Vídeo: Determinando a Equação de uma Reta Dados o Declive e a Interseção com Oy

Determine a equação de uma reta na forma canónica dados o declive e a interseção com O𝑦 da reta. Inclui calcular o declive de uma reta dados dois pontos que lhe pertencem.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como determinar a equação de uma reta em várias formas diferentes, considerando duas informações: o declive da reta e a interseção com O𝑦. Primeiro, lembraremos as diferentes formas que podem ser pedidas para a equação de uma reta. A primeira é a forma canónica: 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Cada uma das letras 𝑚 e 𝑐 representam propriedades particulares da reta.

𝑚 representa a declive da reta, o que significa que, para cada unidade que se move para a direita, a reta move estas mini unidades para cima ou para baixo, dependendo se 𝑚 é positivo ou negativo. 𝑐 representa a interseção da reta com O𝑦, que é o valor no qual a reta corta o eixo O𝑦.

A segunda forma comum para a equação de uma reta é a forma do declive e pontos: 𝑦 menos 𝑦 um igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 um. 𝑚 representa o declive da reta, como vimos anteriormente. 𝑥 um, 𝑦 um representam as coordenadas de qualquer ponto particular que se encontra nessa reta. Agora, neste vídeo, procuramos determinar a equação de uma reta, dados o seu declive e a sua interseção com O𝑦. Portanto, é normal que utilizemos a forma canónica para o fazer.

Determine, na forma canónica, a equação da reta que tem um declive de oito e uma interseção com O𝑦 de menos quatro.

Então, dizem-nos a forma como a nossa resposta deve ser escrita — a forma canónica: 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Então, o que precisamos de fazer é determinar os valores de 𝑚 e 𝑐 nesta questão. Na verdade, temos os valores de 𝑚 e 𝑐 explicitamente nas informações da questão em si. Disseram-nos que esta reta tem um declive de oito; isso significa que o valor de 𝑚 é oito. Também nos disseram que a reta tem uma interseção com O𝑦 de menos quatro; isto significa que o valor de 𝑐 é menos quatro. Portanto, tudo o que precisamos de fazer para responder a esta questão é substituir os valores de oito e menos quatro na forma canónica de uma reta. Portanto, temos que a equação da reta é 𝑦 igual a oito 𝑥 menos quatro.

Determine as coordenadas do ponto onde 𝑦 igual a quatro 𝑥 mais 12 interseta o eixo O𝑦.

Então, nesta questão, temos a equação de uma reta na forma canónica e pedem-nos as coordenadas do ponto em que ela intercepta o eixo O𝑦. O que esta questão pretende verificar é se compreendemos a forma canónica e o que as diferentes partes da equação representam. Lembre-se de que a forma canónica é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐, onde 𝑐 representa a interseção com O𝑦 da reta, que é o que procuramos aqui. A interseção com O𝑦 é o ponto em que a interseta o eixo O𝑦.

Assim, podemos ver, comparando a forma geral e a reta específica que temos, que o valor de 𝑐 aqui é 12. Mas a questão não nos pede apenas o valor de 𝑐, pede-nos as coordenadas deste ponto. Portanto, a interseção com O𝑦 lembre-se é um ponto no eixo O𝑦. Acabamos de calcular sua coordenada em 𝑦, é este valor 12. Para calcular a coordenada em O𝑥, precisamos de nos lembrar que em todos os pontos no eixo O𝑦 a coordenada em 𝑥 é zero. Pode ver isto com mais clareza imaginando como seria o gráfico como fiz aqui. Então, as coordenadas deste ponto são zero, 12. E esta é a nossa resposta final para esta questão.

Escreva a equação representada pelo gráfico dado. Dê a sua resposta na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏.

Então, temos um diagrama de uma reta e somos solicitados a dar sua equação na forma canónica, o que significa que precisamos de descobrir o que cada uma destas duas coisas é. Olhando para o diagrama, podemos ver que a interseção com O𝑦 é menos quatro, o que significa que o valor de 𝑏, que é a letra utilizada aqui para representar a interseção com O𝑦, deve ser menos quatro. Então, eu posso escrever o início da equação desta reta; é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 menos quatro.

Em seguida, precisamos de determinar o valor de 𝑚, o declive desta reta. E para o fazer, preciso das coordenadas de dois pontos que estejam na reta. Já identificamos um ponto, o ponto com coordenadas zero e menos quatro. Olhando para o gráfico, também posso ver que há um ponto aqui que seria conveniente utilizar. Este ponto está no eixo O𝑥 e tem as coordenadas seis, zero. Assim, vou utilizar estes dois pontos para calcular a declive da reta.

Então, o declive da reta pode ser calculado como uma variação em 𝑦 dividido por uma variação em 𝑥 ou pode pensar nisso como 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um, se escolher identificar os dois pontos como 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois. Vou olhar para o diagrama para descobrir a variação em 𝑦 e a variação em 𝑥. A variação em 𝑦 em primeiro lugar, bem, é o comprimento vertical neste triângulo. E eu posso ver que se move de uma coordenada em 𝑦 de menos quatro para uma coordenada em 𝑦 de zero. Portanto, a variação em 𝑦 é quatro positivo.

Agora vamos ver a variação em 𝑥; esta é a variação horizontal. Assim, posso ver no diagrama que se move de um valor de zero para um valor de seis, o que me dá uma variação em 𝑥 de seis positivo. Portanto, o declive desta reta é quatro sobre seis. Mas isto pode ser escrito como uma fração simplificada; é dois terços. Por fim, preciso apenas de substituir este valor de 𝑚, o declive da reta, na equação. Assim, a equação da reta representada por este gráfico é 𝑦 igual a dois terços 𝑥 menos quatro.

Determine a equação da reta com interseção com O𝑥 de três e interseção com O𝑦 de sete e calcule a área do triângulo formado por esta reta e os dois eixos coordenados.

Então, esta questão tem duas partes. Primeiro pedem-nos para determinar a equação de uma reta e, em seguida, pedem-nos para calcularmos a área deste triângulo. Acho que um diagrama seria útil aqui para visualizar a situação. Nós temos um par de eixos coordenados; dizem-nos que esta reta tem interseção com O𝑥 de três, o que significa que corta o eixo O𝑥 em três. Também nos dizem que a reta interseta O𝑦 em sete, logo corta o eixo O𝑦 em sete. Ao ligar estes dois pontos, eu tenho a reta da qual estou à procura da equação e posso ver o triângulo cuja área me pediram para determinar. É este triângulo aqui.

Então, vamos começar com a primeira parte desta questão, que pede para determinar a equação desta reta. Eu vou fazê-lo utilizando a forma canónica: 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Posso calcular um destes dois valores imediatamente. Lembre-se de que 𝑐 representa a interseção com O𝑦 da reta e disseram-me na questão que é igual a sete. Então a equação da reta é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais sete. Agora preciso de calcular o declive desta reta. E, para isso, preciso das coordenadas de dois pontos na reta. Bem, eu posso utilizar as coordenadas destes pontos: a interseção com O𝑥 e a interseção com O𝑦.

O declive da reta recorde-se é calculada como a variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥. Então, olhando para o meu diagrama e utilizando estes dois pontos, eu vou determinar a variação em 𝑦 em primeiro lugar. Posso ver que, conforme me movo da esquerda para a direita no diagrama, a coordenada em 𝑦 varia de sete para zero, o que é uma variação de menos sete. É muito importante que considere essa variação em 𝑦 como menos sete e não como sete. A reta está inclinada para baixo da esquerda para a direita e, portanto, tem um declive negativo.

Agora, vamos ver a variação em 𝑥. Eu posso ver que conforme me movo da esquerda para a direita neste diagrama, a coordenada em 𝑥 muda de zero para três, o que me dá uma variação em 𝑥 de três positivo. Agora, eu posso substituir a variação em 𝑦 e a variação em 𝑥 no meu cálculo do declive desta reta. E temos que o declive da reta é igual a menos sete sobre três. Finalmente, para completar a primeira parte da questão e determinar a equação da reta, eu preciso de substituir este valor em 𝑚 na equação. Eu tenho então que a equação desta reta é 𝑦 igual a menos sete sobre três 𝑥 mais sete.

Agora, às vezes podem solicitar-lhe fornecer uma resposta numa forma ligeiramente diferente, por exemplo, numa forma que não envolva frações. Então precisa de multiplicar a equação por três, mas como não foi especificado isto, deixarei a minha resposta como está agora. Assim, esta é a primeira parte da questão concluída.

A segunda parte pediu-me para calcular a área do triângulo formado por esta reta e os dois eixos coordenados. Agora, a partir do diagrama, podemos ver que este é um triângulo retângulo porque os eixos O𝑥 e O𝑦 se intersetam num ângulo reto. Para determinar a área de um triângulo retângulo, precisamos de multiplicar a base pela altura e depois dividir por dois. Então, olhando para o diagrama, posso ver que a base deste triângulo é a medida de três unidades, a altura do triângulo é de sete unidades. Referimo-nos a isto como menos sete quando calculámos o declive da reta porque a direção era importante.

Quando estamos apenas a olhar para o comprimento desta reta para calcular uma área, vamos considerar seu valor positivo de sete. Portanto, o nosso cálculo para a área é três multiplicado por sete dividido por dois, e isso nos dá uma resposta de 10,5 unidades quadradas para a área deste triângulo.

Em resumo, quando nos dão o declive e a interseção com O𝑦 de uma reta, é comum calcular a equação na forma canónica: 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 porque os valores podem ser substituídos diretamente nesta forma. Podemos precisar de calcular o declive da reta dados dois pontos da reta utilizando a variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥. Também seria possível fornecer a equação de uma reta na forma de declive e pontos, mas isso seria desnecessariamente complicado se as informações fornecidas fossem sobre declive e interseção com O𝑦, pois estes aliam-se convenientemente à forma canónica.

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