Lesson Video: Área Limitada por Curvas Polares

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Área Limitada por Curvas Polares

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a área de uma região limitada por uma ou mais curvas polares. Analisaremos vários exemplos de como podemos determinar integrais para determinar áreas desta forma. Vamos agora considerar a seguinte curva polar. E podemos chamar esta curva 𝑟 ou 𝑓 de 𝜃. Vamos supor que nos pediram para determinar a área limitada por esta curva, 𝜃 um e o 𝜃 dois. Agora, normalmente, quando determinamos uma área em coordenadas cartesianas, a área que determinamos aqui seria a área entre a curva 𝑟, o eixo horizontal O𝑥 e os valores de 𝑥 de 𝜃 um e 𝜃 dois. Então, essa é esta área aqui.

No entanto, este não é um gráfico cartesiano. Este é um gráfico polar. E quando dizemos que determinámos a área entre 𝜃 um e 𝜃 dois, isso, de facto, significa a área limitada pelas linhas 𝜃 igual a 𝜃 um, 𝜃 é igual a 𝜃 dois e 𝑟 igual a 𝑓 de 𝜃. O que nos dá esta área sombreada a azul aqui. O que, como podemos ver, não é igual à área que teríamos determinado utilizando o método cartesiano, que está a amarelo. Portanto, temos uma nova fórmula para determinar esta área. Esta fórmula diz-nos que a área é igual ao integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de um meio 𝑟 ao quadrado d𝜃. Vamos agora ver um exemplo de como esta fórmula pode ser utilizada.

Determine a área da região limitada pela curva polar 𝑟 igual a dois cos dois 𝜃 entre 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois e 𝜃 igual a três 𝜋 sobre dois.

Agora, temos uma fórmula para determinar a área limitada por curvas polares. E esta fórmula diz-nos que a área é igual ao integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de um meio 𝑟 ao quadrado d𝜃. Agora, dão-nos 𝑟 na questão, e é igual a dois cos de dois 𝜃. E fomos solicitados determinar a área entre 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois e 𝜃 igual a três 𝜋 sobre dois. Como três 𝜋 sobre dois é maior que 𝜋 sobre dois, podemos dizer que 𝜋 sobre dois deve ser igual a 𝜃 um. E três 𝜋 sobre dois deve ser igual a 𝜃 dois. Podemos substituir estes valores de 𝜃 um, 𝜃 dois e 𝑟 na nossa equação para a área.

Descobrimos que a área é igual ao integral de 𝜋 sobre dois a três 𝜋 sobre dois de um meio de dois cos de dois 𝜃 ao quadrado d𝜃. Podemos começar por expandir o termo ao quadrado. Terminamos com o integral de 𝜋 sobre dois a três 𝜋 sobre dois de um meio vezes quatro cos ao quadrado de dois 𝜃 d𝜃. E podemos anular um meio com um dos dois do quatro, o que nos dá isto. Agora, não podemos integrar diretamente um termo ao quadrado como este por si só. No entanto, existe uma maneira de se livrar do quadrado. Precisamos de utilizar a fórmula do dobro de um ângulo para cos. Esta fórmula diz-nos que cos de dois 𝜃 é igual a dois cos ao quadrado 𝜃 menos um. Podemos reorganizar isto para isolar cos ao quadrado 𝜃, o que nos dá que cos ao quadrado 𝜃 é igual a cos de dois 𝜃 mais um tudo sobre dois.

Agora, estamos quase prontos para substituir esta fórmula. No entanto, no nosso integrando, de facto, temos cos ao quadrado de dois 𝜃. E na nossa fórmula, temos apenas cos ao quadrado de 𝜃. Isto pode ser resolvido simplesmente multiplicando cada 𝜃 na nossa fórmula por dois. O que nos dá que cos ao quadrado de dois 𝜃 é igual a cos de quatro 𝜃 mais um tudo sobre dois. E podemos substituir isto de volta ao nosso integral para obter o integral de 𝜋 sobre dois a três 𝜋 sobre dois de dois multiplicado por cos de quatro 𝜃 mais um tudo sobre dois d𝜃. E agora, podemos anular o fator de dois com o dois no denominador. E agora, estamos prontos para integrar a nossa função.

O nosso primeiro termo, que é cos de quatro 𝜃, é uma função dentro de uma função. A função mais interna é quatro 𝜃. Então, começamos por derivar quatro 𝜃 em ordem a 𝜃 para nos dar quatro. Como quatro é uma constante, somos capazes de fazer esta integração. No entanto, não devemos esquecer de dividir por este quatro. E assim, começamos com um sobre quatro. Em seguida, integramos o cos. E assim, para o nosso primeiro termo, obtemos um sobre quatro sen de quatro 𝜃. E o nosso segundo termo é simplesmente um. Integrar um apenas nos dá 𝜃. E não devemos esquecer que estamos a integrar entre 𝜋 sobre dois e três 𝜋 sobre dois. Portanto, estes são os limites que precisamos de substituir.

Substituindo em três 𝜋 sobre dois, obtemos um quarto do sen de seis 𝜋 mais três 𝜋 sobre dois. E a seguir, substituímos 𝜋 sobre dois, mas não devemos esquecer de subtrair isto. Uma vez que 𝜋 sobre dois é o nosso limite inferior. E assim, obtemos menos um sobre quatro sen de dois 𝜋 mais 𝜋 sobre dois. Agora, sabemos que sen de dois 𝜋 é igual a zero. E também sabemos que sen é uma função periódica com periodicidade de dois 𝜋. Como seis 𝜋 é um múltiplo de dois 𝜋, isso significa que sen de seis 𝜋 também será igual a zero. Portanto, os dois termos que nos restam são três 𝜋 sobre dois menos dois 𝜋 sobre dois.

E é daqui que chegamos à nossa solução. Que é que a área da região limitada pela curva polar 𝑟 é igual a dois cos de dois 𝜃 entre 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois e 𝜃 igual a três 𝜋 sobre dois é igual a 𝜋.

Em algumas questões, podem não nos dar os valores de 𝜃 um e 𝜃 dois, para os quais precisamos para determinar a área intermédia. Às vezes, a região na qual precisamos de determinar a área será simplesmente descrita. Veremos isto no próximo exemplo.

Determine a área da região limitada pelo loop interno da curva polar 𝑟 igual a um mais dois sen 𝜃.

Vamos começar por fazer um esboço rápido de como seria esta curva. Poderíamos fazer isto utilizando uma calculadora gráfica, um software gráfico ou representando alguns pontos na curva. A nossa curva ficaria assim. Podemos ver que o loop interno da nossa curva é este pequeno loop na parte inferior aqui. E assim, esta região sombreada a laranja é a área que estamos a tentar determinar. De facto, temos uma fórmula para determinar áreas de regiões limitadas por curvas polares. Esta fórmula diz-nos que a área é igual ao integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de um meio 𝑟 ao quadrado d𝜃. Deram-nos 𝑟 na questão. E é igual a um mais dois sen 𝜃. Só precisamos de determinar os valores de 𝜃 um e 𝜃 dois.

Agora, os valores de 𝜃 um e 𝜃 dois ocorrerão nos pontos finais do loop interno fechado. Como se trata de um loop, isso acontecerá quando a curva se intersetar a si própria. Portanto, é o ponto azul aqui. Podemos ver no nosso esboço da curva que isto acontece quando 𝑟 é igual a zero, pois este ponto está na origem. E assim, podemos determinar 𝜃 um e 𝜃 dois resolvendo 𝑟 igual a zero. Quando 𝑟 é igual a zero, um mais dois sen 𝜃 também é igual a zero. Podemos reorganizar isto para descobrir que sen 𝜃 é igual a menos um meio.

Precisamos de determinar soluções aqui dentro do intervalo, onde 𝜃 está entre zero e dois 𝜋. Podemos utilizar um gráfico de sen 𝜃 para nos ajudar a determinar as nossas soluções. Desenhamos uma linha de menos um meio. A nossa calculadora dar-nos-á uma solução de menos 𝜋 sobre seis. No entanto, estamos à procura de soluções entre zero e dois 𝜋. Como o sen é periódico em dois 𝜋, podemos ver no nosso esboço que uma das soluções será 𝜋 sobre seis a menos de dois 𝜋, que é 11𝜋 sobre seis. E a outra solução será 𝜋 sobre seis a mais que 𝜋, que é simplesmente sete 𝜋 sobre seis.

Portanto, agora determinamos os nossos dois valores para 𝜃 um e 𝜃 dois. Temos que 𝜃 um é igual a sete 𝜋 sobre seis e 𝜃 dois é igual a 11𝜋 sobre seis. Agora estamos prontos para utilizar a nossa fórmula para determinar a área. Temos que a área é igual ao integral de sete 𝜋 sobre seis a 11𝜋 sobre seis de um meio multiplicado por um mais dois sen 𝜃 ao quadrado d𝜃. Podemos distribuir o quadrado e multiplicar por um meio. O que dá o integral de sete 𝜋 sobre seis a 11𝜋 sobre seis de um meio mais dois sen 𝜃 mais dois sen ao quadrado 𝜃 d𝜃.

Agora, sabemos como integrar cada um destes termos além do termo sen ao quadrado. No entanto, podemos reescrever o termo sen ao quadrado do sen utilizando a fórmula do dobro de um ângulo para cos. Temos que cos de dois 𝜃 é igual a um menos dois sen ao quadrado 𝜃. Isso pode ser reorganizado para isolar sen ao quadrado 𝜃. O que indica que o quadrado de sen 𝜃 é igual a menos cos de dois 𝜃 tudo sobre dois. E isto pode ser substituído novamente no nosso integral. E podemos anular o fator de dois com o fator de dois no denominador. Deixando-nos o integral de sete 𝜋 sobre seis a 11𝜋 sobre seis de um meio mais dois sen 𝜃 mais um menos cos de dois 𝜃 d𝜃. E podemos agrupar um e um meio. Então, o nosso integrando acaba por ficar assim. Agora, estamos prontos para integrar.

Integrando o primeiro termo, três sobre dois, obtemos apenas três 𝜃 sobre dois. Quando integramos o segundo termo de dois sen 𝜃, obtemos menos dois cos 𝜃. E para o nosso termo final de menos cos 𝜃, obtemos menos um meio sen de dois 𝜃. E não devemos esquecer que isto está entre os limites de sete 𝜋 sobre seis e 11𝜋 sobre seis. Agora, começamos por substituir 11𝜋 ​​sobre seis, dando-nos 11𝜋 sobre quatro menos dois cos de 11𝜋 sobre seis menos um meio sen de 11𝜋 sobre três. Em seguida, substituímos sete 𝜋 sobre seis. Mas não se esqueça de subtrair isto, já que sete 𝜋 sobre seis é o limite inferior. Dando-nos menos sete 𝜋 sobre quatro menos dois cos de sete 𝜋 sobre seis menos um meio sen de sete 𝜋 sobre três.

Em seguida, utilizamos o facto de que cos de 11𝜋 sobre seis é igual à raiz de três sobre dois. O sen de 11𝜋 sobre três é igual a menos raiz de três sobre dois. Cos de sete 𝜋 sobre seis é igual à raiz negativa de três sobre dois. E sen de sete 𝜋 sobre três é igual à raiz de três sobre dois. Agora podemos multiplicar todos os termos. E terminamos com 11𝜋 sobre quatro menos sete 𝜋 sobre quatro menos raiz de três mais raiz de três sobre quatro menos raiz de três mais raiz de três sobre quatro. Combinando estes termos, chegamos à nossa solução. O que significa que a área da região limitada pelo loop interno de 𝑟 é igual a um mais dois sen 𝜃 igual a 𝜋 menos três raiz de três sobre dois.

A seguir, aprenderemos como determinar a área limitada por duas curvas polares. Vamos considerar o seguinte cenário.

Digamos que nos deram duas curvas polares 𝑟 um e 𝑟 dois e fomos solicitados determinar a região limitada por 𝑟 um e 𝑟 dois entre 𝜃 um e 𝜃 dois. Então, é esta região sombreada aqui.

Podemos determinar uma fórmula para esta área aplicando as fórmulas que já conhecemos para determinar áreas de regiões limitadas por curvas polares. Sabemos que podemos determinar a área limitada por 𝑟 dois, 𝜃 um e 𝜃 dois, que é esta área aqui. E é igual à integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de um meio 𝑟 dois ao quadrado d𝜃. Também sabemos como determinar a área limitada por 𝑟 um, 𝜃 um e 𝜃 dois, que é esta área aqui. Sabemos que é igual ao integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de 𝑟 um ao quadrado d𝜃. Agora, podemos ver que esta área amarela, que estamos a tentar determinar, deve ser igual à área limitada por 𝑟 um entre 𝜃 um e 𝜃 dois menos a área limitada por 𝑟 dois entre 𝜃 um e 𝜃 dois. Portanto, este é o integral entre 𝜃 um e 𝜃 dois de um meio 𝑟 um quadrado d𝜃 menos este integral entre 𝜃 um e 𝜃 dois de um meio 𝑟 dois ao quadrado d𝜃.

Utilizando propriedades dos integrais, somos capazes de combinar estes integrais, pois estes têm os mesmos limites, para dar o integral entre 𝜃 um e 𝜃 dois de um meio 𝑟 um ao quadrado menos um meio 𝑟 dois ao quadrado d𝜃. Podemos colocar para fora um meio para formar a nossa fórmula final. Que é a área entre duas curvas 𝑟 um e 𝑟 dois entre 𝜃 um e 𝜃 dois é igual ao integral entre 𝜃 um e 𝜃 dois de um meio 𝑟 um ao quadrado menos 𝑟 dois ao quadrado d𝜃. Observe que isto só funciona quando 𝑟 um é maior ou igual a 𝑟 dois para valores de 𝜃 entre 𝜃 um e 𝜃 dois.

Agora que formámos esta nova fórmula, vejamos um exemplo de como esta funciona.

Determine a área da região que fica dentro da curva polar 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃, mas fora da curva polar 𝑟 igual a dois.

Para determinar as regiões que estão fora de 𝑟 igual a dois, mas dentro de 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃, precisamos de determinar os pontos de interseção das duas curvas. Portanto, podemos começar por fazer isto. Precisamos de resolver 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃 e 𝑟 igual a dois, simultaneamente. Podemos substituir 𝑟 igual a dois na primeira equação. Isso dar-nos-á que quatro é igual a oito cos de dois 𝜃. Terminamos com cos de dois 𝜃 é igual a um meio. Agora, estamos à procura das soluções para as quais 𝜃 está entre zero e dois 𝜋. Portanto, estas serão as soluções para as quais dois 𝜃 está entre zero e quatro 𝜋. Estas soluções dentro deste intervalo são dois 𝜃 igual a 𝜋 sobre três, cinco 𝜋 sobre três, sete 𝜋 sobre três ou 11𝜋 sobre três. E assim, descobrimos que os nossos pontos de interseção são 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis, cinco 𝜋 sobre seis, sete 𝜋 sobre seis e 11𝜋 sobre seis.

Vamos agora desenhar um esboço de 𝑟 igual a dois. Este será simplesmente um círculo com um raio de dois. Em seguida, podemos marcar os nossos pontos onde as duas curvas se intersetam. O primeiro ponto é 𝜋 sobre três. O segundo é em cinco 𝜋 sobre três. O terceiro é em sete 𝜋 sobre três. E o quarto ponto de interseção é 11𝜋 sobre três. Agora, podemos tentar esboçar a curva de 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃. Podemos fazer isso reescrevendo a curva como 𝑟 igual à raiz quadrada de oito cos de dois 𝜃. Em seguida, podemos determinar alguns pontos na curva inserindo alguns valores de 𝜃.

Temos que em 𝜃 é igual a zero, cos de zero é igual a um. Portanto, 𝑟 é igual à raiz quadrada de oito, que também é igual a dois raiz de dois. Em 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois, temos cos de dois 𝜃 igual a cos de 𝜋 e cos de 𝜋 igual a zero. Portanto, em 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois, 𝑟 é igual a zero. Continuando isto, em 𝜃 igual a 𝜋, temos que 𝑟 é igual a dois raiz de dois. E em 𝜃 igual a três 𝜋 sobre dois, 𝑟 é igual a zero. E podemos adicionar estes pontos ao nosso gráfico. Agora temos sete pontos da nossa curva desenhados no nosso gráfico. E assim, podemos desenhar um esboço de como deve ser. Como podemos ver, parece uma figura de oito.

Agora, este esboço realmente ajuda-nos a determinar as regiões nas quais estamos a tentar determinar as suas áreas. Portanto, são as regiões que ficam fora da curva 𝑟 igual a dois, mas dentro da nossa curva de 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃. De facto, existem duas regiões nas quais estamos interessados, quais são estas duas regiões aqui. Temos uma fórmula para determinar a área de regiões entre duas curvas polares. E esta fórmula diz-nos que a área é igual ao integral entre 𝜃 um e 𝜃 dois de um meio 𝑟 um quadrado menos 𝑟 dois quadrados d𝜃. Para as regiões com as quais estamos preocupados, 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃 é maior ou igual a 𝑟 igual a dois. Portanto, 𝑟 um quadrado é igual a oito cos de dois 𝜃 e 𝑟 dois é igual a dois.

Podemos começar por considerar a área à esquerda do nosso diagrama. Isso será igual ao integral de cinco 𝜋 sobre seis a sete 𝜋 sobre seis de um meio de oito cos de dois 𝜃 menos quatro d𝜃. Em seguida, vamos considerar a área da região à direita do nosso gráfico. Esta região está entre os ângulos de 11𝜋 sobre seis e 𝜋 sobre seis. No entanto, se integrássemos entre 11𝜋 sobre seis e 𝜋 sobre seis, estaríamos a saltar de um ângulo de dois 𝜋 para um ângulo de zero. O que aconteceria quando intersetamos o eixo horizontal. E, claro, não podemos fazer isso. Em vez disso, podemos mudar o ângulo de 11𝜋 sobre seis para menos 𝜋 por seis. Uma vez que, no nosso gráfico, menos 𝜋 sobre seis é igual a 11𝜋 sobre seis.

Obtivemos que a área à direita é igual ao integral de menos 𝜋 sobre seis a 𝜋 sobre seis de um meio de oito cos de dois 𝜃 menos quatro d𝜃. Podemos simplificar estes dois integrandos. E agora, estamos prontos para integrar. Temos que o integral de quatro cos de dois 𝜃 menos dois é dois sen de dois 𝜃 menos dois 𝜃. Em seguida, substituímos os nossos limites superior e inferior. Agora, podemos utilizar que sen de sete 𝜋 sobre três e o sen de 𝜋 sobre três é raiz de três sobre dois. E este sen de cinco 𝜋 sobre três e o sen menos 𝜋 sobre três são ambos menos raiz de três sobre dois. Em seguida, podemos expandir tudo aqui. E, em seguida, para a nossa etapa final, simplificamos. O que nos dá uma solução de que a área da região que fica dentro de 𝑟 ao quadrado igual a oito cos de dois 𝜃, mas fora de 𝑟 igual a dois é quatro raiz de três menos quatro 𝜋 sobre três.

Vimos agora uma variedade de exemplos e técnicas que podemos utilizar para determinar as áreas limitadas por curvas polares. Vamos abordar alguns pontos principais do vídeo.

Pontos Chave

A área delimitada pela curva polar 𝑟 é igual a 𝑓 de 𝜃, 𝜃 um e 𝜃 dois é dada pelo integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de um meio 𝑟 ao quadrado d𝜃. A área delimitada por duas curvas polares 𝑟 um que é igual a 𝑓 de 𝜃 e 𝑟 dois que é igual a 𝑔 de 𝜃, 𝜃 um e 𝜃 dois. Onde 𝑟 um é maior ou igual a 𝑟 dois para 𝜃 entre 𝜃 um e 𝜃 dois. É dado pelo integral de 𝜃 um a 𝜃 dois de um meio de 𝑟 um quadrado menos 𝑟 dois ao quadrado d𝜃.