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Neste vídeo, aprenderemos como identificar as características de funções quadráticas, como vértice, zeros, eixo de simetria, domínio e imagem. Veremos como podemos determinar esses recursos graficamente e a partir da equação da função. Você já deve estar familiarizado com o processo de completar o quadrado ou escrever uma quadrática na forma de completar o quadrado, embora isso seja brevemente recapitulado no contexto de exemplos.
Lembramos em primeiro lugar que uma função quadrática é da forma geral 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes e 𝑎 deve ser diferente de zero. Uma forma alternativa na qual as funções quadráticas podem ser representadas é a forma de completar o quadrado ou na forma canônica. 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicado por 𝑥 mais 𝑝 tudo ao quadrado mais 𝑞, onde 𝑎, 𝑝 e 𝑞 são constantes e novamente 𝑎 deve ser diferente de zero.
Se traçarmos um gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 para uma função quadrática, descobriremos que todas as funções quadráticas compartilham a mesma forma geral, que é conhecida como parábola. A primeira distinção que podemos fazer está no tipo de parábola, e isso é determinado pelo sinal do coeficiente de 𝑥 ao quadrado. Esse é o valor de 𝑎. Se 𝑎 for positivo, a parábola será curvada para cima como no diagrama à esquerda, enquanto se 𝑎 for negativo, a parábola se curvará para baixo como no diagrama à direita. Esta é a primeira coisa a procurar ao determinar a forma do gráfico de uma função quadrática.
Vamos pensar em algumas das outras características gerais das funções quadráticas que precisamos conhecer. E faremos isso considerando o gráfico de uma quadrática simples. 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos três. A primeira coisa que podemos determinar sobre este gráfico é sua interceptação 𝑦. Lembramos que em todos os lugares do eixo 𝑦, 𝑥 é igual a zero. Então, substituindo zero na equação de 𝑓 de 𝑥, encontramos o valor de 𝑦 quando 𝑥 igual a zero é menos três.
Agora, este é o termo constante em nossa função quadrática, e esse será sempre o caso. Então, em geral, se tivermos uma quadrática 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐, o valor de sua interceptação 𝑦 será 𝑐.
A segunda característica chave de uma função quadrática são suas raízes ou zeros. Agora, esses são os valores 𝑥 nos quais o gráfico cruza o eixo 𝑥. Sabemos que em todos os lugares no eixo 𝑥, 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 é igual a zero. Então, essas são as soluções para a equação 𝑓 de 𝑥 igual a zero.
Podemos encontrar esses valores considerando a forma fatorada de nossa função quadrática. Nesse caso, nossa quadrática pode ser fatorada como 𝑥 mais três multiplicado por 𝑥 menos um. E então pegamos cada um desses fatores por vez, os definimos como iguais a zero e resolvemos as equações lineares resultantes, dando 𝑥 igual a menos três e 𝑥 igual a um.
Agora temos informações suficientes para esboçar essa quadrática com razoável precisão. O coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um, então é positivo, o que significa que a parábola está voltada para cima. Temos um 𝑦 interceptado de menos três e 𝑥 interceptado de menos três e um.
A próxima característica chave que queremos considerar é o vértice ou ponto de inflexão de nossa quadrática. Agora, esse ponto de inflexão será mínimo quando o valor de 𝑎 for positivo e será máximo quando o valor de 𝑎 for negativo. No nosso caso, é um ponto mínimo. São as coordenadas deste ponto aqui. Para encontrar as coordenadas deste ponto, consideramos a forma canônica da nossa quadrática, que neste caso é 𝑥 mais um tudo ao quadrado menos quatro. Vamos revisar como fazer isso em alguns exemplos.
Agora, precisamos lembrar um resultado geral aqui, que é que para a quadrática em sua forma canônica geral 𝑎𝑥 mais 𝑝 tudo ao quadrado mais 𝑞, seu vértice estará no ponto menos 𝑝, 𝑞. O que significa que, para a nossa quadrática, seu vértice estará no ponto menos um, menos quatro. O que faz sentido quando consideramos a posição desse ponto em relação aos valores que marcamos em nossos eixos.
Então esses são os três principais recursos de nossas funções quadráticas. Vamos agora considerar um pouco mais.
Uma parábola é uma curva lisa e simétrica, o que significa que todo gráfico quadrático tem um eixo ou linha de simetria. Esta será uma linha vertical que passa pelo vértice da nossa função. As retas verticais têm equações da forma 𝑥 igual a constante. E o valor de 𝑥 através do qual esta reta passa é a coordenada 𝑥 do vértice. Então a equação do eixo de simetria para essa quadrática será 𝑥 igual a menos um.
Os dois recursos restantes que precisamos considerar são o domínio e a imagem de nossa quadrática. Agora, lembramos em primeiro lugar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores nos quais a função atua, que também podemos pensar como os valores de entrada para a função. Uma quadrática é apenas um tipo de polinômio e todos os polinômios podem atuar em todos os valores de 𝑥. Isso significa que não há restrições aos valores de 𝑥 nos quais a função pode atuar. Então, dizemos que o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Finalmente, consideramos a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que a função produz. Ou, no caso de um gráfico, podemos pensar nela como todos os valores de 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦. Em nosso gráfico, podemos ver que todos os valores de 𝑦 possíveis da função são os valores de 𝑦 do ponto mínimo para cima. São todos os valores de 𝑦 maiores ou iguais a menos quatro. Podemos expressar a imagem como 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a menos quatro. Ou podemos escrever isso usando a notação de intervalo como o intervalo de menos quatro a ∞, que é fechado na extremidade inferior e aberto na extremidade superior.
Agora que vimos como identificar as principais características das funções quadráticas, vamos considerar alguns exemplos.
Encontre as coordenadas do vértice do gráfico 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 mais sete. Indique o valor da função no vértice e determine se é um valor mínimo ou máximo.
Para encontrar as coordenadas do vértice deste gráfico, precisamos converter sua equação para a forma canônica. 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicado por 𝑥 mais 𝑝 tudo ao quadrado mais 𝑞. Agora, olhando para a equação deste gráfico, vemos que o valor de 𝑎, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, é um. Então, na verdade, estamos procurando por essa quadrática na forma 𝑥 mais 𝑝 tudo ao quadrado mais 𝑞, o que podemos fazer completando o quadrado.
Em primeiro lugar, determinamos o valor de 𝑝 dentro dos parênteses. E isso é sempre metade do coeficiente de 𝑥 na equação. Metade de oito é quatro, então temos 𝑥 mais quatro todos ao quadrado. Agora, queremos que essa primeira parte de nossa função quadrática seja equivalente a 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥. Mas sabemos que se distribuíssemos 𝑥 mais quatro todos ao quadrado, daria 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 mais 16. Portanto, temos um 16 extra que precisamos subtrair para garantir que essas duas partes da quadrática sejam equivalentes.
𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 é, portanto, equivalente a 𝑥 mais quatro todos ao quadrado menos 16. E então nós também temos o sete positivo, que permanece o mesmo. Esse valor de 16 que estamos subtraindo é quatro ao quadrado. É o quadrado do nosso valor 𝑝. Então só precisamos simplificar. Menos 16 mais sete são menos nove. Então agora temos nossa quadrática em sua forma canônica.
Lembramos então que, para uma quadrática em sua forma canônica, seu vértice terá as coordenadas menos 𝑝, 𝑞. Para a nossa quadrática, o valor de 𝑝 é quatro e o valor de 𝑞 é menos nove. Então as coordenadas do vértice serão menos 𝑝, isso é menos quatro, 𝑞, que é menos nove. Então encontramos as coordenadas do vértice deste gráfico.
A questão também nos pede para declarar o valor da função no vértice. O valor da função será a coordenada 𝑦, portanto, o valor é menos nove.
Finalmente, fomos solicitados a determinar se esse é um valor mínimo ou máximo. Bem, isso é determinado pelo coeficiente de 𝑥 ao quadrado, o valor de 𝑎, que em nossa equação é um. Como 𝑎 é positivo, a parábola está voltada para cima, o que significa que o vértice será mínimo.
Então, nós completamos o problema. As coordenadas do vértice são menos quatro e menos nove. O valor da própria função é menos nove. E esse é um valor mínimo.
Em nosso próximo exemplo, veremos como determinar o domínio e a imagem de uma função quadrática dada em sua forma canônica.
Determine o domínio e a imagem da função 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro multiplicado por 𝑥 menos quatro tudo ao quadrado menos três.
Em primeiro lugar, lembramos que o domínio é o conjunto de todos os valores nos quais a função atua, que também podemos pensar como o conjunto de valores de entrada para a função. Como a função 𝑓 de 𝑥 é um polinômio e, mais especificamente, uma quadrática, não há restrições sobre quais valores ela pode atuar. Portanto, dizemos que o domínio dessa função é o conjunto de todos os números reais.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função produz, que podemos pensar como o conjunto de todos os valores de saída. Para determinar a imagem de uma função quadrática, podemos considerar seu ponto de inflexão. Agora, essa função quadrática nos foi dada em sua forma de completar quadrado ou canônica. 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicado por 𝑥 mais 𝑝 tudo ao quadrado mais 𝑞. E sabemos que quando uma função quadrática é dada nesta forma, seu vértice tem as coordenadas menos 𝑝, 𝑞. O valor de 𝑝 para a nossa quadrática é menos quatro e o valor de 𝑞 é menos três. Então o vértice estará em menos menos quatro, que é quatro, menos três.
Como o valor de 𝑎, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado em nossa função quadrática, é quatro, que é positivo, sabemos que seu gráfico será uma parábola que se curva para cima. Então esse vértice de quatro, menos três, será um ponto mínimo. Os valores possíveis de 𝑓 de 𝑥 serão todos os valores desse valor mínimo da função menos três para cima.
Podemos expressar isso como 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a menos três ou usando a notação de intervalo como o intervalo de menos três a ∞, que é fechado na extremidade inferior e aberto na extremidade superior. Podemos responder ao problema dizendo que o domínio dessa função é o conjunto de todos os números reais e a imagem é o intervalo de menos três a ∞, que é fechado na extremidade inferior e aberto na extremidade superior.
Neste exemplo, veremos como podemos usar as principais características de uma função quadrática para identificar seu gráfico.
Para a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais três, responda às seguintes perguntas. Em primeiro lugar, encontre fatorando, os zeros da função. Em segundo lugar, identifique o gráfico de 𝑓.
Há também mais duas partes nessa questão. Então, primeiro, somos solicitados a encontrar os zeros dessa função. E o método que nos dizem para usar é a fatoração. Portanto, precisamos escrever nossa quadrática como o produto de dois fatores lineares. Como o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um, sabemos que o primeiro termo em cada um dos parênteses será 𝑥. Estamos procurando por dois números cuja soma seja o coeficiente de 𝑥, ou seja, menos quatro, e cujo produto seja o termo constante, que é três positivo.
Bem, os dois números que se encaixam nesses dois critérios são menos um e menos três. Menos um mais menos três são menos quatro e menos um multiplicado por menos três são três positivo. Portanto, nossos fatores quadráticos são 𝑥 menos um multiplicado por 𝑥 menos três, o que podemos, é claro, confirmar redistribuindo os parênteses, se quisermos.
Precisamos usar essa forma fatorada para determinar os zeros da função, que lembramos são os valores de 𝑥 tais que 𝑓 de 𝑥 é igual a zero. Se definirmos essa forma fatorada igual a zero, lembraremos que, para que o produto de duas coisas seja zero, pelo menos uma delas deve ser zero. Portanto, podemos pegar cada fator separadamente e defini-lo como igual a zero, dando duas equações lineares simples. A primeira pode ser resolvida adicionando um a cada lado para dar 𝑥 igual a um, e a segunda pode ser resolvida adicionando três a cada lado para dar 𝑥 igual a três. As raízes ou zeros dessa função são os valores um e três.
Agora, na segunda parte da pergunta, somos solicitados a identificar o gráfico de nossa função 𝑓. E podemos ver que nos deram três possibilidades: uma azul, uma vermelha e uma verde. Agora, acabamos de descobrir que nosso gráfico tem zeros em um e três. E lembre-se, esses zeros são os valores de 𝑥 nos quais o gráfico cruza o eixo 𝑥. Portanto, se o nosso gráfico cruzar o eixo 𝑥 em um e três, podemos ver na figura que isso deixa apenas os gráficos em vermelho e verde. O gráfico azul cruza o eixo 𝑥 ou tem zeros em valores de menos um e menos três.
Agora, só precisamos decidir entre os gráficos em vermelho e verde, que vemos que são imagens espelhadas um do outro. Uma é uma parábola com curva para cima e a outra é uma parábola com curva para baixo. Lembramos que o tipo de parábola que temos será determinado pelo valor de 𝑎. Esse é o coeficiente de 𝑥 ao quadrado. Em nossa função, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um. É um valor positivo, o que significa que a parábola se curvará para cima. Isso significa que o gráfico de nossa função 𝑓 deve ser o gráfico vermelho. Tem os zeros corretos e a forma correta. Também podemos ver que o 𝑦 interceptado deste gráfico é três, que é de fato o termo constante em nossa função 𝑓 de 𝑥.
As duas partes restantes da pergunta, que eu não anotei inicialmente porque revelam o jogo da parte anterior. Escreva a equação para 𝑔, a função que descreve o gráfico azul. E escreva a equação para ℎ, a função que descreve o gráfico verde.
Vamos ver este gráfico azul primeiro. Já dissemos que tem zeros em menos um e menos três. Isso significa que, em sua forma fatorada, ele tem fatores de 𝑥 mais um e 𝑥 mais três. Mas também pode haver um fator de 𝑎 pelo qual multiplicamos. Para determinar se o valor de 𝑎 é um ou outra coisa, consideramos a interseção 𝑦 do gráfico, que podemos ver é o mesmo que a interceptação 𝑦 do gráfico em vermelho. São três. Quando multiplicamos esses dois fatores, o termo constante será um multiplicado por três, que é de fato três. E então isso nos diz que o valor de 𝑎 é simplesmente um. Nossa função 𝑔 em sua forma fatorada é 𝑥 mais um multiplicado por 𝑥 mais três. Se distribuirmos os parênteses, temos 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais três.
Para o gráfico verde, ele tem os mesmos zeros que nossa função 𝑓. Portanto, pode ser escrito como 𝑎 multiplicado por 𝑥 menos um multiplicado por 𝑥 menos três. E, novamente, precisamos determinar se o valor de 𝑎 é um ou outra coisa. Bem, o 𝑦 interceptado para o gráfico verde é menos três. Se multiplicarmos menos um e menos três, obtemos um valor positivo de três. E assim, para garantir que o 𝑦 interceptado, o termo constante na forma expandida de ℎ de 𝑥, seja menos três, precisamos que o valor de 𝑎 seja menos um.
A equação ℎ de 𝑥 é então menos 𝑥 menos um multiplicado por 𝑥 menos três. Na verdade, é o negativo completo de nossa função 𝑓 de 𝑥, que também podemos ver porque são reflexos um do outro no eixo 𝑥. Podemos escrever a equação ℎ de 𝑥 então como o negativo completo de nossa função 𝑓 de 𝑥. ℎ de 𝑥 é igual a menos 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais três.
Vamos agora resumir alguns dos principais pontos deste vídeo. Funções quadráticas podem ser expressas em sua forma expandida, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. Ou o quadrado completo ou a forma de vértice, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicado por 𝑥 mais 𝑝 todos ao quadrado mais 𝑞, onde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝 e 𝑞 são constantes e 𝑎 não deve ser igual a zero. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. E se 𝑎 for positivo, a parábola se abrirá para cima, enquanto se 𝑎 for negativo, a parábola está voltada para baixo.
O ponto de virada ou vértice de uma quadrática pode ser encontrado a partir de seu quadrado completo ou canônica. E no caso geral, o vértice terá coordenadas menos 𝑝, 𝑞. A parábola também terá um eixo de simetria, que é uma reta vertical que passa por esse ponto, com a equação 𝑥 igual a menos 𝑝.
O domínio de qualquer função quadrática é o conjunto de todos os números reais, a menos que seja especificado de outra forma. E a imagem pode ser encontrada no gráfico ou na forma de completar quadrado. Quando 𝑎 é positivo, a imagem será 𝑓 de 𝑥 é maior ou igual a 𝑞. E quando 𝑎 é negativo, a imagem será 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a 𝑞.
Neste vídeo, então, vimos como podemos usar o gráfico ou a equação de uma função quadrática para determinar essas características principais.
