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Nesta aula, aprenderemos como escrever uma equação do segundo grau, dadas as raízes de outra equação do segundo grau. Vamos começar por recordar a relação entre as raízes de uma quadrática e os coeficientes dos seus termos.
Para uma equação do segundo grau da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero, pela fórmula resolvente, suas soluções, e como as suas raízes são 𝑟 um e 𝑟 dois, são 𝑟 um igual a menos 𝑏 mais a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. E 𝑟 dois é igual a menos 𝑏 menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. Agora vamos determinar a soma e o produto destas raízes gerais.
A soma é 𝑟 um mais 𝑟 dois. A expressão da soma é apresentada. Mas é claro, podemos dividir a primeira fração em menos 𝑏 sobre dois 𝑎 mais a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. E a seguir, podemos dividir a segunda fração em menos 𝑏 sobre dois 𝑎 menos a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre dois 𝑎. E agora, vemos que o segundo termo e o quarto termo somam para formar zero; essencialmente, anulam-se. E assim, temos menos 𝑏 sobre dois 𝑎 mais menos 𝑏 sobre dois 𝑎, que é menos dois 𝑏 sobre dois 𝑎. Finalmente, podemos anular dividindo o numerador e o denominador da nossa fração por dois, deixando-nos com menos 𝑏 sobre 𝑎. Então, a soma das nossas raízes é menos 𝑏 sobre 𝑎. Por outras palavras, é o simétrico do coeficiente de 𝑥 sobre o coeficiente de 𝑥 ao quadrado.
Agora vamos repetir este processo para determinar o produto. O produto significa multiplicar, então estamos a fazer 𝑟 um vezes 𝑟 dois. Mais uma vez, dividimos a primeira fração e depois dividimos a segunda fração. E agora vamos distribuir multiplicando os primeiros termos, os termos externos, os termos internos e os últimos termos. Multiplicar os primeiros termos dá-nos 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Em seguida, multiplicar os termos externos e internos dá-nos as versões positiva e negativa de 𝑏 vezes a raiz quadrada de 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 tudo sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Agora, é claro, a sua soma é zero. Portanto, estes termos serão na verdade anulados.
Então, quando multiplicamos os últimos termos, obtemos menos 𝑏 ao quadrado menos quatro 𝑎𝑐 sobre quatro 𝑎 ao quadrado. Agora vamos dividir esta segunda fração, lembrando, é claro, que como vamos subtrair menos quatro 𝑎𝑐 sobre quatro 𝑎 ao quadrado, é o mesmo que adicioná-la. E assim devemos ver agora que 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado sobre quatro 𝑎 ao quadrado é zero. Da mesma forma, podemos dividir por um 𝑎 e por quatro nesta fração final, e isto deixa-nos simplesmente com 𝑐 sobre 𝑎. E podemos, portanto, dizer que o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o termo constante dividido pelo coeficiente de 𝑥 ao quadrado.
Agora, embora isto possa não parecer um resultado extremamente útil, se voltarmos à nossa equação original 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero e dividir por 𝑎 - temos permissão para fazer isto, é claro, porque 𝑎 não vai ser igual a zero - vemos que a nossa equação do segundo grau se torna 𝑥 ao quadrado mais 𝑏 sobre 𝑎𝑥 mais 𝑐 sobre 𝑎 igual a zero. E agora, devemos ver que estes se relacionam com os nossos resultados anteriores. Menos 𝑏 sobre 𝑎 é o mesmo que o coeficiente negativo de 𝑥 e 𝑐 sobre 𝑎 é o termo constante. E assim, agora podemos dizer que uma equação do segundo grau cujo coeficiente inicial é um pode ser escrita como 𝑥 ao quadrado menos a soma das raízes vezes 𝑥 mais o produto das raízes igual a zero.
Então, vamos dar uma olhadela num exemplo de como podemos aplicar estes resultados.
Dado que 𝐿 mais três e 𝑚 mais três são as raízes da equação 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 mais 12 igual a zero, determine, na sua forma mais simples, a equação do segundo grau cujas raízes são 𝐿 e 𝑚.
Vamos começar por recordar a relação entre uma equação do segundo grau cujo coeficiente inicial é um e as suas raízes. Podemos escrever a equação na forma 𝑥 ao quadrado menos a soma das raízes vezes 𝑥 mais o produto das raízes igual a zero. E assim, se considerarmos a nossa equação 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 mais 12 igual a zero, a soma das raízes deve ser menos oito. Agora, a razão pela qual é menos oito e não mais oito é porque, na forma geral, o coeficiente de 𝑥 é a soma negativa das raízes e, no nosso exemplo, o coeficiente é positivo. Também podemos dizer que o produto, que é o termo constante, deve ser igual a 12.
E muitas vezes procuraremos substituir as raízes pelas raízes dadas na questão. Então, aqui as raízes são 𝐿 mais três e 𝑚 mais três. Mas, na verdade, somos capazes de calcular dois números que têm uma soma de menos oito e um produto de 12. Dois números que satisfazem este resultado são menos seis e menos dois, e isto acontece porque menos um vezes menos um é mais um. Portanto, menos seis vezes menos dois é mais 12. Mas também, menos seis mais menos dois é menos oito. E assim, definindo as nossas raízes como 𝑟 um e 𝑟 dois, vemos que são iguais a menos seis e menos dois.
Mas é claro, disseram-nos que as raízes desta equação são 𝐿 mais três e 𝑚 mais três. Portanto, podemos formar duas equações, uma em 𝐿 e uma em 𝑚. A primeira equação é 𝐿 mais três igual a menos seis, e a segunda é 𝑚 mais três igual a menos dois. Resolveremos ambas as equações para as suas respetivas variáveis subtraindo três de ambos os membros. Menos seis menos três é menos nove. Então, 𝐿 deve ser igual a menos nove. Da mesma forma, 𝑚 é igual a menos cinco. E isto é realmente útil porque agora sabemos as raízes da nossa nova equação. Podemos formar esta equação determinando a soma destas raízes e o produto. A soma é menos nove mais menos cinco, que é menos 14. E o produto é menos nove vezes menos cinco, que é 45.
E agora que sabemos que a soma das nossas raízes é menos 14 e o produto é 45, podemos substituí-los de novo à forma geral. Isto dá-nos 𝑥 ao quadrado menos 14 vezes 𝑥 mais 45 igual a zero, e isto simplifica para 𝑥 ao quadrado mais 14𝑥 mais 45 igual a zero.
Agora vamos ver um exemplo semelhante. Mas desta vez, não poderemos calcular facilmente as raízes da nossa equação original e, portanto, utilizaremos a álgebra para determinar a nova equação.
Dado que 𝐿 e 𝑚 são as raízes da equação 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais cinco igual a zero, determine, na sua forma mais simples, a equação do segundo grau cujas raízes são 𝐿 ao quadrado e 𝑚 ao quadrado.
Vamos começar por recordar a relação entre uma equação do segundo grau cujo coeficiente inicial é um e as suas raízes. Podemos representá-la como 𝑥 ao quadrado menos a soma das raízes vezes 𝑥 mais o produto das raízes igual a zero. E assim, isto está essencialmente a dizer que se tivermos uma equação do segundo grau igual a zero e o coeficiente inicial for um, ou seja, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um, o coeficiente negativo de 𝑥 dir-nos-á a soma das raízes e o termo constante dir-nos-á o seu produto.
Portanto, consideramos a equação 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais cinco igual a zero. O coeficiente de 𝑥 é menos dois. E, portanto, a soma deve ser menos dois, então a soma das raízes deve ser mais dois. Então, o termo constante é cinco. Portanto, o produto das raízes deve ser cinco. Então, podemos determinar dois números que têm uma soma de dois e um produto de cinco? Bem, não, não é fácil. Não vamos obter boas soluções inteiras. E assim, em vez disso, vamos formar equações utilizando 𝐿 e 𝑚. Como a soma das nossas raízes é dois e 𝐿 e 𝑚 são as raízes, podemos dizer que 𝐿 mais 𝑚 deve ser igual a dois. E a seguir podemos dizer que 𝐿 vezes 𝑚 é igual a cinco.
As raízes da nossa nova equação são 𝐿 ao quadrado e 𝑚 ao quadrado. E assim, como a sua soma será 𝐿 ao quadrado mais 𝑚 ao quadrado, precisamos de manipular as nossas equações para determinar uma expressão para 𝐿 ao quadrado mais 𝑚 ao quadrado e outra expressão para o produto, 𝐿 ao quadrado 𝑚 ao quadrado. Vamos identificar as nossas equações como um e dois. Vamos pegar na equação um e, em seguida, fazer o quadrado. Por outras palavras, fazemos o quadrado dos dois membros. Portanto, no segundo membro, temos dois ao quadrado, o que é, obviamente, igual a quatro. Então, no primeiro membro, temos 𝐿 mais 𝑚 ao quadrado, que podemos considerar ser 𝐿 mais 𝑚 vezes 𝐿 mais 𝑚.
E se distribuirmos estes parênteses, obtemos 𝐿 ao quadrado mais dois 𝐿𝑚 mais 𝑚 ao quadrado igual a quatro. E a seguir, se subtrairmos dois 𝐿𝑚 de ambos os membros, obteremos a expressão para a soma das raízes 𝐿 ao quadrado e 𝑚 ao quadrado. É quatro menos dois 𝐿𝑚. Mas é claro, temos uma expressão para 𝐿𝑚; a equação dois diz-nos que 𝐿𝑚 é igual a cinco. E assim, 𝐿 ao quadrado mais 𝑚 ao quadrado torna-se quatro menos dois vezes cinco, o que é quatro menos 10 ou simplesmente menos seis. Então, determinámos a soma das raízes da nossa nova equação e, portanto, o coeficiente negativo de 𝑥.
Agora vamos repetir este processo para a equação dois; vamos fazer o quadrado de ambos os membros. Ou seja, 𝐿𝑚 ao quadrado é igual a cinco ao quadrado. Mas, é claro, cinco ao quadrado é 25. E podemos distribuir à potência de dois nos dois termos. E temos 𝐿 ao quadrado 𝑚 ao quadrado igual a 25. Nós, portanto, descobrimos que a soma das nossas novas raízes é menos seis e o produto é 25. Vamos substituí-los de novo na forma geral. Quando o fazemos, obtemos 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais 25 igual a zero. E assim, a equação do segundo grau cujas raízes são 𝐿 ao quadrado e 𝑚 ao quadrado é 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais 25 é igual a zero.
No nosso próximo exemplo, veremos o uso da relação entre os coeficientes de uma quadrática e as suas raízes para nos ajudar a determinar o valor de uma expressão.
Se 𝐿 e 𝑚 são as raízes da equação 𝑥 ao quadrado mais 20𝑥 mais 15 igual a zero, qual é o valor de um sobre 𝑚 mais um sobre 𝐿?
Começamos por lembrar-nos de qual é a relação entre o coeficiente de uma equação do segundo grau e as suas raízes. Para uma equação do segundo grau cujo coeficiente líder é um, ou seja, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é um, o coeficiente negativo de 𝑥 diz-nos a soma das raízes e o termo constante diz-nos o produto. E isto é realmente útil porque o coeficiente de 𝑥 aqui é 20 e a constante é 15. E assim, a soma das nossas raízes deve ser menos 20. Lembra-te, dissemos que é o coeficiente negativo de 𝑥. Então, o produto, que é o termo constante, deve ser 15.
Mas é claro, disseram-nos que 𝐿 e 𝑚 são as raízes da nossa equação. Então, podemos dizer que 𝐿 mais 𝑚 deve ser menos 20 e 𝐿 vezes 𝑚 deve ser 15. Então, como é que isto ajuda? Estamos à procura do valor de um sobre 𝑚 mais um sobre 𝐿, e não podemos encontrar facilmente dois números que tenham uma soma de menos 20 e um produto de 15. Então, vamos precisar de manipular as nossas expressões. Vamos pensar em um sobre 𝑚 mais um sobre 𝐿.
Sabemos que, para adicionar duas frações, precisamos de criar um denominador comum. Agora, a maneira mais fácil de fazer isso ao trabalhar com frações algébricas é multiplicar ambas as partes de cada fração pelo denominador da outra. Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da nossa primeira fração por 𝐿 e da nossa segunda fração por 𝑚. Isto dá-nos 𝐿 sobre 𝐿𝑚 mais 𝑚 sobre 𝐿𝑚. E agora, como os denominadores são os mesmos, simplesmente adicionamos os numeradores, e isto dá-nos 𝐿 mais 𝑚 sobre 𝐿𝑚.
E isto é realmente útil porque sabemos que o numerador 𝐿 mais 𝑚 é igual a menos 20 e, em seguida, o denominador 𝐿𝑚 é 15. E isso significa, por sua vez, que um sobre 𝑚 mais um sobre 𝐿 é igual a menos 20 sobre 15, o que simplifica para menos quatro terços. E assim, se 𝐿 e 𝑚 são as raízes da nossa equação, então um sobre 𝑚 mais um sobre 𝐿 deve ser igual a menos quatro terços.
Agora vamos estender esta ideia para formar equações do segundo grau.
Dado que 𝐿 e 𝑚 são as raízes da equação três 𝑥 ao quadrado mais 16𝑥 menos um igual a zero, determine, na sua forma mais simples, a equação do segundo grau cujas raízes são 𝐿 sobre dois e 𝑚 sobre dois.
Vamos começar por recordar a relação entre a equação do segundo grau e as suas raízes. Para uma equação do segundo grau cujo coeficiente inicial é um, podemos dizer que o coeficiente de 𝑥 é a soma negativa das raízes da equação, enquanto a constante é o produto de suas raízes. Agora, comparando isto com a nossa equação, vemos que temos um problema. O coeficiente principal, o coeficiente de 𝑥 ao quadrado, é três. E assim, vamos dividir cada termo por três. Três 𝑥 ao quadrado dividido por três é 𝑥 ao quadrado. 16𝑥 dividido por três é 16𝑥 sobre três ou 16 sobre três 𝑥. E a seguir, o nosso termo constante torna-se menos um terço.
E assim, comparando isto com a forma geral, sabemos que a soma das raízes da nossa equação é o coeficiente negativo de 𝑥. Então, é menos 16 sobre três. Então, o produto é menos um terço. Mas também nos disseram que 𝐿 e 𝑚 são as raízes da nossa equação, então podemos substituí-las por 𝐿 mais 𝑚 como a soma e 𝐿 vezes 𝑚 como o produto. Estamos à procura da equação do segundo grau cujas raízes são 𝐿 sobre dois e 𝑚 sobre dois. E assim, o que vamos fazer é determinar uma expressão para a soma destas raízes; que é 𝐿 sobre dois mais 𝑚 sobre dois. Da mesma forma, vamos determinar o produto destas raízes; que é 𝐿 mais de dois vezes 𝑚 sobre dois, que é 𝐿𝑚 sobre quatro.
Então, como é que podemos relacioanr as equações que temos? Bem, vamos chamar esta primeira equação de um. Temos 𝐿 mais 𝑚 igual a menos 16 sobre três. Se dividirmos a expressão inteira por dois, ou seja, 𝐿 mais 𝑚 sobre dois, sabemos que é igual a 𝐿 sobre dois mais 𝑚 sobre dois. E assim, isso significa que podemos determinar o valor de 𝐿 sobre dois mais 𝑚 sobre dois dividindo o valor de 𝐿 mais 𝑚 por dois. Isto é menos 16 sobre três dividido por dois, que é menos oito sobre três.
E podemos repetir este processo com a nossa segunda equação. Desta vez, é claro, queremos 𝐿𝑚 dividido por quatro. Então, isto será menos um terço dividido por quatro, que é menos um doze avos. E agora que temos a soma das nossas raízes e o produto, podemos substituí-los de novo na nossa equação anterior. Quando o fazemos, descobrimos que a equação do segundo grau cujas raízes são 𝐿 sobre dois e 𝑚 sobre dois é 𝑥 ao quadrado menos oito negativo sobre três 𝑥 mais menos um doze avos é igual a zero.
Vamos simplificar um pouco ao lidar com os nossos sinais. Por outras palavras, menos oito terços é apenas oito terços. E adicionar menos um doze avos é o mesmo que subtrair um doze avos. A nossa etapa final é criar coeficientes inteiros. E para fazer isso, vamos multiplicar por 12. 𝑥 ao quadrado vezes 12 é 12𝑥 ao quadrado. Então, se multiplicarmos oito terços por 12, anulamos três. E acabamos por determinar oito vezes quatro, que é 32. Menos um doze avos vezes 12 é menos um. E, é claro, zero vezes 12 é zero. E assim, a equação do segundo grau é 12𝑥 ao quadrado mais 32𝑥 menos um igual a zero.
Vamos agora recapitular os pontos principais desta aula. Neste vídeo, aprendemos que, para uma equação da forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 igual a zero, a soma das raízes é menos 𝑏 sobre 𝑎. É o coeficiente negativo de 𝑥 dividido pelo coeficiente de 𝑥 ao quadrado. E o produto é 𝑐 sobre 𝑎. É o termo constante dividido pelo coeficiente de 𝑥 ao quadrado. Podemos utilizar estas informações para expressar a relação entre as raízes de uma do segundo grau cujo coeficiente inicial é um e o coeficiente dos seus termos. Quando a equação é escrita desta forma, o coeficiente negativo de 𝑥 diz-nos a soma das raízes, enquanto o termo constante diz-nos o produto.
