Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como usar as propriedades de triângulos semelhantes para
resolver problemas. Vamos começar lembrando o que significa quando dois triângulos são semelhantes.
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes são
congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais. Então, em outras palavras, todos os ângulos correspondentes são congruentes, são do
mesmo tamanho e os lados estão em proporção. Se os pares de lados correspondentes também fossem congruentes, os próprios
triângulos seriam congruentes.
Portanto, triângulos semelhantes terão a mesma forma, mas serão de tamanho
diferente. Os lados correspondentes são proporcionais, mas os ângulos correspondentes são
congruentes. Existem algumas maneiras pelas quais podemos provar que dois triângulos são
semelhantes. Vamos dar uma olhada nisso a seguir.
O primeiro método é usando a regra AA, que é quando mostramos que dois pares de
ângulos são congruentes. Os triângulos desenhados aqui seriam semelhantes, pois há dois pares de ângulos
congruentes. Então, por que não precisamos mostrar que existem três pares de ângulos
congruentes? Bem, porque a soma dos ângulos em um triângulo é fixada em 180 graus. Se mostramos que temos dois pares de ângulos congruentes, o terceiro par de ângulos
em cada triângulo também seria congruente. Poderíamos, é claro, mostrar que existem três pares de ângulos congruentes, mas não
precisamos. Precisamos apenas mostrar dois pares.
O segundo método de provar semelhança em triângulos é usando a regra LLL. Se pudermos mostrar que temos três pares de lados correspondentes em proporção, isso
mostraria que os triângulos são semelhantes. Nós temos que ter cuidado aqui. Se lembrarmos que, quando estamos usando a regra LLL para provar que os triângulos
são congruentes, nesse caso, estaríamos mostrando que os pares de lados são
congruentes. Quando estamos provando semelhança, a regra LLL significa que estamos mostrando que
os lados estão em proporção.
Nos triângulos abaixo, podemos ver que eles são semelhantes porque todos os
comprimentos do triângulo menor estão em proporção com os do triângulo maior. Na verdade, cada comprimento no triângulo menor é metade do comprimento no triângulo
maior.
Quando estamos discutindo triângulos semelhantes, também usaremos o fator de
escala. Esta é a razão de comprimentos correspondentes em figuras semelhantes. O fator de escala é sempre dado como um multiplicador. Por exemplo, podemos dizer informalmente que, para ir do triângulo maior para o
menor, dividimos os comprimentos por dois. No entanto, para dizer isso de uma maneira matematicamente mais correta, diríamos que
o fator de escala é um meio.
A última maneira pela qual podemos provar semelhança em triângulos é usando a regra
do LAL. Isso significa que estamos demonstrando que temos dois pares de lados em proporção e
o par de ângulos incluído entre esses dois lados é congruente. Observe que, quando estamos usando a regra do LAL para provar a congruência, os lados
e os ângulos precisam ser congruentes. Como vimos no método anterior, os lados aqui têm que estar em proporção.
Assim, nos triângulos abaixo, se pudéssemos mostrar que temos um par de lados
correspondente em proporção, um par de ângulos congruentes e outro par de lados na
mesma proporção, mostraríamos que esses dois triângulos são semelhantes. Vamos agora ver um exemplo de pergunta em que precisamos encontrar o fator de
escala.
Na figura, dado que os dois triângulos são semelhantes, qual é o fator de escala
que o levaria do triângulo maior para o menor?
Podemos lembrar que a palavra “semelhante” significa a mesma forma, mas de
tamanho diferente. Mais especificamente, podemos dizer que os ângulos correspondentes são
congruentes e os lados correspondentes estão em proporção. Para encontrar o fator de escala que nos leva do triângulo grande ao triângulo
pequeno, precisamos calcular a proporção dos lados. Essa razão ou proporção é o fator de escala.
Podemos começar observando os comprimentos de base e usando a fórmula útil de que
o fator de escala é igual ao novo comprimento sobre o comprimento original. Então, como o novo comprimento no triângulo menor é seis e o comprimento da base
original é 12 no triângulo maior, temos um fator de escala de seis sobre 12, o
que simplifica para um meio. Portanto, cada um dos comprimentos do triângulo menor terá metade do comprimento
do triângulo maior.
Podemos verificar nossa resposta usando o outro par de lados dados. Se pegarmos o comprimento de 11 e multiplicarmos pelo fator de escala de um meio,
teremos 11 sobre dois, o que simplifica para cinco e meio ou 5,5. O comprimento correspondente no triângulo menor era de fato 5,5. E assim, confirmamos nossa resposta de que o fator de escala do triângulo maior
para o triângulo menor é um meio.
Devemos sempre nos certificar de que o fator de escala é um multiplicador. Então, por exemplo, poderíamos ter dividido os comprimentos do triângulo maior
por dois para chegar ao triângulo menor. Mas nosso fator de escala não poderia estar “dividindo por dois”. Teria que ser “multiplicado por um meio”.
Veremos agora algumas questões em que encontramos comprimentos ausentes em triângulos
semelhantes.
Dado que 𝐴𝐵 é igual a 13 centímetros, 𝐵𝐶 é igual a oito centímetros, 𝐴𝐶 é
igual a 11,36 centímetros e 𝐴𝐷 é igual a 10 centímetros, determine o
comprimento de 𝐴𝐸 aproximado ao centésimo mais próximo.
Neste diagrama, há um triângulo maior 𝐴𝐵𝐶 e um triângulo menor 𝐴𝐷𝐸. Para calcular o comprimento que falta, pode ser sensato descobrir se esses
triângulos são semelhantes. Triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados
correspondentes em proporção.
Vamos preencher os comprimentos que nos foram dados em nosso diagrama. 𝐴𝐵 tem 13 centímetros, 𝐴𝐶 tem 11,36 centímetros e 𝐴𝐷 é igual a 10
centímetros. Para provar que dois triângulos são semelhantes, podemos usar a regra AA, onde
mostramos que dois pares de ângulos são congruentes. A regra LLL, onde mostramos que temos três pares de lados em proporção. Ou a regra do LAL, onde mostramos que temos dois pares de lados em proporção e
ângulo compreendido entre eles é congruente.
No diagrama, parece que não temos informações suficientes para os lados usarem a
regra LLL, então vamos dar uma olhada nos ângulos. Se começarmos olhando para este ângulo 𝐸𝐴𝐷 em nosso triângulo menor, seria um
ângulo comum ao ângulo 𝐶𝐴𝐵 no triângulo maior. Então, podemos dizer que esse par de ângulos é congruente. O ângulo marcado em verde, ângulo 𝐷𝐸𝐴 no triângulo menor, é congruente com o
ângulo 𝐵𝐶𝐴 no triângulo maior porque temos ângulos correspondentes das retas
paralelas e da transversal.
Da mesma forma, o ângulo 𝐴𝐷𝐸 é correspondente ao ângulo 𝐴𝐵𝐶 no triângulo
maior. Então, temos outro par de ângulos congruentes. Então, agora, descobrimos que existem três pares de ângulos correspondentes
congruentes. Nós apenas precisaríamos mostrar dois pares desses para provar que esses dois
triângulos são semelhantes. Então, agora, sabemos que temos dois triângulos semelhantes, vamos calcular o
comprimento que falta 𝐴𝐸.
Para fazer isso, precisamos encontrar o fator de escala entre 𝐴𝐵𝐶 e
𝐴𝐷𝐸. Frequentemente, é útil desenhar os triângulos separadamente para nos ajudar a
calcular o fator de escala. Para calcular o fator de escala do triângulo maior para o menor, podemos usar a
regra de que o fator de escala é igual ao novo comprimento sobre o comprimento
original. Temos o comprimento de um par de lados correspondentes, 10 centímetros para 𝐴𝐷
e 13 centímetros para 𝐴𝐵.
Se estivermos tomando a direção do fator de escala indo em direção ao triângulo
menor, o novo comprimento será de 10 centímetros e o comprimento original será
de 13 centímetros. Então, nosso fator de escala será 10 sobre 13. Para calcular o comprimento de 𝐴𝐸, pegamos o lado correspondente 𝐴𝐶 de 11,36
e o multiplicamos pelo fator de escala de 10 sobre 13. Como nos é pedido uma resposta para o centésimo mais próximo, podemos
razoavelmente usar uma calculadora aqui para calcular o valor.
Portanto, 𝐴𝐸 é igual a 8,73846 e assim por diante centímetros. Arredondar para o centésimo mais próximo significa que verificamos nosso terceiro
algarismo decimal para ver se é cinco ou mais. Como é, nossa resposta arredonda para 8,74 centímetros. Então, encontramos esse valor de 𝐴𝐸 provando que os triângulos eram semelhantes
e calculando o fator de escala.
Vamos dar uma olhada em outra pergunta.
Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴 linha 𝐵 linha 𝐶 linha são semelhantes. Calcule a medida do ângulo 𝑥. Calcule o valor de 𝑦. Calcule o valor de 𝑧.
Nesta pergunta, somos informados de que nossos dois triângulos são semelhantes, o
que significa que os ângulos correspondentes são congruentes e os lados
correspondentes estão em proporção. Se olharmos para este ângulo em 𝐴 linha denotado pelo 𝑥, então precisamos
descobrir qual ângulo no triângulo 𝐴𝐵𝐶 é correspondente a este. Às vezes, nos diagramas, isso nem sempre está claro, mas podemos usar a ordem das
letras para nos ajudar.
O ângulo em 𝐴 linha corresponderá ao ângulo em 𝐴. Podemos escrever isso mais formalmente porque o ângulo 𝐶 linha 𝐴 linha 𝐵 linha
é correspondente ao ângulo em 𝐶𝐴𝐵, que está em rosa. Ambos os ângulos são iguais e têm 74,5 graus. Portanto, nossa resposta para a primeira parte desta pergunta é que o ângulo 𝑥 é
de 74,5 graus. Pode ser tentador pensar que, como o triângulo é maior, o ângulo também deve ser
maior. Mas lembre-se de que a soma dos ângulos em um triângulo é sempre 180 graus.
Na segunda parte desta pergunta, somos solicitados a encontrar o comprimento de
𝑦. Precisamos calcular a proporção dos comprimentos ou o fator de escala que nos
leva do triângulo menor para o triângulo maior. Podemos usar um determinado par de lados correspondentes. Aqui, temos o comprimento 𝐴 linha 𝐵 linha é cinco e o comprimento 𝐴𝐵 é
dois. Para calcular o fator de escala do triângulo menor para o maior, vamos pegar
nosso novo comprimento de cinco e dividi-lo pelo comprimento original de
dois. Portanto, se quisermos encontrar um comprimento no triângulo maior, pegamos o
comprimento correspondente no triângulo menor e o multiplicamos por cinco sobre
dois.
Assim, o comprimento 𝑦, que queremos calcular no triângulo maior na reta 𝐵
linha 𝐶 linha, corresponde à reta 𝐵𝐶 de comprimento três no triângulo
menor. Então, podemos calcular 𝑦 multiplicando o comprimento três pelo fator de escala
de cinco sobre dois. Três vezes cinco é 15 e 15 sobre dois simplifica para 7,5. E assim, nossa resposta para a segunda parte dessa questão é 𝑦 igual a 7,5.
Existe um método alternativo que poderíamos ter usado para calcular o valor de
𝑦. Como sabemos que nossos triângulos são semelhantes, nossos comprimentos estarão
todos na mesma proporção. Olhando para os comprimentos 𝐴 linha 𝐵 linha, que é cinco, e 𝐴𝐵, que é dois,
podemos dizer que cinco sobre dois é igual a 𝑦 sobre três. Como esses triângulos são semelhantes, sabemos que entre os comprimentos cinco e
dois temos a mesma proporção que teríamos entre 𝑦 e três. Podemos então fazer a multiplicação em cruz, e assim duas vezes 𝑦 são dois 𝑦
igual a cinco vezes três, que é 15. E se dois 𝑦 são 15, então 𝑦 é metade disso. Então, 𝑦 é 7,5, confirmando a resposta que encontramos calculando o fator de
escala.
Vamos dar uma olhada na parte final desta questão para encontrar o valor de
𝑧. Sabemos que vamos do triângulo menor para o maior multiplicando os comprimentos
por cinco sobre dois. Mas o que acontece na direção inversa? Nesse caso, teríamos que realizar a operação inversa. Poderíamos dizer informalmente que precisamos dividir os comprimentos por cinco
sobre dois, mas os fatores de escala devem ser dados como um multiplicador. Podemos lembrar que, quando estamos dividindo por uma fração, isso equivale a
multiplicar pela fração inversa. Então, nosso fator de escala do triângulo grande para o triângulo pequeno seria
de dois quintos.
Para calcular o comprimento de 𝑧 na reta 𝐴𝐶, pegamos o comprimento
correspondente 𝐴 linha 𝐶 linha, que é quatro, e o multiplicamos pelo fator de
escala de dois quintos. Quatro vezes dois são oito e oito quintos é equivalente a 1,6. Então, nossa resposta para a parte final dessa questão é que 𝑧 é 1,6.
Poderíamos ter resolvido essa questão final usando o fator de escala
original. Teríamos criado uma equação que dissesse 𝑧 vezes cinco sobre dois é igual a
quatro. Nós teríamos então reorganizado isso para encontrar o valor de 𝑧. Este método rastreia muito de perto para encontrar o fator de escala reversa, no
entanto. Ambos os métodos confirmariam que 𝑧 é 1,6.
Antes de resumirmos o que aprendemos neste vídeo, vamos dar uma olhada nos fatores de
escala reversa. Digamos que recebemos um par de triângulos semelhantes e nos é dito que o fator de
escala do triângulo menor para o maior é três. Existe uma maneira rápida de encontrar o fator de escala na direção inversa? Bem, o fator de escala na direção inversa será sempre o inverso, ou seja, um sobre o
número. O inverso de três é um terço.
Se o fator de escala em uma direção for seis, o fator de escala na direção inversa
será um sobre seis. Então, isso será um sexto. Que tal um fator de escala fracionário como doze sétimos? Bem, o inverso disso é a fração inversa. Portanto, o fator de escala na direção inversa seria de sete doze avos. Usar esses fatos em fatores de escala reversa nos ajudará a encontrar quaisquer
comprimentos em triângulos semelhantes.
Agora, podemos revisar o que aprendemos neste vídeo. Vimos que os triângulos são semelhantes se todos os pares de ângulos correspondentes
forem congruentes e os lados correspondentes estiverem em proporção. Podemos provar que os triângulos são semelhantes usando a regra AA, a regra LLL ou a
regra LAL. É muito importante lembrar que devemos mostrar que os ângulos são congruentes e os
lados estão em proporção. As regras LLL e LAL podem ser familiares quando mostramos que os triângulos são
congruentes. No entanto, quando estamos mostrando que os triângulos são congruentes, estamos
mostrando que os lados são congruentes. Quando estamos mostrando essas regras em semelhança, estamos mostrando que os lados
estão em proporção.
O fator de escala é a razão dos lados correspondentes em triângulos semelhantes. É sempre dado como um multiplicador. Podemos encontrar o fator de escala em uma direção específica, calculando o novo
comprimento de um lado dividido pelo comprimento original do lado. E, finalmente, para encontrar um fator de escala reverso, encontramos o inverso do
fator de escala.
