Vídeo: Encontrando a Primeira Derivada de uma Função Definida Implicitamente Utilizando Derivação Implícita

Dado que 4𝑥² − 5𝑥 + 8𝑦² − 3𝑦 = 1, encontre 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

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Transcrição do vídeo

Dado que quatro 𝑥 ao quadrado menos cinco 𝑥 mais oito 𝑦 ao quadrado menos três 𝑦 é igual a um, encontre 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥.

Poderíamos tentar reorganizar essa equação de modo que tivéssemos 𝑦 em termos de 𝑥 e depois derivasse da maneira normal. Isso é complicado, porque não só temos o termo menos três 𝑦, mas também oito 𝑦 ao quadrado. E assim nós temos uma quadrática em 𝑦. É possível resolver essa quadrática e encontrar 𝑦 em termos de 𝑥 e depois derivar. Mas há uma maneira melhor.

Como esta equação é uma relação entre as variáveis ​​𝑥 e 𝑦, podemos derivar ambos os lados em relação a 𝑥. Podemos derivar o lado esquerdo termo por termo, usando o fato de que a derivada em relação a 𝑥 de 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 é 𝑎 vezes 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Nós achamos que nossa primeira derivada é oito 𝑥.

Da mesma forma, 𝑑 por 𝑑𝑥 de cinco 𝑥 é cinco. Este termo é um pouco mais difícil de derivar. Como você encontra 𝑑 por 𝑑𝑥 de uma função de 𝑦? Aqui, podemos usar a regra da cadeia: 𝑑𝑓 por 𝑑𝑥 é 𝑑𝑓 por 𝑑𝑦 vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. E assim, usando apenas uma notação ligeiramente diferente aqui, vemos que para diferenciar uma função de 𝑦 em relação a 𝑥, diferenciamos essa função de 𝑦 em relação a 𝑦 e então apenas multiplicamos por 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥.

Então, quanto é 𝑑 por 𝑑𝑥 de oito 𝑦 ao quadrado? Nós derivamos oito 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑦 e obtemos 16𝑦 e então multiplicamos por 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. Da mesma forma, para 𝑑 por 𝑑𝑥 de três 𝑦, você deriva três 𝑦 em relação a 𝑦 para obter três e depois multiplica por 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. O lado direito é mais simples. Portanto, a derivada de um em relação a 𝑥 é apenas zero.

Agora temos uma equação em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 e podemos reorganizar essa equação para fazer 𝑑𝑦 ​​por 𝑑𝑥 o sujeito — isto é, podemos escrever 𝑑𝑦 ​​por 𝑑𝑥 em termos de 𝑥 e 𝑦. A primeira coisa a fazer aqui é fatorar 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 nos dois termos em que aparece. Então, podemos subtrair oito 𝑥 menos cinco de ambos os lados e então temos alguma coisa vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 à esquerda. E dividindo-se por essa coisa, percebemos que 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é menos oito 𝑥 mais cinco sobre 16𝑦 menos três.

Esta é nossa resposta final. Note que está escrito em termos de 𝑥 e 𝑦. Você pode se sentir um pouco desconfortável com isso se estiver acostumado a escrever 𝑑𝑦 ​​por 𝑑𝑥 apenas em termos de 𝑥. Mas para escrever 𝑑𝑦 ​​por 𝑑𝑥 apenas em termos de 𝑥, teríamos que escrever 𝑦 em termos de 𝑥. E como discutimos no início do vídeo, isso é um pouco complicado. E não apenas isso, provavelmente descobriríamos que a expressão para 𝑦 em termos de 𝑥 é bem feia. E então teríamos uma expressão feia para 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥.

Portanto, para essa pergunta e para perguntas que envolvem derivação implícita de modo mais geral, ou seja, quando você deriva os dois lados em relação a uma variável, é melhor deixar a resposta em termos de 𝑥 e 𝑦.

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