Vídeo: Quadriláteros Inscritos em Circunferências

Neste vídeo, vamos aprender como utilizar propriedades dos quadriláteros inscritos em circunferências para determinar ângulos em falta e identificar se um quadrilátero é inscrito ou não.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, utilizaremos as propriedades dos quadriláteros inscritos para determinar ângulos em falta e também para identificar se um quadrilátero é inscrito ou não.

Começaremos por definir o que queremos dizer com quadrilátero inscrito. Um quadrilátero é uma forma com quatro lados. E um quadrilátero inscrito é um quadrilátero cujos vértices estão todos na circunferência de um único círculo. No nosso diagrama, os vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 estão na circunferência deste círculo. Os quatro ângulos dentro de qualquer quadrilátero somam 360 graus. Isto significa que o ângulo 𝐴 mais o ângulo 𝐵 mais o ângulo 𝐶 mais o ângulo 𝐷 é igual a 360 graus.

Os ângulos opostos num quadrilátero inscrito somam 180 graus. No nosso diagrama, o ângulo 𝐴 mais o ângulo 𝐶 é igual a 180 graus, e o ângulo 𝐵 mais o ângulo 𝐷 também é igual a 180 graus. Como 180 mais 180 é igual a 360, isto satisfaz a primeira propriedade.

Agora, examinaremos algumas questões nas quais determinaremos se um quadrilátero é inscrito ou não.

𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrilátero inscrito?

Em qualquer quadrilátero inscrito, sabemos que os ângulos opostos somam 180 graus. Como os ângulos 𝐴 e 𝐶 são opostos, isso significa que o ângulo 𝐴 mais o ângulo 𝐶 devem ser igual a 180 graus. 79 graus mais 62 graus é igual a 141 graus. Isso significa que o ângulo 𝐴 mais o ângulo 𝐶 não é igual a 180 graus. Portanto, podemos concluir que a resposta é não, 𝐴𝐵𝐶𝐷 não é um quadrilátero inscrito, pois a soma dos ângulos 𝐴 e 𝐶 não é de 180 graus.

Vamos agora olhar para uma segunda questão de um tipo semelhante.

𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrilátero inscrito?

Sabemos que os ângulos opostos num quadrilátero inscrito somam 180 graus. Nesta questão, consideraremos os ângulos opostos 𝐵 e 𝐷. Segue-se que se estes dois ângulos somam 180 graus, então os ângulos 𝐴 e 𝐶 também devem somar 180 graus, pois os quatro ângulos dentro de um quadrilátero somam 360 graus.

Podemos começar esta questão recordando que os três ângulos dentro de qualquer triângulo somam 180 graus. Isso significa que o ângulo 𝐵 mais 48 graus e 29 graus devem ser igual a 180 graus. 48 mais 29 é igual a 77. Subtrair 77 graus a ambos os membros desta equação dá-nos um ângulo 𝐵 igual a 103 graus. Agora podemos voltar à nossa afirmação sobre um quadrilátero inscrito. Sabemos que o ângulo 𝐵 é igual a 103 graus e o ângulo 𝐷 é igual a 77 graus. Na verdade, estes dois somam 180 graus.

Como mencionado anteriormente, se o ângulo 𝐵 mais o ângulo 𝐷 soma 180 graus, então o ângulo 𝐴 mais o ângulo 𝐶 também devem somar 180 graus. Isto acontece porque os quatro ângulos dentro do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 devem somar 360 graus. Portanto, podemos concluir que sim, 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrilátero inscrito.

As nossas próximas questões envolvem o cálculo de ângulos em falta em quadriláteros inscritos.

Determine a medida do ângulo 𝐵𝐶𝐷.

O ângulo 𝐵𝐶𝐷 é o apresentado no diagrama. Os quatro vértices do nosso quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 estão na circunferência do círculo. Isso significa que nosso quadrilátero é inscrito. Sabemos que os ângulos opostos num quadrilátero inscrito somam 180 graus. Isso significa que a soma do ângulo 𝐴 e o ângulo 𝐶 é de 180 graus. Isso também vale para os ângulos 𝐵 e 𝐷.

Sabemos que o ângulo 𝐴 é igual a 78 graus. Subtraindo 78 graus a ambos os membros desta equação dá-nos um ângulo 𝐶 igual a 180 graus menos 78 graus. Este é igual a 102 graus. A medida do ângulo 𝐵𝐶𝐷 no quadrilátero é de 102 graus.

Vamos agora olhar para uma questão um pouco mais complicada.

Dado que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrilátero inscrito, determine a medida do ângulo 𝐵𝐴𝐶.

O ângulo 𝐵𝐴𝐶 está representado no diagrama indicado por 𝑥. As marcas nas retas 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 indicam que estes dois lados são iguais em comprimento. Isso significa que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é isósceles. Um triângulo isósceles tem dois ângulos iguais. Neste caso, o ângulo 𝐵𝐴𝐶 é igual ao ângulo 𝐵𝐶𝐴. Os ângulos opostos num quadrilátero inscrito somam 180 graus. Se o ângulo 𝐴𝐵𝐶 for igual à letra 𝑦, sabemos que este ângulo mais o ângulo 𝐴𝐷𝐶 devem somar 180 graus. 𝑦 mais 61 graus é igual a 180 graus. Subtrair 61 graus a ambos os membros desta equação dá-nos 𝑦 igual a 119 graus.

Sabemos que os ângulos de qualquer triângulo somam 180 graus. Isso significa que 𝑥 mais 𝑥 mais 119 graus devem ser iguais a 180 graus. Simplificar o primeiro membro da equação dá-nos dois 𝑥 mais 119 graus. Quando subtraímos isto de ambos os membros da nova equação, obtemos dois 𝑥 igual a 61 graus. Finalmente, dividir os dois membros da equação por dois dá-nos 𝑥 igual a 30.5 graus. Podemos, portanto, concluir que a medida do ângulo 𝐵𝐴𝐶 é de 30.5 graus.

Vamos agora olhar para um quadrilátero inscrito onde existem duas incógnitas que precisamos de calcular.

Dado que a medida do ângulo 𝐵𝐴𝐷 é 𝑥 mais 34 graus, determine os valores de 𝑥 e 𝑦.

Dizem-nos na questão que o ângulo 𝐵𝐴𝐷 é igual a 𝑥 mais 34 graus. Também observamos no diagrama que o triângulo 𝐵𝐴𝐸 é isósceles, pois os comprimentos 𝐵𝐴 e 𝐵𝐸 são iguais. Isso significa que o ângulo 𝐵𝐴𝐸 é igual ao ângulo 𝐵𝐸𝐴, que é igual a 51 graus. Sabemos que os ângulos de um triângulo somam 180 graus. Isso significa que o ângulo 𝐴𝐵𝐸 mais 51 graus mais 51 graus é igual a 180 graus. 51 mais 51 é igual a 102. E subtrair isso de 180 dá-nos um ângulo 𝐴𝐵𝐸 é 78 graus.

Também sabemos que os ângulos em linha reta somam 180 graus. Isso significa que podemos calcular o ângulo 𝐴𝐵𝐶 dentro do quadrilátero inscrito subtraindo 78 graus de 180 graus. O ângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a 102 graus. O quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscrito, pois todos os quatro vértices estão na circunferência de um círculo. Sabemos que ângulos opostos em qualquer quadrilátero inscrito somam 180 graus. Isso significa que 𝑥 mais 102 é igual a 180 e 𝑦 mais 𝑥 mais 34 também é igual a 180.

Como acabámos de mencionar olhando para os ângulos nos vértices 𝐵 e 𝐷, temos a equação 𝑥 mais 102 graus igual a 180 graus. Subtrair 102 de ambos os membros desta equação dá-nos 𝑥 é igual a 78 graus. Os ângulos dos vértices 𝐴 e 𝐶 também somam 180 graus. 78 mais 34 é igual a 112. Subtrair isto de ambos os membros da equação dá-nos 𝑦 é igual a 68 graus. Os valores de 𝑥 e 𝑦, respetivamente, são de 78 graus e de 68 graus. Poderíamos verificar isto adicionando os quatro ângulos dentro do quadrilátero, que devem somar 360 graus.

Agora, veremos alguns dos principais pontos deste vídeo. Um quadrilátero inscrito tem todos os quatro vértices na circunferência de um círculo. Os ângulos opostos num quadrilátero inscrito somam 180 graus. Este é um dos nossos principais resultados de circunferências que serão testados nos exames. Este facto pode ser utilizado juntamente com outras propriedades de ângulos que conhecemos, como vimos neste vídeo. Isto pode incluir ângulos num triângulo e ângulos em linha reta. Ambos somam 180 graus. A propriedade pode ser vista no diagrama, como apresentado, em que o ângulo 𝐴 mais o ângulo 𝐶 é igual a 180 graus e o ângulo 𝐵 mais o ângulo 𝐷 também é igual a 180 graus. A soma dos quatro ângulos em qualquer quadrilátero é igual a 360 graus.

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