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Neste vídeo, falaremos sobre as propriedades globais de um gás ideal. Em particular, examinaremos uma equação muito útil, conhecida como equação do gás ideal, que relaciona três propriedades importantes de um gás — volume, temperatura e pressão. Mas, para começar, vamos definir exatamente o que significam as propriedades globais de um gás ideal.
Em primeiro lugar, o que queremos dizer com propriedades globais? Bem, as propriedades globais descrevem o comportamento médio ou coletivo de um grande número de partículas. Sabemos que os gases consistem em moléculas de gás. E mesmo uma pequena quantidade de gás contém um grande número de moléculas. Isso significa que, na maioria das situações, se tentássemos descrever as propriedades individuais de cada molécula em um gás, por exemplo, as suas velocidades e posições, podemos ver que as coisas ficariam incrivelmente complicadas muito rapidamente. Especialmente considerando que teríamos que medir estas quantidades em três dimensões e que mudavam constantemente. Portanto, em vez de tudo isso, é muito mais fácil e útil considerar apenas as propriedades globais de um gás.
No caso de um gás ideal, as propriedades globais em que estamos interessados são o volume, a pressão e a temperatura do gás. Estas propriedades agrupam o comportamento de todas as moléculas de um gás. Então, podemos pensar num gás como uma coisa coesa, e não como biliões de moléculas individuais. A segunda coisa que precisamos de definir é o que queremos dizer com gás ideal. Quando utilizamos a palavra ideal no dia-a-dia, utilizamo-la para descrever algo realmente bom ou conveniente. Quando utilizamos a palavra ideal em ciência, esta tem um significado semelhante. Utilizamo-la para nos referir a uma descrição simplificada e conveniente de algo.
Então, quando falamos de um gás ideal, estamos a falar de uma aproximação simplificada de como o nosso gás se comporta. Especificamente, definimos um gás ideal como composto por partículas que não interagem umas com as outras e que têm um tamanho desprezável. Por outras palavras, estamos a simplificar a nossa descrição de um gás dizendo que não há forças entre as moléculas de gás, como repulsão eletrostática, e que o volume das moléculas de gás é desprezável em comparação ao volume de todo o gás. A razão pela qual simplificamos a nossa descrição desta maneira é que esta torna as matemáticas necessárias para descrever esse gás muito mais simples, ao mesmo tempo que é preciso o suficiente para ser útil em muitas situações.
Os físicos utilizaram estas duas suposições simplificadoras para chegar a uma equação simples e útil que relaciona estas três propriedades globais de um gás. Essa equação é conhecida como equação dos gases ideais e é assim. A equação dos gases ideais diz-nos que a pressão de um gás ideal multiplicada pelo seu volume é igual a uma constante de proporcionalidade multiplicada pela temperatura do gás. Agora, a pressão é equivalente à força dividida pela área. Quando falamos sobre a pressão de um gás num recipiente, estamos a falar sobre a pressão que as moléculas de gás exercem nas paredes do recipiente que colidem com elas. A pressão de um gás é igual à força total que as moléculas de gás exercem no interior desse recipiente, dividida pela área interna total das paredes do recipiente.
Como todas as ações têm uma reação igual e oposta, também podemos pensar nisto ao contrário. A pressão que o gás exerce sobre o seu recipiente é exatamente a mesma que a pressão que o recipiente exerce sobre o gás. Dependendo do contexto que estamos a ver, às vezes pode ser mais fácil pensar na pressão de um gás como uma pressão expansiva e externa que atua no seu recipiente. Mas noutros instantes, pode ser mais fácil pensar na pressão como sendo uma pressão interna que o recipiente exerce sobre um gás. Mas pensar sobre isso de maneiras diferentes não muda a forma como o calculamos ou o seu valor.
Quando pensamos na pressão de um gás num recipiente, que tenderá a ser uma quantidade razoavelmente pequena de gás, a pressão pode ser medida em qualquer ponto do gás. E envolve os mesmos valores em cada um destes pontos. As unidades da pressão são pascais representadas por um "𝑃" maiúsculo e um "𝑎" minúsculo. E como a pressão é igual à força dividida pela área, um pascal é equivalente a um newton por metro quadrado. A próxima variável nesta equação, o volume, é muito mais fácil de concetualizar. O volume de um gás é apenas a quantidade de espaço 3D que ocupa, que medimos em metros cubos.
A outra variável nesta equação é temperatura. Como na maioria das equações de física que envolvem temperatura, é realmente importante que o valor que utilizemos aqui seja medido em Kelvin e não em Celsius. Podemos lembrar que na escala de temperatura Celsius, zero grau Celsius é arbitrariamente definido como sendo o ponto de solidificação da água. No entanto, a temperatura mais baixa que um objeto pode teoricamente ter é na verdade 273.15 graus Celsius negativos. Portanto, esta temperatura, conhecida como zero absoluto, é onde definimos o ponto zero da escala Kelvin.
Agora, além das posições dos pontos zero, a escala Kelvin e a escala graus Celsius são na verdade as mesmas. Ou seja, um aumento na temperatura de um grau Celsius é exatamente o mesmo que um aumento de temperatura de um Kelvin, o que significa que o ponto de solidificação da água é 273.15 Kelvin. Por outras palavras, a temperatura medida em Kelvin, que poderíamos chamar de 𝑇 𝑘, é igual à temperatura medida em graus Celsius, que poderíamos chamar de 𝑇 𝑐 mais 273.15, embora muitas vezes arredondemos isso com três algarismos significativos, neste caso é 273. Sempre que utilizamos a equação dos gases ideais, precisamos de garantir que todas as temperaturas dadas em Celsius sejam primeiro convertidas em Kelvin. Caso contrário, o nosso cálculo dará um resultado incorreto.
A parte final desta equação a ser observada é a constante de proporcionalidade 𝑘. Essa constante, como a maioria das constantes em equações físicas, apenas assegura que, quando utilizamos a equação do gás ideal, obtivemos uma resposta que esteja nas unidades corretas. Por exemplo, se substituíssemos uma pressão em pascal e um volume em metros em cubos, poderíamos obter uma temperatura em Kelvin. Uma coisa importante a saber sobre esta constante de proporcionalidade é que depende da quantidade de gás que temos.
De facto, o seu valor é proporcional ao número de moléculas de gás. Isso significa que essa constante de proporcionalidade é apenas uma constante se o número de moléculas de gás for mantido o mesmo. Portanto, é importante estar ciente disto sempre que utilizarmos a equação dos gases ideais. Desde que o número de moléculas de gás não mude, a equação dos gases ideais diz-nos que a pressão de um gás ideal multiplicada pelo seu volume é proporcional à sua temperatura. Então agora que falámos sobre o que é um gás ideal e como as suas propriedades globais podem ser relacionadas entre si utilizando a equação dos gases ideais, vamos dar uma olhadela nalguns exemplos de questões.
Qual das seguintes fórmulas representa mais corretamente a relação entre pressão, volume e temperatura absoluta de um gás ideal? (A) 𝑃 sobre 𝑉 é proporcional a 𝑇, (B) 𝑃 sobre 𝑇 é proporcional a 𝑉, (C) 𝑃 vezes 𝑉 é proporcional a 𝑇, (D) 𝑉 sobre 𝑇 é proporcional a 𝑃 ou (E) 𝑉 sobre 𝑃 é proporcional a 𝑇.
Portanto, nesta questão, deram-nos cinco fórmulas diferentes. E precisamos de decidir qual delas representa com mais precisão a relação entre estas três quantidades. Podemos começar por lembrar quais os símbolos que geralmente utilizamos para representar estas quantidades. Bem, geralmente utilizamos 𝑃 maiúsculo para a pressão, 𝑉 maiúsculo para volume e 𝑇 maiúsculo para a temperatura absoluta. Como cada uma das respostas disponíveis utiliza os três símbolos, isso significa que todas representam algum tipo de relação entre as três quantidades nas quais estamos interessados.
A expressão-chave na nossa questão, que pode nos ajudar a descobrir qual destas opções está mais correta, é gás ideal. Podemos recordar que um gás ideal é uma descrição simplificada de um gás com base nas suposições de que as moléculas de gás têm um tamanho desprezável e não interagem umas com as outras. Agora, há uma equação-chave em que devemos sempre pensar sempre que ouvimos a expressão gás ideal. E essa é a equação dos gases ideais, 𝑃𝑉 igual a 𝑘𝑇. Esta equação dá-nos a relação entre três das principais propriedades globais de um gás ideal — a pressão 𝑃, o volume 𝑉 e a temperatura absoluta 𝑇 — que são, é claro, as mesmas que as três quantidades que nos estão a perguntar nesta questão.
Infelizmente, embora isso nos proporcione uma relação correta entre a pressão, o volume e a temperatura absoluta de um gás ideal, nenhuma das nossas respostas disponíveis tem a mesma aparência desta equação. De facto, uma das primeiras coisas que podemos ter notado sobre as opções de resposta que nos deram é que, embora sejam fórmulas, nenhuma delas é uma equação. Ou seja, não têm sinais de igual. Em vez disso, cada uma das fórmulas que nos deram tem este símbolo. Este é o sinal de proporcionalidade. Utilizamo-lo para representar o facto de que ambos os membros da fórmula são diretamente proporcionais entre si.
Assim, por exemplo, se duas variáveis 𝐴 e 𝐵 fossem diretamente proporcionais entre si, isso poderia ser representado por esta fórmula. O que esta significa é que, embora as duas variáveis não sejam necessariamente iguais, elas aumentam ou diminuem proporcionalmente em relação uma à outra. O que significa que, por exemplo, se duplicarmos o tamanho de 𝐴, ou seja, se o multiplicarmos por dois, também descobriremos que o tamanho de 𝐵 também duplicará. Ou, por exemplo, se multiplicarmos 𝐴 por 0.25, descobriremos que 𝐵 também será multiplicado por 0.25.
Lembre-se de que é possível transformar qualquer expressão de proporcionalidade numa expressão de igualdade. Ou seja, podemos transformar uma expressão como esta que envolve um sinal de proporcionalidade numa equação com um sinal de igual. Podemos fazer isso simplesmente substituindo o sinal de proporcionalidade por um sinal de igual e introduzindo uma constante de proporcionalidade, geralmente representada por um 𝐾, multiplicada por uma das variáveis. Isso dá-nos uma equação que expressa exatamente a mesma relação entre 𝐴 e 𝐵, como esta expressão de proporcionalidade. Podemos ver que nesta equação, se multiplicássemos 𝐵 por dois, por exemplo, porque 𝐴 é igual a um número de vezes 𝐵, 𝐴 também teria que aumentar duas vezes.
Neste caso, a constante de proporcionalidade 𝐾 desempenha o papel de escala de 𝐵 de modo que 𝐾 vezes 𝐵 seja exatamente igual a 𝐴. Em muitas equações físicas, também descobrimos que a constante de proporcionalidade desempenha um papel adicional de garantir que as unidades no primeiro membro da equação sejam equivalentes às unidades no segundo membro da equação. Também é importante notar que existem duas formas de transformar esta expressão de proporcionalidade numa equação. Podemos escrever a constante de proporcionalidade no segundo membro da equação, assim, multiplicada por 𝐵. Ou poderíamos escrever a nossa equação assim, com a constante de proporcionalidade multiplicada por 𝐴.
É realmente importante observar que estes valores de 𝐾 não são os mesmos porque definimos efetivamente 𝐾 de maneira diferente em cada equação. Na verdade, têm unidades diferentes. São constantes completamente diferentes. Então, devemos realmente chamar um deles 𝐾 um e o outro 𝐾 dois para distinguir entre eles. Portanto, agora, estas duas equações e esta expressão de proporcionalidade são exatamente equivalentes entre si. Também é importante observar que as expressões de proporcionalidade podem ter mais do que uma variável em cada lado do sinal de proporcionalidade, o que podemos ver é o caso em todas as opções de resposta que nos deram.
Por exemplo, poderíamos dizer que 𝐴 é proporcional a 𝐵 vezes 𝐶. Neste caso, se multiplicássemos o tamanho de 𝐴 por dois, descobriríamos que o produto de 𝐵 e 𝐶 também é multiplicado por dois. Ter mais do que uma variável nos dois membros de uma expressão de proporcionalidade não muda a maneira como podemos transformá-la numa equação. Portanto, a afirmação 𝐴 é proporcional a 𝐵 vezes 𝐶 é equivalente a 𝐴 é igual a 𝐾 um vezes 𝐵𝐶 ou 𝐾 dois vezes 𝐴 igual a 𝐵𝐶.
Olhando para a questão, podemos ver que a equação dos gases ideais nos dá a relação que estamos à procura. No entanto, as respostas disponíveis são todas expressões de proporcionalidade. Isso significa que podemos determinar a nossa resposta, transformando esta equação numa expressão de proporcionalidade. Na equação dos gases ideais, temos duas variáveis, 𝑃 e 𝑉, num membro da equação e uma variável, 𝑇, no outro. A presença desta constante de proporcionalidade significa que a equação nos diz que 𝑃 vezes 𝑉 é proporcional a 𝑇. Estas duas expressões são maneiras equivalentes de escrever a mesma relação entre as três variáveis. E também podemos ver que esta expressão de proporcionalidade é uma das nossas opções de resposta. Portanto, a opção (C) é a resposta correta. A fórmula que mais corretamente representa a relação entre pressão, volume e temperatura absoluta de um gás ideal é 𝑃 vezes 𝑉 é proporcional a 𝑇.
Agora que respondemos a esta, vejamos outro exemplo de questão.
Uma botija de gás contém 3.25 metros cúbicos de gás a uma pressão de 520 quilopascais e a uma temperatura de 300 Kelvin. A que temperatura a pressão do gás na botija se tornaria de 865 quilopascais? Apresente a resposta com três algarismos significativos.
Portanto, esta questão descreve uma botija de gás com um volume de 3.25 metros cúbicos, uma pressão de 520 quilopascais, que é a mesma que 520.000 pascais e uma temperatura de 300 Kelvin. Pedem-nos para calcular a temperatura na qual a pressão do gás na botija se tornaria de 865 quilopascais ou 865.000 pascais. Então, poderíamos imaginar a mesma botija de gás mais tarde, quando a pressão mudou para 865 quilopascais ou 865.000 pascais e a temperatura assumiu um valor desconhecido que precisamos de resolver. E por ser a mesma botija, podemos assumir que o volume permaneceria inalterado.
Neste ponto, como temos dois conjuntos diferentes de valores para as quantidades volume, pressão e temperatura, vamos chamar o conjunto inicial de valores à esquerda 𝑉 um, 𝑃 um e 𝑇 um e os valores alterados à direita 𝑉 dois, 𝑃 dois e 𝑇 dois. Portanto, o nosso desafio nesta questão é determinar 𝑇 dois. Então, para começar, vamos pensar nas variáveis com as quais devemos lidar nesta questão e ver se conseguimos pensar em alguma equação que nos possa ajudar.
Bem, essa questão pede-nos para considerar o volume, a pressão e a temperatura do gás. Uma equação que nos dá a relação entre estas quantidades é a equação dos gases ideais. Esta diz-nos que a pressão de um gás ideal multiplicada pelo seu volume é igual a uma constante multiplicada pela sua temperatura absoluta. Podemos recordar que a equação dos gases ideais faz as suposições de que as moléculas de gás têm tamanho desprezável e não interagem entre si. Embora esta questão fale sobre um gás real, ainda é razoável utilizar a equação dos gases ideais uma vez que nos pode dar respostas precisas sem ser muito complicado.
Agora, nesta questão, estamos a tentar determinar o valor de 𝑇. Então, vamos reorganizar a equação dos gases ideais para isolar 𝑇 e fazemos isso dividindo os dois membros da equação dos gases ideais por 𝑘, dando-nos 𝑃𝑉 sobre 𝑘 igual a 𝑇. Como precisamos de determinar a temperatura do gás após o aumento da pressão, parece razoável que possamos apenas inserir estes valores, 𝑉 dois e 𝑃 dois, nesta equação. E isso diz-nos 𝑇 dois. No entanto, embora isto seja tecnicamente verdadeiro, se tentarmos fazê-lo, perceberemos rapidamente que não sabemos qual é o valor de 𝑘. Isso acontece porque, na verdade, toma valores diferentes, dependendo do número de moléculas de gás com as quais estamos a lidar. Portanto, não é algo que possamos procurar.
Então, como está, não podemos substituir 𝑉 dois e 𝑃 dois diretamente na equação e obter apenas um valor de 𝑇 dois. No entanto, como temos um conjunto de condições iniciais para o volume, a pressão e a temperatura do gás, há outra coisa que podemos fazer com a equação dos gases ideais para determinar a resposta. Se começamos com 𝑃𝑉 igual a 𝑘𝑇 e dividirmos os dois membros da equação por 𝑇, obtemos 𝑃𝑉 sobre 𝑇 igual a 𝑘. Como a quantidade de moléculas de gás nesta questão é constante, isso significa que 𝑘 é constante. Portanto, independentemente de como tentamos alterar a pressão, o volume ou a temperatura de uma quantidade fixa de gás, descobrimos que o valor de 𝑃𝑉 sobre 𝑇 é sempre constante.
Por outras palavras, 𝑃 um vezes 𝑉 um dividido por 𝑇 um é igual a 𝑃 dois vezes 𝑉 dois dividido por 𝑇 dois. Escrever a equação dos gases ideais desta forma é realmente equivalente à sua forma mais familiar 𝑃𝑉 igual a 𝑘𝑇. No entanto, facilita o cálculo de como as variáveis mudam sem a necessidade de saber 𝑘. E podemos utilizar esta formulação para esta questão. Como estamos a tentar determinar 𝑇 dois, primeiro vamos reorganizar isto para isolar 𝑇dois. Primeiro, podemos multiplicar os dois membros da equação por 𝑇 dois, depois multiplicar os dois membros da equação por 𝑇 um e, finalmente, dividir os dois membros da equação por 𝑃 um 𝑉 um.
Com a equação desta forma, porque sabemos que a temperatura inicial, a pressão inicial e o volume inicial antes da pressão aumentar e sabemos o volume e a pressão após a pressão aumentar. Podemos apenas substituir todos estes valores e calcular 𝑇 dois. Vamos dar-nos um pouco mais de espaço. E sabemos que: 𝑇 um é 300 Kelvin, 𝑃 dois é 865.000 pascais, 𝑉 dois tem 3.25 metros cúbicos, 𝑃 um é 520.000 pascais e 𝑉 um é 3.25 metros cúbicos também. Ao colocar tudo isto na nossa calculadora, obtemos uma resposta 499.04 que tem unidades Kelvin, já que é uma temperatura. E arredondar a nossa resposta com três algarismos significativos dá-nos uma resposta final de 499 Kelvin.
Agora que examinámos alguns exemplos de questões, vamos resumir o que falámos neste vídeo. Primeiro, definimos um gás ideal pelas suposições de que as partículas de um gás têm tamanho desprezável e não interagem umas com as outras. Também definimos propriedades globais como propriedades que resultam do comportamento médio de muitas partículas. E as propriedades globais de um gás ideal são a pressão, o volume e a temperatura. Vimos como estas três quantidades estão relacionadas pela equação dos gases ideais, 𝑃𝑉 igual a 𝑘𝑇, em que 𝑘 é proporcional ao número de moléculas de gás.
E, finalmente, vimos como podemos utilizar a equação dos gases ideais para obter a fórmula 𝑃 um 𝑉 um sobre 𝑇 um igual a 𝑃 dois 𝑉 dois sobre 𝑇 dois. E mostrámos como podemos utilizar esta equação para calcular variações na pressão, no volume e na temperatura do gás sem precisar saber o valor de 𝑘.
