Vídeo: Expandindo uma Expressão Trigonométrica Utilizando Soma e Fórmula de Produto para a Função Seno

Expanda sen (𝜃 + 𝜋/6) utilizando soma e a fórmula de produto.

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Transcrição do vídeo

Expanda seno de 𝜃 mais 𝜋 sobre seis utilizando soma e a fórmula de produto.

Vamos recordar a fórmula do ângulo composto para o sen de 𝐴 mais 𝐵. Nós temos que sen de 𝐴 mais 𝐵 é igual a sen de 𝐴 cos de 𝐵 mais cos de 𝐴 vezes sen de 𝐵. Agora estamos tentando encontrar o sen de 𝜃 mais 𝜋 sobre seis. Então, vamos fazer 𝐴 igual a 𝜃 e 𝐵 igual a 𝜋 sobre seis. Agora podemos substituí-los na fórmula para nos dar, isso nos dá o sen de 𝜃 mais 𝜋 sobre seis é igual a sen de 𝜃 cos de 𝜋 sobre seis mais cos de 𝜃 vezes sen de 𝜋 sobre seis.

Agora podemos encontrar os valores de cos de 𝜋 sobre seis e sen de 𝜋 sobre seis. Para fazer isso, vamos começar desenhando um triângulo equilátero com lados de comprimento dois. Em seguida, vamos cortar este triângulo ao meio verticalmente, criando dois triângulos retos que contêm um ângulo de 𝜋 sobre seis. Agora vamos desenhar o triângulo da direita e da esquerda aqui separadamente. Aqui temos um triângulo retângulo com uma hipotenusa de comprimento dois e outro lado de comprimento um. A fim de encontrar o comprimento que falta, podemos usar o teorema de Pitágoras.

Portanto, o comprimento ausente é a raiz quadrada de dois ao quadrado menos um ao quadrado. E isso é equivalente à raiz quadrada de quatro menos um. Portanto, o comprimento do lado ausente é apenas raiz três. Em seguida, podemos usar SOHCAHTOA para encontrar os valores de cos de 𝜋 sobre seis e sen de 𝜋 sobre seis. Como estamos tentando encontrar o sen de um ângulo e cos de um ângulo, os dois que nos interessam são o SOH e o CAH. Estes nos dizem que o sen de um ângulo 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa e cos de um ângulo 𝜃 é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Então agora, se deixarmos 𝜋 sobre seis igual a 𝜃, podemos rotular o oposto, o adjacente e a hipotenusa em nosso triângulo de acordo com ele. Então, o cateto adjacente é o lado de comprimento raiz de três. O cateto oposto é o lado de comprimento um. E a hipotenusa é o lado de comprimento dois. Agora podemos calcular o valor do sen de 𝜋 sobre seis. E isso é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. Então isso é um sobre dois ou um meio. E então cos de 𝜋 sobre seis é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. Então, isso é igual a raiz de três sobre dois.

Agora temos os valores sen de 𝜋 sobre seis e cos de 𝜋 sobre seis. E podemos substituí-los de volta à nossa equação original. E nós temos que o sen de 𝜃 mais 𝜋 sobre seis é igual a raiz de três sobre dois sen de 𝜃 mais um meio cos de 𝜃. Em seguida, podemos fatorar um meio para obter uma solução do sen de 𝜃 mais 𝜋 sobre seis é igual a um meio vezes raiz de três sen 𝜃 mais cos 𝜃.

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