este pequeno ponto rosa mostrará onde esse quaternion específico é projetado no nosso espaço 3D. Assim como antes, estamos projetando a partir do número menos um, que fica na reta do número real que é de alguma forma perpendicular a todo o nosso espaço 3D e além da nossa percepção. Assim como antes, o número um acaba projetado diretamente no centro do nosso espaço. E da mesma maneira que 𝑖 e menos 𝑖 foram fixados no local de Linus, e que o círculo unitário 𝑖𝑗 foi fixado no local de Felix. Temos uma esfera inteira passando por 𝑖, 𝑗 e 𝑘 na hiperesfera unitária que permanece no lugar sob a projeção. Portanto, o que vemos como uma esfera unitária em nosso espaço 3D representa a única parte inalterada da hiperesfera dos quaternions sendo projetada para baixo sobre nós.

É algo análogo ao equador de uma esfera 3D. E representa todos os quaternions unitários cuja parte real é zero. O que Hamilton descreveria como vetores unitários. Os quaternions unitários com partes reais positivas entre zero e um acabam em algum lugar dentro desta esfera unitária, mais próxima do número um em nosso espaço 3D. O que deve parecer análogo a como o hemisfério norte foi transformado dentro do círculo unitário para Felix. Por outro lado, todos os quaternions unitários com parte real negativa terminam em algum lugar fora dessa esfera unitária. O número menos um está sentado no ponto no infinito, que você pode encontrar facilmente andando em qualquer direção.

Lembre-se, mesmo que vejamos a projeção de alguns desses quaternions como mais próximos ou mais longe da origem do nosso espaço 3D. Tudo o que você está olhando representa um quaternion unitário. Então, tudo o que você está vendo realmente tem a mesma magnitude, a mesma distância do número zero. E esse número zero em si não pode ser encontrado em nenhum lugar nesta imagem. Como todos os outros quaternions não unitários, é invisível para nós. Da mesma forma que, para Felix, o círculo que passa por um, 𝑖, menos um e menos 𝑖 foi projetado em uma reta através da origem. Quando vemos esta reta através da origem passando por 𝑖 e menos 𝑖, devemos entender que ela realmente representa um círculo. Da mesma forma, na hiperesfera invisível para nós, existe uma esfera unitária que passa por um, 𝑖, 𝑗, menos um, menos 𝑖 e menos 𝑗. E toda essa esfera é projetada no plano que vemos passando através de um, 𝑖, menos 𝑖, 𝑗, menos 𝑗 e menos um no infinito. O que você e eu podemos chamar de plano 𝑥𝑦.

Em geral, qualquer plano que você vê aqui realmente representa a projeção de uma esfera em algum lugar da hiperesfera que passa pelo número menos um. Agora, a ação de tomar um quaternion unitário e multiplicá-lo por qualquer outro quaternion da esquerda pode ser pensada em termos de duas rotações 2D separadas, perpendiculares e sincronizadas entre si. De uma maneira que só poderia ser possível em quatro dimensões.

Como primeiro exemplo, vejamos a multiplicação por 𝑖. Já sabemos o que isso faz com o círculo que passa por um e 𝑖, que vemos como uma linha. Um vai para 𝑖, 𝑖 vai para menos um no infinito, o menos um volta para menos 𝑖 e menos 𝑖 vai para um. Lembre-se, assim como Linus viu, tudo isso é a projeção estereográfica de uma rotação de 90 graus. Agora observe o círculo que passa por 𝑗 e 𝑘, que é, de certo modo, perpendicular ao círculo que passa por um e 𝑖. Agora, pode parecer estranho falar sobre dois círculos sendo perpendiculares um ao outro. Especialmente quando eles têm o mesmo centro, o mesmo raio e não se tocam. Mas nada poderia ser mais natural em quatro dimensões.

Você pode pensar na ação de 𝑖 nesse círculo perpendicular como obedecendo a uma certa regra da mão direita. Se você der uma desculpa à invasão da minha mão fantasmagórica de tela verde em nosso estágio matemático platônico primitivo. Você deixa o polegar da mão direita apontar do número um para 𝑖 e curva os dedos. O círculo 𝑗𝑘 girará na direção dessa curvatura. Quanto? Bem, na mesma quantidade que o círculo de um 𝑖 gira, que é de 90 graus neste caso. Isto é o que eu quis dizer com duas rotações perpendiculares e sincronizadas entre si. Então 𝑗 vai para 𝑘, 𝑘 vai para menos 𝑗, menos 𝑗 vai para menos 𝑘 e menos 𝑘 vai para 𝑗. Isso nos dá uma pequena tabela para o que o número 𝑖 faz com os outros quaternions. Mas eu quero que isso não seja algo que você memorize, mas algo que você possa fechar os olhos e realmente possa ver.

Computacionalmente, se você sabe o que um quaternion faz com os números um, 𝑖, 𝑗 e 𝑘, você sabe o que ele faz com qualquer quaternion arbitrário. Desde que a multiplicação distribua bem. Na linguagem da álgebra linear, um, 𝑖, 𝑗 e 𝑘 formam uma base do nosso espaço quadridimensional. Portanto, saber o que nossa transformação faz com eles nos fornece informações completas sobre o que faz com todo o espaço.

Geometricamente, uma criatura quadridimensional seria capaz de olhar para essas duas rotações perpendiculares que acabei de descrever e entender que elas prendem você em um e apenas um movimento rígido para a hiperesfera. Podemos não ter as intuições de uma criatura tão hipotética. Mas talvez possamos tentar chegar perto. Veja como é a ação de multiplicar repetidamente por 𝑖 em nossa projeção estereográfica de 𝑖, 𝑗, 𝑘 da esfera. Ela é rotacionada para o que vemos como um plano. Em seguida, é rotacionada mais para trás, onde costumava estar, embora a orientação esteja toda invertida agora. Em seguida, ela é rotacionada novamente para o que vemos como um plano. E após a quarta iteração, ela volta exatamente onde começou.

Como outro exemplo, pense em um quaternion como 𝑞 igual a menos raiz quadrada de dois sobre dois mais raiz quadrada de dois sobre duas vezes 𝑖. O que, se extrairmos a imagem de um plano complexo, é uma rotação de 135 graus de distância de um na direção de 𝑖. Sob nossa projeção, vemos isso ao longo da linha de um a 𝑖 em algum lugar fora da esfera unitária. Se isso soa estranho, lembre-se de como Linus teria visto o mesmo número. A ação de multiplicar esse 𝑞 por todos os outros quaternions nos parecerá arrastar o ponto até a versão projetada de 𝑞. Enquanto o círculo 𝑗𝑘 é rotacionado 135 graus, de acordo com a regra da mão direita.

A multiplicação por qualquer outro quaternion é completamente semelhante. Por exemplo, vamos ver como 𝑗 age em outros quaternions por multiplicação a partir da esquerda. O círculo através de um e 𝑗, que vemos projetados como uma linha através da origem, é rotacionado 90 graus, arrastando um até 𝑗. Então, 𝑗 vezes um é um, e 𝑗 vezes 𝑗 é menos um. O círculo perpendicular àquele, passando por 𝑖 e 𝑘, é rotacionado 90 graus de acordo com esta regra da mão direita, onde você aponta o polegar de um a 𝑗. Então 𝑗 vezes 𝑖 é menos 𝑘 e 𝑗 vezes 𝑘 é 𝑖.

Em geral, para qualquer outro quaternion de unidade que você vê em algum lugar no espaço, comece desenhando o círculo da unidade que passa por um, 𝑞 e menos um. Que vemos em nossa projeção como uma reta através da origem. Em seguida, desenhe o círculo perpendicular ao que vemos como esfera unitária. Você rotaciona o primeiro círculo para que um acabe onde 𝑞 estava. E rotaciona o círculo perpendicular na mesma quantidade, de acordo com a regra da mão direita.

Uma coisa que vale a pena notar aqui é que a ordem da multiplicação é importante. Não é, como diriam os matemáticos, comutativa. Por exemplo, 𝑖 vezes 𝑗 é 𝑘, no qual você pode pensar em termos de 𝑖 agindo no quaternion 𝑗, rotacionando para 𝑘. Mas se você pensa em 𝑗 agindo em 𝑖, 𝑗 vezes 𝑖, rotaciona 𝑖 para menos 𝑘. De fato, a comutatividade, essa capacidade de trocar a ordem da multiplicação, é uma propriedade muito mais especial do que muita gente imagina. E a maioria dos grupos de ações em algum espaço não possui. É como na resolução de um cubo de Rubik, a ordem é muito importante. Ou como rotacionar um cubo em torno do eixo 𝑧 e depois sobre o eixo 𝑥 dá um estado final diferente de rotacionar sobre o eixo 𝑥, e depois sobre o eixo 𝑧.

E, finalmente, como um ponto final, mas bastante importante, até agora eu mostrei como pensar nos quaternions como agindo por multiplicação à esquerda. Onde, quando você lê uma expressão como 𝑖 vezes 𝑗, pensa em 𝑖 como um tipo de função que transforma todo o espaço e 𝑗 é apenas um dos pontos em que está atuando. Mas você também pode pensar neles como um tipo diferente de ação, multiplicando da direita, onde nesta expressão 𝑗 estaria agindo em 𝑖. Nesse caso, a regra para multiplicação é muito semelhante. Ainda é o caso de um ir para 𝑗 e 𝑗 para menos um, etc. Mas, em vez de aplicar a regra da mão direita ao círculo perpendicular ao círculo um 𝑗, você usaria a mão esquerda.

Então, de qualquer maneira, 𝑖 vezes 𝑗 é igual a 𝑘. Mas você pode pensar nisso com a mão direita curvando o número 𝑗 para o número 𝑘 enquanto o polegar aponta de um para 𝑖. Ou com a mão esquerda curvando 𝑖 a 𝑘 como o polegar aponta de um a 𝑗. Compreender esta regra do lado esquerdo para multiplicação do outro lado será extremamente útil para entender como os quaternions unitários descrevem a rotação em três dimensões.

E até agora, provavelmente não está claro como exatamente os quaternions descrevem a rotação 3D. Quero dizer, se você considerar uma dessas ações na esfera unitária passando por 𝑖, 𝑗 e 𝑘. Não deixa essa esfera no lugar. Isso transforma ela fora da posição. Portanto, a maneira como isso funciona é um pouco mais complicada do que um único produto de quaternions. Envolve um processo chamado conjugação. E farei um vídeo completo sobre o assunto, para que tenhamos tempo de analisar alguns exemplos.

Enquanto isso, para obter mais informações sobre a história dos quaternions e sua relação com a orientação no espaço 3D, Quanta, uma publicação matemática com a qual muitos de vocês conhecem, basta publicar um post em uma espécie de conjunção com esse vídeo. Link na descrição. Se você gostou, considere compartilhá-lo com alguns amigos. E se você achou que a estrutura narrativa aqui era realmente útil para a compreensão, talvez tranquilize os amigos que estariam perdidos por um grande carimbo de data e hora de que uma boa matemática realmente vale o tempo. E muito obrigado aos clientes entre vocês. Na verdade, passei muito mais tempo do que gostaria de admitir neste projeto. Portanto, sua paciência e apoio são especialmente apreciados desta vez.

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