Video Transcript
Neste vídeo, vamos encontrar a área de um trapézio usando uma fórmula e, em seguida, veremos como podemos aplicar isso na vida real. Vamos começar pensando sobre o que queremos dizer com trapézio. Um trapézio é um quadrilátero, que é uma forma de quatro lados, com um par de lados paralelos. Então, poderíamos desenhar um que se pareça com isso, ou até mesmo assim. Para ser um trapézio, basta ter um par de lados paralelos. Observe que em algumas partes do mundo, essa forma é chamada de trapézio. E quando estamos falando de trapézios, também podemos nos referir aos lados paralelos como bases. Vamos agora considerar como podemos encontrar a área de um trapézio.
Vamos ver este trapézio desenhado em papel quadrado. Tem uma base de quatro unidades e outra base de sete unidades. A altura desse trapézio seria de cinco unidades. Poderíamos, é claro, contar os quadrados se realmente quiséssemos, mas vamos ver se podemos encontrar uma melhor maneira matemática de encontrar a área. Vamos imaginar que pegamos uma cópia deste trapézio e giramos para que fique ao lado deste. Podemos ver como a base de sete está agora no topo deste trapézio e a base de quatro está na parte inferior. A altura desse trapézio nesta posição ainda é cinco. Agora criamos um paralelogramo, ou seja, uma forma com dois pares de lados paralelos.
Podemos usar o fato de que a área de um paralelogramo é calculada multiplicando a base vezes a altura perpendicular. Então, para encontrar a área do nosso paralelogramo, a base seria sete mais quatro, que é 11, e a altura seria cinco. Então, 11 vezes cinco nos dariam a área, e isso é 55 unidades quadradas. Bem, isso é muito bom, você pode pensar, mas isso não nos levará à área de um trapézio. Mas se considerarmos que a área do paralelogramo é duas vezes a área do trapézio, podemos encontrar a área do trapézio tomando 55 e dividindo-a por dois, o que nos dá 27,5 unidades quadradas.
Nesse caso, tivemos um exemplo muito específico com unidades específicas de quatro, sete e cinco. Então, como obtemos uma fórmula para a área de um trapézio? Digamos que definimos nossas duas bases com as letras 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois, e a altura usamos a letra ℎ. Então, quando começamos a encontrar a área de um trapézio, começamos por encontrar a área de um paralelogramo. Então, adicionamos nossas duas bases, no nosso caso adicionamos sete e quatro. E então multiplicamos isso pela altura de cinco. Para encontrar a área de um trapézio, reduzimos à metade a área desse paralelogramo. Geralmente vemos essa fórmula escrita com o ℎ antes dos parênteses. Então, a área de um trapézio é igual a metade ℎ vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois.
E então, essa é a fórmula que vamos usar, lembrando que 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são as bases e ℎ é a altura perpendicular. Podemos ver essa fórmula escrita de outras maneiras. Por exemplo, a área é igual a 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois sobre duas vezes ℎ ou como um meio vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub duas vezes ℎ. Contanto que estejamos adicionando o par de lados paralelos, multiplicando pela altura e depois dividindo-a pela metade, encontraremos a área do trapézio.
Apenas como ponto de interesse, existem outras maneiras pelas quais podemos encontrar a área de um trapézio. Se cortarmos os pontos médios dos lados não paralelos, podemos ver como poderíamos criar vários triângulos. Se imaginarmos cortar essa parte e colá-la na seção aberta aqui e na mesma do outro lado, teríamos criado uma forma com a mesma área desse retângulo em verde. E qual é a área desse retângulo?
Bem, as bases originais eram quatro e sete. Então, o comprimento desse retângulo é o mesmo que a média de quatro e sete, então adicionaríamos quatro e sete e dividiríamos por dois. E a altura desse retângulo seria cinco. Isso significa que a área é igual a quatro mais sete sobre duas vezes cinco. Isso é o mesmo que 11 sobre duas vezes cinco. E calculando 55 sobre dois nos daria 27 unidades quadradas e meio. Claro, aqui, adicionamos os lados paralelos, divididos por dois e multiplicados pela altura. Então, agora, encontramos duas maneiras diferentes de provar como encontraríamos a área de um trapézio. Vamos agora dar uma olhada em algumas perguntas em que podemos usar essa fórmula.
A área de um trapézio é dada por 𝐴 igual a meio ℎ vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois. Use a fórmula para encontrar a área de um trapézio onde ℎ é igual a seis, 𝑏 sub um é igual a 14 e 𝑏 sub dois é igual a oito.
Nesta questão, já nos foi dada a fórmula geral para a área de um trapézio, lembrando que um trapézio é um quadrilátero que tem um par de lados paralelos. Na fórmula, 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são os dois lados paralelos. O ℎ é a altura perpendicular. Se quiséssemos desenhar o trapézio que nos foi dado com ℎ igual a seis, 𝑏 sub um igual a 14 e 𝑏 sub dois igual a oito, poderia parecer algo assim.
Mas nessa questão, realmente não importa como ela se parece, porque podemos simplesmente inserir os valores que recebemos na fórmula. Então, teríamos 𝐴 igual a um meio vezes seis, que era a altura, vezes 14 mais oito, que é 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois. Metade de seis é três e 14 mais oito são 22. Três vezes 22 nos darão 66. E essa é a nossa resposta para a área do trapézio. Não recebemos nenhuma unidade na questão, mas é claro que as unidades de área sempre serão unidades quadradas.
Vamos dar uma olhada em outra pergunta.
𝐴𝐵𝐶𝐷 é um trapézio em que os comprimentos de suas bases paralelas 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 são de 36 centímetros e 48 centímetros, respectivamente. O comprimento da perpendicular desenhada de 𝐷 a 𝐵𝐶 é de 35 centímetros. Encontre a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷, dando sua resposta ao centímetro quadrado mais próximo.
Nesta pergunta, somos informados de que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um trapézio. Podemos ver isso no diagrama, pois temos um par de lados paralelos. Então, sabemos que é um trapézio. Somos informados de que as bases 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 têm 36 e 48 centímetros, e isso está no diagrama. Também nos é dito que a perpendicular desenhada de 𝐷 a 𝐵𝐶 é de 35 centímetros, e isso também está no diagrama. É importante ressaltar que também nos diz que a altura desse trapézio é de 35 centímetros.
Para encontrar a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷, vamos usar a fórmula para encontrar a área de um trapézio. Esta fórmula nos diz que a área de um trapézio é igual a meio ℎ vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois, onde ℎ é a altura do trapézio e 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são as bases ou lados paralelos do trapézio. Então, para encontrar a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷, substituímos os valores que temos. A altura é de 35 centímetros. 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são 36 e 48, e não importa de que maneira eles são. Então, para a área, estamos calculando um meio vezes 35 vezes a soma de 36 e 48. Podemos simplificar 36 mais 48 para nos dar 84.
Como não importa de que maneira multiplicamos, pode parecer sensato encontrar metade de 84 em vez de metade de 35. Isso significa que estamos calculando 35 vezes 42. Sem uma calculadora, poderíamos calcular isso como 1470. E as unidades aqui serão unidades quadradas de centímetros quadrados. Nos pediram uma resposta para o centímetro quadrado mais próximo, mas temos um valor inteiro aqui, então não precisamos arredondar. Portanto, 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem uma área de 1470 centímetros quadrados.
Na próxima pergunta, encontraremos o comprimento desconhecido da base de um trapézio, dadas as outras dimensões e a área.
Um trapézio de área 132 e base 20 tem altura 11. Qual é o comprimento da outra base?
Pode ser sensato começar esta questão desenhando um diagrama para modelar as informações. Somos informados nesta questão que temos um trapézio. Podemos lembrar que um trapézio é um quadrilátero, que é uma forma de quatro lados, com um par de lados paralelos. A altura é de 11 unidades. Somos informados de que uma das bases é 20 e precisamos encontrar o comprimento da outra base. Quando falamos de bases em trapézios, isso significa o comprimento dos lados paralelos. Não sabemos qual base é 20, mas vamos escrevê-la como a base inferior.
Para calcular o comprimento da outra base, precisaremos usar as informações sobre a área. Em alguns países, a palavra trapézio é usada para se referir a uma forma com um par de lados paralelos. Aqui, somos informados de que a área é de 132 unidades quadradas. E podemos usar a fórmula para a área de um trapézio, que nos diz que a área é igual a meio ℎ vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois. ℎ representa a altura do trapézio, e 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são as duas bases. Então, tomando essa fórmula, podemos preencher o fato de que a área é 132, a altura é 11. E não conhecemos uma das bases, então vamos mantê-la como 𝑏 sub um. E então adicionamos a base de 20.
Podemos reorganizar essa equação para encontrar 𝑏 sub um de várias maneiras. Mas vamos começar removendo essa metade multiplicando ambos os lados da equação por dois. 132 multiplicado por dois nos dá 264. E do lado direito, ainda teremos 11 vezes 𝑏 sub um mais 20. Podemos então dividir ambos os lados da equação por 11. 264 dividido por 11 nos dá 24. E no lado direito, então, teremos 𝑏 sub um mais 20. Podemos então encontrar 𝑏 sub um subtraindo 20 de ambos os lados da equação. E assim, nossa resposta é que a outra base deve ter quatro unidades de comprimento.
Veremos agora uma questão de área da vida real que envolve dois trapézios.
A figura dada representa uma moldura de madeira trapezoidal. Determine a área da superfície de sua parte frontal.
Podemos lembrar que um trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados paralelos. No diagrama, podemos ver que os lados paralelos estariam horizontalmente aqui. Somos solicitados a encontrar a área da superfície ou apenas a área da frente. Para encontrar a área dessa moldura de madeira, precisamos da fórmula para a área de um trapézio. Isso é dado como a área é igual a meio ℎ vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois, onde ℎ é a altura, e 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são as bases do trapézio. Esses são os lados paralelos.
Para encontrar a área dessa moldura de madeira, vamos começar encontrando a área do trapézio maior do lado de fora. Isso nos daria a área de toda a forma, incluindo o centro. Então, também precisamos encontrar a área do trapézio menor. Então, se subtrairmos o trapézio menor do trapézio maior, é quase como cortar com um cortador de biscoitos e removê-lo. O que nos resta então é a área que queremos encontrar. Vamos começar com o trapézio grande. Podemos inserir os valores na fórmula, mas há muitas informações neste diagrama, então teremos o cuidado de usar os valores corretos.
A área é igual a um meio vezes 5,5. Essa é a altura. E nossas duas bases são 4,8 e seis polegadas. Então, estamos calculando um meio vezes 5,5 vezes 4,8 mais seis. Simplificando a soma entre parênteses, temos um meio vezes 5,5 vezes 10,8. Podemos então multiplicar um meio por 10,8, que é 5,4. Portanto, 5,5 multiplicado por 5,4 nos dão 29,7, e as unidades serão polegadas quadradas. Um lembrete rápido, se estamos multiplicando por decimais, removemos a vírgula decimal. Aqui, calculamos 55 por 54. E como havia dois algarismos decimais em nossa pergunta original, nossa resposta tinha dois algarismos decimais. E 29,70 é o mesmo que 29,7.
E agora da mesma forma, podemos encontrar a área do trapézio menor. Usamos a mesma fórmula, e desta vez a altura é 4,5 polegadas e as duas bases são 3,4 polegadas e 4,8 polegadas. Então, estamos calculando um meio vezes 4,5 vezes 3,4 mais 4,8. Simplificando os parênteses, então, teremos um meio vezes 4,5 vezes 8,2. E podemos simplificar multiplicando um meio por 8,2, dando-nos 4,5 vezes 4,1. Então, quando estamos calculando isso sem uma calculadora, vamos calcular 45 vezes 41. Portanto, sabemos que nossa resposta terá os algarismos um oito quatro cinco, e tivemos dois algarismos decimais, então nossa resposta é 18,45. E as unidades serão polegadas quadradas.
Agora, encontramos a área do trapézio maior e o trapézio menor. Para encontrar a área da moldura de madeira, vamos subtraí-las. Então, teremos 29,7 subtraído de 18,45, dando-nos o valor de 11,25. E as unidades aqui ainda serão polegadas quadradas. E essa é a nossa resposta para a área da moldura de madeira.
Agora podemos resumir o que aprendemos neste vídeo. Em primeiro lugar, lembramos que um trapézio é uma forma com um par de lados paralelos. Em seguida, provamos que a área de um trapézio pode ser encontrada por um meio vezes ℎ vezes 𝑏 sub um mais 𝑏 sub dois, onde ℎ é a altura e 𝑏 sub um e 𝑏 sub dois são os dois lados paralelos. Finalmente, também notamos que não importa qual base é 𝑏 sub um ou 𝑏 sub dois.
