Vídeo: Encontrar o Número de Maneiras de Escolher 𝑛 de 𝑚 Coisas

Encontre o número de maneiras de selecionar 3 letras diferentes do conjunto {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑘, 𝑗}.

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Transcrição do vídeo

Encontre o número de maneiras de selecionar três letras diferentes do conjunto 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑘, 𝑗.

Bem, temos oito letras diferentes que podemos escolher e queremos selecionar três delas.

Agora, considerando que todas são letras diferentes, quando eu escolho minha primeira letra, eu tenho oito opções que eu posso escolher. Então, na primeira caixa, tenho oito. Agora, quando eu escolhi uma letra, não posso escolher ela outra vez, porque todas elas têm de ser letras diferentes, então eu só tenho sete diferentes letras para escolher. Então, na segunda caixa, eu tenho uma escolha de sete letras. E tendo escolhido essas duas letras, agora só tenho seis para escolher na última caixa. Agora, cada uma dessas oito maneiras para a primeira caixa pode ser combinada com cada uma dessas sete maneiras para a segunda caixa, e elas podem ser combinadas com cada uma das seis maneiras da última caixa.

E isso significa que temos oito vezes sete vezes seis, o que é de 336 maneiras diferentes. Mas essa não é a resposta, digamos que escolhemos 𝑐 para a primeira caixa e 𝑑 para a segunda caixa e 𝑒 para a terceira caixa. Nós poderíamos ter escolhido as letras 𝑒 e 𝑑 em uma ordem diferente, ou talvez tenhamos escolhido 𝑑 primeiro, ou até mesmo 𝑒.

Assim, dentro das 336 formas de organizar nossas três letras, escolhidas dentre as oito letras, cada grupo de três foi representado em seis ordens diferentes. Então, é o mesmo grupo de três letras representadas de seis maneiras diferentes, então multiplicamos várias das nossas combinações.

Dado que eu não especifiquei que estou interessado na ordem que as cartas saem e eu vou agrupar todas aquelas seis combinações diferentes lá como o mesmo grupo de três letras, eu só vou ter um sexto tantas maneiras de escolher três letras daquele grupo de oito. Então o número total de maneiras é dividido por 336, que é 56.

E essa é a nossa resposta. Mas antes de terminarmos, vamos falar sobre alguma notação alternativa. Nós temos uma fórmula geral para esse tipo de problema. Quantas maneiras de escolher 𝑟 objetos diferentes de um conjunto de 𝑛 objetos diferentes? E nós chamamos esse tipo de problema de “𝑛 escolher 𝑟”.

Agora, dependendo de onde você mora, você verá uma dessas maneiras de expressar essa fórmula específica: 𝑛𝐶𝑟, 𝐶𝑛, 𝑟, 𝐶 (𝑛, 𝑟), 𝐶𝑛𝑟, 𝑛𝐶𝑟 ou apenas 𝑛 sobre 𝑟 em um formato vetorial. Mas todos eles se resumem a essa fórmula básica: 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial 𝑛 menos 𝑟 fatorial.

Em nossa pergunta, estávamos escolhendo oito letras diferentes, então 𝑛 era igual a oito. E nós estávamos selecionando três deles, então 𝑟 é igual a três.

Portanto, nosso cálculo se torna oito fatorial sobre três fatorial vezes oito menos três fatorial. Agora oito menos três é cinco, de modo que se torna cinco fatorial no denominador. Se pensarmos sobre o que fatorial significa, então oito fatorial significa oito vezes sete vezes seis vezes cinco vezes quatro vezes três vezes dois vezes um; três fatorial é três vezes dois vezes um; e cinco fatorial é cinco vezes quatro vezes três vezes dois vezes um.

Agora podemos fazer algum cancelamento; nós temos um no numerador, um no denominador; dois no numerador, dois no denominador; três no numerador, três no denominador; quatro no numerador, quatro no denominador; cinco no numerador e cinco no denominador. E agora voltamos a oito vezes sete vezes seis sobre três vezes dois vezes um.

E são as 336 sobre as seis que falamos quando resolvemos o problema da primeira maneira. Portanto, esse método também nos dá a mesma resposta correta: 56.

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