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Neste vídeo, veremos como simplificar expressões algébricas combinando termos
semelhantes. Examinaremos expressões que contêm números e letras e combinações de letras e pensar sobre
o efeito dos parênteses em algumas expressões.
Podemos simplificar expressões algébricas combinando ou juntando termos semelhantes. Por exemplo, todos os números sozinhos, todos os 𝑥, todos os 𝑦 e assim por diante.
Portanto, simplifica dois mais três 𝑥 mais dois 𝑦 menos 𝑥 mais cinco 𝑦 mais quatro 𝑥
menos três 𝑦 mais sete. Então, pensando primeiro nos termos puramente numéricos, temos dois e sete. E, em seguida, olhando para os termos em 𝑥, temos mais três 𝑥, menos 𝑥 e mais quatro
𝑥. E isso deixa-nos com os nossos termos em 𝑦, mais dois 𝑦, mais cinco 𝑦 e menos três
𝑦. Algumas pessoas acham útil utilizar um sistema de código de cores ou um sistema de símbolos
diferentes para monitorizar os termos semelhantes que se encontraram e que se utilizaram até
agora e os que não.
Então, lidando com os termos puramente numéricos primeiro, dois mais sete é igual a
nove. Agora, temos os nossos termos em 𝑥. Temos três 𝑥 menos 𝑥 é dois 𝑥, mais quatro 𝑥 é seis 𝑥, então isto é mais seis 𝑥. Em seguida, os termos em 𝑦, temos dois 𝑦 mais cinco 𝑦 é sete 𝑦, menos três 𝑦 é mais
quatro 𝑦. E a maioria das pessoas tende a colocar os termos com letras em primeiro lugar e os termos
puramente numéricos no final desta expressão. Então, vamos dizer que é seis 𝑥 mais quatro 𝑦 mais nove.
Mas, às vezes, os termos envolvem termos mais complexos, como 𝑥𝑦 ou 𝑦 ao cubo. E também precisamos de ser capazes de identificar termos semelhantes nestas expressões.
Por exemplo, simplifica três 𝑥 mais quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥𝑦 mais sete 𝑦 ao
quadrado menos dois 𝑥 mais cinco 𝑦𝑥 menos 𝑦 ao cubo menos dois 𝑥 ao quadrado.
Agora, nesta expressão, existem dois termos, três 𝑥 e menos dois 𝑥, que são números puros
vezes 𝑥. Então, vamos coloca-los primeiro. E a seguir, se procurarmos os termos 𝑥 ao quadrado, temos mais quatro 𝑥 ao quadrado e
menos dois 𝑥 ao quadrado. Agora vamos procurar por termos 𝑥𝑦. Bem, há menos dois 𝑥𝑦. Mas também há mais cinco 𝑦𝑥. E como a multiplicação é comutativa, isso significa que 𝑦𝑥 é o mesmo que 𝑥𝑦. Então, eu vou escrever cinco 𝑦𝑥 como cinco 𝑥𝑦.
Em seguida, temos termos 𝑦 ao quadrado. Bem, há apenas um destes, sete 𝑦 ao quadrado. E lidamos com os outros, além de 𝑦 ao cubo. Então, acabámos de obter o menos 𝑦 ao cubo. Assim, termos semelhantes são termos que são apenas múltiplos simples da mesma letra, ou a
mesma letra com a mesma potência ou expoente, ou a mesma combinação de letras multiplicadas
em conjuntos, então 𝑥𝑦, 𝑦𝑥. E três 𝑥 menos dois 𝑥 é apenas um 𝑥, ou apenas 𝑥. Quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 ao quadrado, deixando-nos com dois 𝑥 ao quadrado.
Agora, se começarmos com menos dois 𝑥𝑦 e depois adicionarmos mais cinco 𝑥𝑦, acabaremos
com mais três 𝑥𝑦. Então, temos apenas sete 𝑦 ao quadrado e menos 𝑦 ao cubo. Agora, nenhum destes termos é semelhante, e esta é a nossa resposta. Portanto, é quase como se 𝑥 fosse tratado como uma letra diferente de 𝑥 ao quadrado. E é tratado como uma letra diferente para 𝑥𝑦 e 𝑦 ao quadrado e 𝑦 ao cubo, e assim por
diante.
Vamos analisar isto visualmente e ver por que definimos o termo "termos semelhantes" desta
maneira específica. Imagina que temos alguns retângulos um por 𝑥 e alguns retângulos um por 𝑦. Portanto, um retângulo um por 𝑥, um vezes 𝑥, tem uma área de 𝑥. Então, vamos chamar estes de 𝑥. E um por 𝑦, um vezes 𝑦, tem uma área de 𝑦. Então, estes são os retângulos 𝑦.
Então, eu tenho três retângulos 𝑥 e dois retângulos 𝑦. Então, podemos escrever isto como três 𝑥 mais dois 𝑦. Agora, os retângulos 𝑥 têm um tamanho diferente dos retângulos 𝑦. Então, não podemos combiná-los. É apenas uma afirmação do facto de termos três do tipo 𝑥 e dois do tipo 𝑦.
Agora vamos adicionar um retângulo 𝑥 por 𝑦. Então, esta área seria 𝑥 vezes 𝑦, então chamaremos este de 𝑥𝑦. Agora temos três dos retângulos 𝑥, dois dos retângulos 𝑦 e um dos retângulos 𝑥𝑦. Então, temos que escrever isto assim. Não podemos simplificar isto ainda mais. É apenas uma afirmação dos nossos três tipos diferentes de retângulo, 𝑥, 𝑦 e 𝑥𝑦. E isto diz-nos quantos de cada um temos.
Agora, adicionamos à mistura três retângulos 𝑦 por 𝑦, retângulos 𝑦 ao quadrado e um
retângulo 𝑥 por 𝑥, de modo que um retângulo 𝑥 ao quadrado. Então, agora temos três 𝑥 mais dois 𝑦 mais 𝑥𝑦 mais um 𝑥 ao quadrado e três dos
retângulos 𝑦 ao quadrado. Então, esperançosamente, podemos ver que um 𝑥 é bem diferente de um 𝑥 ao quadrado. E 𝑦 é bem diferente de 𝑦 ao quadrado. E um 𝑥𝑦 é algo completamente diferente novamente. É por isso que precisamos de escrevê-los separadamente na nossa expressão algébrica aqui em
baixo.
Agora, vamos dar uma olhadela em algumas expressões que envolvem parênteses.
Por exemplo, simplifica cinco vezes 𝑥 mais dois mais sete vezes 𝑥 mais dois. E isso realmente significa que temos cinco lotes de 𝑥 mais dois. Imagina um retângulo 𝑥 mais dois. E temos sete lotes de 𝑥 mais dois. Então, temos cinco destes retângulos 𝑥 mais dois, e temos mais sete destes retângulos 𝑥
mais dois. Então, 𝑥 mais dois entre parênteses são termos semelhantes. E cinco de algo mais outros sete fazem 12 de algo. Então, temos 12 lotes de 𝑥 mais dois.
Agora podemos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para dizer que significa
12 vezes 𝑥 mais 12 vezes dois. E podemos escrever isto algebricamente como 12𝑥, abreviação de 12 vezes 𝑥. E 12 vezes dois é 24, então 12𝑥 mais 24.
Agora, poderíamos ter aplicado a propriedade distributiva anteriormente nesta questão. Então, isto significaria cinco vezes 𝑥 e cinco vezes dois e sete vezes 𝑥 e sete vezes
dois. Portanto, será cinco 𝑥 mais 10 mais sete 𝑥 mais 14, o que significa que agora podemos
reunir os termos semelhantes. Cinco 𝑥 e sete 𝑥 são termos semelhantes. E, em seguida, os números sozinhos, 10 mais 14, o que nos dá 12𝑥 mais 24. Portanto, dá-nos a mesma resposta.
Mas identificando o facto de termos o termo semelhante aqui, 𝑥 mais dois. Isso significava que só tínhamos que distribuir um lote aqui, em vez de dois lotes
aqui. Portanto, este método envolveu um pouco mais de trabalho. Poupámos um pouco de trabalho, identificando este termo semelhante aqui, em primeiro lugar,
entre parênteses.
Agora, algumas expressões contêm parênteses, que, quando as examinamos cuidadosamente,
podem na verdade ser retirados.
Por exemplo, simplifica cinco mais parênteses mais 11𝑥 mais 12, fecha parênteses. Agora, como esta expressão utiliza a adição em dois lugares, e a adição é associativa,
obteremos o mesmo resultado se adicionarmos o resultado de 11𝑥 mais 12 a cinco, como se
adicionarmos 12 ao resultado de cinco mais 11𝑥. Portanto, os parênteses estão a dizer-nos para fazer o cálculo de uma maneira. Mas não faz diferença se fizermos o contrário. Estes são apenas redundantes. Pelo que podemos apagá-los.
E agora temos dois termos numéricos semelhantes. E cinco e 12 dá-nos 17. Portanto, a nossa resposta é 17 mais 11𝑥, ou como algumas pessoas preferem escrever com o
termo com a letra primeiro, 11𝑥 mais 17.
Agora, uma última coisa antes de terminarmos. Lidamos com termos quantitativos positivos e negativos, como três 𝑥, menos cinco 𝑦, menos
12 𝑦 ao quadrado e assim por diante. Mas também podemos lidar com quantidades fracionárias de termos da mesma forma. Por exemplo, um meio 𝑥 mais outro um meio de 𝑥, bem, dois meios da mesma coisa dá-nos um
inteiro da mesma coisa. Então, um meio 𝑥 mais um meio 𝑥 é um 𝑥, ou apenas 𝑥, como escreveríamos agora mais
normalmente.
Assim, por exemplo, se precisarmos simplificar menos um terço 𝑥 mais dois terços 𝑥 mais
um quarto mais dois terços 𝑥 mais um meio, podemos identificar os nossos termos
semelhantes. Então, reuniremos todos os termos. E reuniremos os termos numéricos também. Portanto, temos menos um terço 𝑥 mais dois terços 𝑥 mais outros dois terços 𝑥 mais um
quarto e um meio.
Vamos pensar nestes termos então. Estamos a começar com menos um terço de 𝑥. E estamos a adicionar dois terços de 𝑥. Então, um terço, dois terços de 𝑥 traz-nos até aqui. E depois adicionamos mais dois terços de 𝑥. Então, vamos um, dois terços de 𝑥 vai trazer-nos aqui, a um. Então, este é um 𝑥, ou apenas 𝑥. E, em seguida, temos um quarto mais um meio. Bem, um meio é dois quartos. Então, temos um quarto mais dois quartos, que é três quartos. Portanto, as mesmas regras aplicam-se. Mesmo se tiveres frações, poderás ainda juntar ou combinar termos semelhantes em expressões
algébricas para simplificá-las.
Então, finalmente, apenas para resumir o que aprendemos, podemos simplificar expressões
algébricas combinando ou juntando termos semelhantes. Por exemplo, três 𝑦 menos 12 𝑦 mais sete 𝑥 mais dois 𝑦. Podemos tratar os termos em 𝑥 como termos semelhantes e os termos em 𝑦 como termos
semelhantes. E três 𝑥 mais sete 𝑥 dá-nos 10𝑥, enquanto menos 12 𝑦 mais dois 𝑦 dá-nos menos
10𝑦.
Mas lembre-se, termos com expoentes ou potências diferentes não são termos iguais. Por exemplo, cinco 𝑥 mais sete 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos três 𝑥 ao quadrado têm
cinco 𝑥 e menos dois 𝑥 como termos semelhantes e sete 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 ao
quadrado como termos semelhantes. Então, quando eu os junto, cinco 𝑥 menos dois 𝑥 dá-nos três 𝑥. E sete 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 ao quadrado dá-nos quatro 𝑥 ao quadrado. É como se 𝑥 ao quadrado fosse uma letra diferente de 𝑥. Pense nos retângulos de tamanhos diferentes que apresentámos anteriormente quando tínhamos
a representação visual disto. Estamos a juntar todos os retângulos de tamanho 𝑥 e todos os retângulos de tamanho 𝑥 ao
quadrado.
E, finalmente, às vezes há parênteses que contêm termos semelhantes. Por exemplo, três vezes 𝑥 menos dois mais cinco vezes 𝑥 menos dois menos dois vezes 𝑥
menos dois. Estes termos são todos múltiplos de 𝑥 menos dois. Então, temos três desses e outros cinco. Mas estamos a subtrair dois desses, o que nos deixa com seis desses 𝑥 menos dois. Isso significa que posso aplicar a propriedade distributiva apenas um vez no final da
questão para obter seis 𝑥 menos 12. Em vez de três vezes na questão e, em seguida, ter que reunir muitos e muitos termos
juntos. Às vezes, detetar este facto pode poupar-nos um pouco de trabalho.
