Vídeo: Simplificando Expressões Algébricas Juntando Termos Semelhantes

Aprendemos a identificar termos semelhantes e passamos por uma série de exemplos que requerem que combinemos termos semelhantes para simplificar uma expressão algébrica, tal como 2 + 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 + 5𝑦 + 4𝑥 − 3𝑦 + 7 or 5𝑥 + 7𝑥² − 2𝑥 − 3𝑥².

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como simplificar expressões algébricas combinando termos semelhantes. Examinaremos expressões que contêm números e letras e combinações de letras e pensaremos no efeito dos parênteses em algumas expressões.

Podemos simplificar expressões algébricas combinando ou juntando termos semelhantes. Por exemplo, todos os números sozinhos, todos os 𝑥, todos os 𝑦 e assim por diante.

Portanto, simplifique dois mais três 𝑥 mais dois 𝑦 menos 𝑥 mais cinco 𝑦 mais quatro 𝑥 menos três 𝑦 mais sete. Então, pensando primeiro nos termos puramente numéricos, temos dois e sete. E a seguir, olhando para os termos com 𝑥, temos mais três 𝑥, menos 𝑥, adicione quatro 𝑥. E isso deixa-nos com nossos termos com 𝑦, mais dois 𝑦, mais cinco 𝑦, e menos três 𝑦. Algumas pessoas acham útil utilizar um sistema de código de cores ou um sistema de símbolos diferentes para identificar quais os termos semelhantes que encontraram e que utilizaram até agora e quais não.

Então, lidando com os termos puramente numéricos primeiro, dois mais sete é igual a nove. Agora, temos os nossos termos com 𝑥. Temos três 𝑥 menos 𝑥 é dois 𝑥, adicionar quatro 𝑥 é seis 𝑥, então isso é mais seis 𝑥. Então, os termos com 𝑦, temos dois 𝑦 mais cinco 𝑦 é sete 𝑦, menos três 𝑦 é mais quatro 𝑦. E a maioria das pessoas tende a colocar os termos com as letras em primeiro lugar e os termos puramente numéricos no final desta expressão. Então, vamos dizer que é seis 𝑥 mais quatro 𝑦 mais nove.

Mas, às vezes, os termos envolvem termos mais complexos, como 𝑥𝑦 ou 𝑦 ao cubo. E precisamos de ser capazes de identificar termos semelhantes também nestas expressões.

Por exemplo, simplifique três 𝑥 mais quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥𝑦 mais sete 𝑦 ao quadrado menos dois 𝑥 mais cinco 𝑦𝑥 menos 𝑦 ao cubo menos dois 𝑥 ao quadrado.

Agora, nesta expressão, existem dois termos, três 𝑥 e retire dois 𝑥, que são números vezes 𝑥. Então, vamos colocar estes primeiro. E, em seguida, se procurarmos os termos com 𝑥 ao quadrado, temos mais quatro 𝑥 ao quadrado e menos dois 𝑥 ao quadrado. Agora vamos procurar por termos com 𝑥𝑦. Bem, temos menos dois 𝑥𝑦. Mas também temos mais cinco 𝑦𝑥. E como a multiplicação é comutativa, isso significa que 𝑦𝑥 é o mesmo que 𝑥𝑦. Então, eu vou escrever cinco 𝑦𝑥 como cinco 𝑥𝑦.

Em seguida, temos termos 𝑦 ao quadrado. Bem, há apenas um desses, sete 𝑦 ao quadrado. E já lidámos com os outros, além de 𝑦 ao cubo. Então, acabámos de obter o menos 𝑦 ao cubo. Assim, termos semelhantes são termos que são apenas múltiplos simples da mesma letra, ou a mesma letra com a mesma potência ou expoente, ou a mesma combinação de letras multiplicada juntas, ou seja, 𝑥𝑦, 𝑦𝑥. E três 𝑥 menos dois 𝑥 é apenas um 𝑥 ou apenas 𝑥. Quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 ao quadrado, deixando-nos dois 𝑥 ao quadrado.

Agora, se começarmos com menos dois 𝑥𝑦 e depois adicionarmos mais cinco 𝑥𝑦, acabaremos com três 𝑥𝑦. Temos apenas sete 𝑦 ao quadrado e menos 𝑦 ao cubo. Agora, nenhum destes termos é semelhante, e esta é a nossa resposta. Portanto, é quase como se 𝑥 fosse tratado como uma letra diferente de 𝑥 ao quadrado. E é tratado como uma letra diferente para 𝑥𝑦 e 𝑦 ao quadrado e 𝑦 ao cubo, e assim por diante.

Vamos analisar isto visualmente e ver por que definimos o termo “termos semelhantes” desta maneira específica. Imagine que temos alguns retângulos um por 𝑥 e alguns retângulos um por 𝑦. Portanto, um retângulo um por 𝑥, um vezes 𝑥, tem uma área de 𝑥. Então, vamos chamar estes de 𝑥. E um por 𝑦, um vezes 𝑦, tem uma área de 𝑦. Então, estes são retângulos 𝑦.

Então, eu tenho três retângulos 𝑥 e dois retângulos 𝑦. Então, podemos escrever isto como três 𝑥 mais dois 𝑦. Agora, os retângulos 𝑥 têm um tamanho diferente dos retângulos 𝑦. Então, não podemos combiná-los. É apenas a declaração de um facto de termos três do estilo 𝑥 e dois do estilo 𝑦.

Agora vamos adicionar um retângulo 𝑥 por 𝑦. Então, esta área seria 𝑥 vezes 𝑦, então chamá-lo-emos de 𝑥𝑦. Agora temos três dos retângulos 𝑥, dois dos retângulos 𝑦 e um dos retângulos 𝑥𝑦. Então, temos que escrever isto assim. Não podemos simplificar ainda mais. É apenas uma declaração dos nossos três tipos diferentes de retângulo, 𝑥s, 𝑦s e 𝑥𝑦s. E isso diz-nos quantos de cada um temos.

Agora, adicionamos à mistura três retângulos 𝑦 por 𝑦, retângulos 𝑦 ao quadrado e um retângulo 𝑥 por 𝑥, portanto, um retângulo 𝑥 ao quadrado. Então agora temos três 𝑥 mais dois 𝑦 mais 𝑥𝑦 mais 𝑥 ao quadrado e três dos retângulos 𝑦 ao quadrado. Então, esperançosamente, podemos ver que um 𝑥 é bem diferente de um 𝑥 ao quadrado. E 𝑦 é bem diferente de 𝑦 ao quadrado. E um 𝑥𝑦 é algo completamente diferente novamente. É por isso que precisamos de escrevê-los separadamente na nossa expressão algébrica aqui em baixo.

Agora, vamos dar uma olhadela em algumas expressões que envolvem parênteses. Por exemplo, simplifique cinco vezes 𝑥 mais dois mais sete vezes 𝑥 mais dois. E isso realmente significa que temos cinco vezes 𝑥 mais dois. Imagine um retângulo 𝑥 mais dois de tamanho. E nós temos sete vezes 𝑥 mais dois. Então, temos cinco destes retângulos 𝑥 mais dois, e temos mais sete destes retângulos 𝑥 mais dois. Então, 𝑥 mais dois entre parênteses são termos semelhantes. E cinco de algo mais sete de algo fazem 12 de algo. Então, temos 12 vezes 𝑥 mais dois.

Agora podemos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para dizer que significa 12 vezes 𝑥 mais 12 vezes dois. E podemos escrever isto algebricamente como 12𝑥, abreviação de 12 vezes 𝑥. E 12 vezes dois é 24, então 12𝑥 mais 24.

Agora, poderíamos ter aplicado a propriedade distributiva anteriormente nesta questão. Então, isso significaria cinco vezes 𝑥 e cinco vezes dois e sete vezes 𝑥 e sete vezes dois. Portanto, será cinco 𝑥 mais 10 mais sete 𝑥 mais 14, o que significa que agora podemos juntar os termos semelhantes. Cinco 𝑥 e sete 𝑥 são termos semelhantes. E depois os números sozinhos, 10 mais 14, o que nos dá 12𝑥 mais 24. Portanto, dá-nos a mesma resposta.

Mas, percebendo o facto de termos este termo semelhante aqui, 𝑥 mais dois. Isso significava que só tínhamos que distribuir um lote aqui, em vez de dois lotes aqui. Portanto, este método envolveu um pouco mais de trabalho. Nos poupamos um pouco de trabalho, identificando este termo aqui, em primeiro lugar, entre parênteses.

Agora, algumas expressões contêm parênteses, que, quando as examinamos cuidadosamente, podem realmente ser removidas. Por exemplo, simplifique cinco mais parênteses 11𝑥 mais 12, feche parênteses. Agora, como esta expressão utiliza a adição em dois sítios, e a adição é associativa, obteremos o mesmo resultado se adicionarmos o resultado de 11𝑥 mais 12 a cinco como se adicionássemos 12 ao resultado de cinco mais 11𝑥. Portanto, os parênteses estão a dizer-nos para fazer o cálculo de uma maneira. Mas não faz diferença se fizermos o contrário. Eles são apenas redundantes. Para que possamos apagá-los.

E agora temos dois termos numéricos semelhantes. E cinco e 12 dá-nos 17. Portanto, a nossa resposta é 17 mais 11𝑥, ou como algumas pessoas preferem escrever com o termo da letra primeiro 11𝑥 mais 17.

Agora, uma última coisa antes de partirmos. Lidamos com termos quantitativos positivos e negativos, como três 𝑥, menos cinco 𝑦, menos 12𝑦 ao quadrado e assim por diante. Mas também podemos lidar com quantidades fracionárias de termos da mesma maneira. Por exemplo, metade 𝑥 mais outra metade de 𝑥, bem, duas metades da mesma coisa dão-nos um todo da mesma coisa. Então um meio 𝑥 mais um meio 𝑥 é um 𝑥, ou apenas 𝑥, como escreveríamos agora mais normalmente.

Assim, por exemplo, se tivermos de simplificar menos um terço 𝑥 mais dois terços 𝑥 mais um quarto mais dois terços 𝑥 mais um meio, podemos identificar os nossos termos semelhantes. Então, reuniremos todos os termos em 𝑥. E reuniremos os termos numéricos também. Portanto, temos menos um terço 𝑥 mais dois terços 𝑥 mais outros dois terços 𝑥 mais um quarto mais um meio.

Vamos pensar nestes termos com 𝑥 então. Estamos a começar com menos um terço de um 𝑥. E estamos a adicionar dois terços de um 𝑥. Então, um terço, dois terços de um 𝑥 traz-nos até aqui. E depois adicionamos mais dois terços de um 𝑥. Então, nós vamos um, dois terços de um 𝑥 vai trazer-nos aqui, a uma. Então, é um 𝑥, ou apenas 𝑥. E depois temos um quarto mais um meio. Bem, um meio é dois quartos. Portanto, temos um quarto mais dois quartos, que é três quartos. Portanto, as mesmas regras se aplicam. Mesmo que tenha frações, ainda poderá juntar ou combinar termos semelhantes em expressões algébricas para simplificá-las.

Então, finalmente, apenas para resumir o que aprendemos, podemos simplificar expressões algébricas combinando ou juntando termos semelhantes. Por exemplo, três 𝑥 menos 12 𝑦 mais sete 𝑥 mais dois 𝑦. Podemos tratar os termos com 𝑥 como termos semelhantes e os termos com 𝑦 como termos semelhantes. E três 𝑥 mais sete 𝑥 dá-nos 10𝑥, enquanto menos 12𝑦 mais dois 𝑦 dá-nos menos 10𝑦.

Mas lembre-se, termos com diferentes expoentes ou potências não são termos semelhantes. Por exemplo, cinco 𝑥 mais sete 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos três 𝑥 ao quadrado têm cinco 𝑥 e menos dois 𝑥 como termos semelhantes e sete 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 ao quadrado como termos semelhantes. Então, quando os combino, cinco 𝑥 menos dois 𝑥 dá-nos três 𝑥. E sete 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 ao quadrado nos dá quatro 𝑥 ao quadrado. É como se 𝑥 ao quadrado seja uma letra diferente de 𝑥. Pense nos retângulos de tamanhos diferentes que mostrámos anteriormente quando tivemos a representação visual disso. Estamos a reunir todos os retângulos de tamanho 𝑥 e todos os retângulos de tamanho 𝑥 ao quadrado.

E, finalmente, às vezes há parênteses inteiros que contêm termos semelhantes. Por exemplo, três vezes 𝑥 menos dois mais cinco vezes 𝑥 menos dois menos duas vezes 𝑥 menos dois. Estes termos são todos múltiplos de 𝑥 menos dois. Então, temos três deles e outros cinco. Mas estamos tirando dois deles, o que nos deixa com seis destes 𝑥 menos dois. Isto significa que posso aplicar a propriedade distributiva apenas uma vez no final da questão para obter seis 𝑥 menos 12. Em vez de três vezes antes na questão e depois tendo que reunir muitos e muitos termos juntos. Às vezes, detetar este facto pode poupar-nos um pouco de trabalho.

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