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Se as raízes da equação 24𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais 𝑘 igual a zero não forem
reais, encontre o intervalo que contém 𝑘.
Então nos disseram que as raízes dessa equação quadrática, em que 𝑘 é o termo
constante, não são reais. Precisamos lembrar a relação que existe entre os coeficientes de uma equação
quadrática e o tipo de raízes que ela possui.
Suponha que temos a equação quadrática geral 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 é
igual a zero. O discriminante de uma equação quadrática é a quantidade 𝑏 ao quadrado menos quatro
𝑎𝑐. O valor ou, mais especificamente, o sinal do discriminante é o que determina o tipo
de raízes que a equação quadrática terá.
Se o discriminante for estritamente positivo, a equação quadrática terá duas raízes
reais e distintas. Se o valor do discriminante for igual a zero, a equação quadrática terá apenas uma
raiz real repetida. Se o valor do discriminante for menor que zero, então a equação quadrática não tem
raízes reais, que é a situação que nos é dada nesta questão.
Sabemos então que o discriminante dessa quadrática deve ser menor que zero. Vamos descobrir o que o discriminante é igual em termos de 𝑘. Comparando os coeficientes em nossa forma quadrática com a forma geral, vemos que 𝑎
é igual a 24, 𝑏 é igual a seis e 𝑐 é igual a 𝑘.
Portanto, o discriminante 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 é igual a seis ao quadrado
menos quatro multiplicado por 24 multiplicado por 𝑘. Isso simplifica para 36 menos 96 𝑘. Lembre-se, as raízes dessa equação quadrática não são reais. E assim o valor do discriminante é menor que zero. Portanto, temos a inequação 36 menos 96 𝑘 é menor que zero.
Para encontrar o intervalo que contém 𝑘, precisamos resolver essa inequação para
𝑘. O primeiro passo é subtrair 36 de cada lado. Isto dá menos 96 𝑘 é menor que menos 36. Em seguida, precisamos dividir ambos os lados da inequação por menos 96.
Precisamos ter muito cuidado aqui. Lembre-se, quando dividimos uma inequação por um número negativo, precisamos inverter
a direção da desigualdade. Portanto, o sinal menor que se torna um sinal maior que. E agora temos que 𝑘 é maior que menos 36 sobre menos 96. O menos no numerador e o menos no denominador se cancelam. E a fração simplifica para três sobre oito, dividindo o numerador e o denominador por
12.
Temos então que 𝑘 é maior que três sobre oito. A questão não nos pede para dar nossa resposta como uma inequação. Ela nos pede para dar o intervalo que contém 𝑘. Se 𝑘 deve ser maior que três sobre oito, então o conjunto de valores possíveis de 𝑘
é tudo, de três sobre oito ao infinito.
Como a extremidade inferior do intervalo é uma inequação estrita e a extremidade
superior é infinito, podemos expressar isso como um intervalo aberto, que é o que os
colchetes voltados para fora indicam. 𝑘 pertence ao intervalo aberto com extremidades três sobre oito e infinito.
