Vídeo: Aplicações das Derivadas em Movimentos Retilíneos

Neste vídeo, vamos aprender a aplicar derivadas a problemas de movimento retilíneo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender como aplicar procedimentos para determinar derivadas em problemas que envolvem movimento retilíneo. Começaremos por recapitular os métodos para derivar funções polinomiais em 𝑥 e a regra em cadeia antes de considerar como a derivação se liga ao movimento retilíneo. Em seguida, analisaremos vários exemplos que demonstram essas técnicas e como descobrir se precisa de aplicar cálculo ou não.

As técnicas de cálculo que utilizaremos neste vídeo são as seguintes. Precisamos de saber que a derivada de uma potência de 𝑥, digamos 𝑎𝑥 elevado a 𝑛, para as constantes 𝑎 e 𝑛 é 𝑛 vezes 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Por exemplo, a derivada de quatro vezes 𝑥 elevado a sete é sete vezes quatro 𝑥 elevado a sete menos um que é seis. E isto é, claro, 28𝑥 elevado a seis. Também utilizaremos a regra em cadeia que nos permite derivar uma função de uma função. Esta diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 em si é uma função em 𝑥 então d𝑦 sobre d𝑥 é igual a d𝑦 sobre d𝑢 vezes d𝑢 sobre d𝑥.

Então, como é que o cálculo se liga a movimentos, em particular o movimento retilíneo? Isso é movimento ao longo de uma linha reta. Vamos relembrar as definições de deslocamento, velocidade e aceleração. Deslocamento é o vetor que descreve a posição de um objeto longe de um determinado ponto de partida. Velocidade é então a taxa de variação de deslocamento desse objeto em ordem ao tempo. E aceleração é a taxa de variação da velocidade desse objeto em ordem ao tempo. Isso significa que, se definirmos 𝑠 como uma função que mede o deslocamento no instante de tempo 𝑡, isso significa que a velocidade deve ser a derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡. É 𝑠 linha de 𝑡.

De forma semelhante, podemos dizer que se 𝑣 é uma função que mede a velocidade no instante de tempo 𝑡, então a aceleração é a derivada de 𝑣 em ordem a 𝑡. É 𝑣 linha de 𝑡. Como definimos 𝑣 como sendo 𝑠 linha de 𝑡, podemos dizer que a aceleração também é a segunda derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡. Isso é 𝑠 duas linhas de 𝑡. E, na verdade, como a integração é o processo oposto ou o processo inverso à diferenciação, podemos desenhar um pequeno diagrama de fluxo para mostrar a relação entre deslocamento, velocidade e aceleração. Vale lembrar que distância e velocidade são quantidades escalares, às vezes chamadas de módulo do deslocamento e da velocidade, respetivamente. Vamos agora dar uma olhadela em vários exemplos que demonstram essas ideias.

Uma partícula move-se retilineamente, de modo que o seu deslocamento 𝑠 metros após 𝑡 segundos é dado por 𝑠 igual a quatro 𝑡 ao cubo menos 55𝑡 ao quadrado mais 208 𝑡. a) Determine a velocidade da partícula em 𝑡 igual a oito segundos. E b) Determine o intervalo de tempo durante o qual a velocidade da partícula está a diminuir.

Lembre-se de que velocidade é a taxa de variação do deslocamento de um objeto. Podemos, portanto, dizer que 𝑣 deve ser igual à derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡, que é d𝑠 sobre d𝑡. Portanto, para determinar a velocidade da partícula nesta questão, precisamos de derivar 𝑠 em ordem a 𝑡. Lembramos que a derivada de uma potência de 𝑥, digamos 𝑎𝑥 elevado a 𝑛, para as constantes 𝑎 e 𝑛 é 𝑛 vezes 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Lembramos também que a derivada da soma de um número de termos é igual à soma das derivadas de cada um desses termos.

Em seguida, derivamos cada termo em ordem a 𝑡. A derivada de quatro 𝑡 ao cubo é três vezes quatro 𝑡 ao quadrado, o que é 12𝑡 ao quadrado. A derivada de menos 55𝑡 ao quadrado é duas vezes menos 55𝑡 elevado a um. Isto é menos 110𝑡. E a derivada de 208𝑡 é apenas 208. Portanto, a velocidade no instante 𝑡 segundos é dada por 12𝑡 ao quadrado menos 110𝑡 mais 208. Podemos determinar a velocidade aos oito segundos, substituindo oito nesta função. E vemos que é 12 vezes oito ao quadrado menos 110 vezes oito mais 208, que é 96. E como o deslocamento é medido em metros e o tempo em segundos, a velocidade é de 96 metros por segundo.

E a parte b)? Para uma função estar a diminuir, a sua derivada deve ser menor que zero. A derivada de 𝑣 em ordem a 𝑡 é 24𝑡 menos 110. Portanto, o nosso trabalho é descobrir onde a função 24𝑡 menos 110 é menor que zero. Bem, como fazemos isso? Como resolvemos esta desigualdade linear? Podemos resolver esta desigualdade resolvendo como faríamos com qualquer equação linear. Adicionamos 110 a ambos os membros para ver que 24𝑡 é menor que 110. E dividimos por 24. E vemos que 𝑡 é menor que 110 sobre 24 o que simplifica para 55 sobre 12. O intervalo de tempo durante o qual a velocidade desta partícula está a diminuir é 𝑡 menor que 55 em 12 segundos.

No próximo exemplo, consideraremos como precisamos de mudar os nossos processos ao lidar com a velocidade média.

Uma partícula está a mover-se em linha reta, de modo que a sua posição 𝑟 metros em relação à origem no instante 𝑡 segundos é dada por 𝑟 igual a 𝑡 ao quadrado mais três 𝑡 mais sete. Determine a velocidade média da partícula entre 𝑡 igual a dois segundos e 𝑡 é igual a quatro segundos.

Observe como, neste exemplo, temos uma posição para a partícula em relação à origem e pedem-nos para determinar a sua velocidade média. A velocidade média é definida como o deslocamento total dividido pelo tempo total. Então, em vez de derivar isto, podemos simplesmente aplicar esta definição. O deslocamento será a variação total na posição da partícula entre 𝑡 igual a dois segundos e 𝑡 igual a quatro segundos. Portanto, substituímos 𝑡 igual a dois e 𝑡 igual a quatro na fórmula para a posição do objeto e determinamos a diferença entre estes para determinar o deslocamento total entre os dois e os quatro segundos.

A posição aos quatro segundos é quatro ao quadrado mais três vezes quatro mais sete, que é 35. E aos dois segundos édois ao quadrado mais três vezes dois mais sete, que é 17. Entre dois segundos e quatro segundos, então, o deslocamento da partícula é 18 metros. O tempo gasto é simplesmente a diferença entre quatro segundos e dois segundos, ou seja, dois segundos. E assim a velocidade média da partícula é de 18 sobre dois, ou seja, nove metros por segundo.

Este exemplo demonstra que o cálculo não é necessário para resolver problemas que envolvem velocidade média de uma função para posição e que, na verdade, somos obrigados a utilizar o cálculo ao analisar problemas que envolvem velocidade instantânea.

No nosso próximo exemplo, voltaremos a analisar como o cálculo pode nos ajudar a resolver problemas que envolvem movimento retilíneo.

Uma partícula está a mover-se retilineamente, de modo que o seu deslocamento 𝑠 em metros é dado em função do tempo 𝑡 em segundos por 𝑠 igual a cinco 𝑡 ao cubo menos 84𝑡 ao quadrado mais 33𝑡, pois 𝑡 é maior ou igual a zero. Determine o módulo da aceleração da partícula quando a velocidade é zero.

Aqui, temos uma função para o deslocamento de uma partícula em 𝑡 segundos. Lembramos que, dada a nossa função para 𝑠 em termos de 𝑡, 𝑣 pode ser obtida derivando-a em ordem a 𝑡. E a seguir, 𝑎, a aceleração, pode ser determinada derivando novamente. Isto é d𝑣 sobre d𝑡 ou, alternativamente, a segunda derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡. Então, para começar, vamos determinar a segunda derivada da nossa função 𝑠. Podemos determinar a primeira derivada derivando cada termo de cada vez. Isto é três vezes cinco 𝑡 ao quadrado menos dois vezes 84𝑡 mais 33. E isto é 15𝑡 ao quadrado menos 168𝑡 mais 33.

A seguir, derivamos mais uma vez para determinar uma expressão para a aceleração. É dois vezes 15𝑡 menos 168, o que simplifica para 30𝑡 menos 168. E agora temos expressões para a velocidade e a aceleração no instante 𝑡 segundos. E agora? Estamos à procura de determinar o módulo da aceleração quando a velocidade é igual a zero. Então, vamos estabelecer a nossa equação para a velocidade igual a zero e resolver em ordem a 𝑡. Podemos resolver isto fatorizando. E quando o fazemos vemos cinco 𝑡 menos um vezes três 𝑡 menos 33 igual a zero. Para que esta afirmação seja verdadeira, cinco 𝑡 menos um deve ser igual a zero ou três 𝑡 menos 33 devem ser iguais a zero. E se resolvermos cada um destes em ordem a 𝑡, vemos que 𝑡 é igual a um quinto ou 𝑡 é igual a 11. E a velocidade é igual a zero nesses instantes de tempo.

Vamos ver o que acontece quando substituímos estes valores por 𝑡 na equação de aceleração. Quando 𝑡 é igual a um quinto, a aceleração é igual a 30 vezes um quinto menos 168, o que é menos 162. Quando 𝑡 é igual a 11, a aceleração é 30 vezes 11 menos 168, que, desta vez, é 162. Lembre-se de que fomos solicitados determinar o módulo da aceleração; esta é quantidade. Então, aqui o sinal negativo é irrelevante. Podemos dizer então que o módulo da aceleração quando 𝑣 é igual a zero é de 162 metros por segundo quadrado.

No próximo exemplo, consideraremos como determinar a derivada nos pode ajudar a determinar a natureza do movimento de uma partícula.

Uma partícula move-se em uma linha reta, de modo que, no instante 𝑡 segundos, o seu deslocamento de um ponto fixo na linha é dado por 𝑠 igual a 𝑡 ao cubo menos 𝑡 ao quadrado menos três metros, quando 𝑡 é maior ou igual a zero. Determine se a partícula está a acelerar ou a desacelerar quando 𝑡 é igual a dois segundos.

Aqui, temos uma função para o deslocamento de uma partícula em 𝑡 segundos. Para determinar uma equação para a aceleração, precisaremos de determinar a segunda derivada dessa função. Vamos começar por determinar a primeira derivada d𝑠 sobre d𝑡 que representa a velocidade em 𝑡 segundos. A derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡 é três 𝑡 ao quadrado menos dois 𝑡. Derivamos mais uma vez para determinar a aceleração. E vemos que a aceleração aos 𝑡 segundos é seis 𝑡 menos dois. Queremos determinar a natureza da aceleração em 𝑡 igual a dois segundos. Por outras palavras, está a acelerar ou a desacelerar? Substituiremos 𝑡 igual a dois na equação da aceleração. Isto é seis vezes dois menos dois, que é 10.

Por si só, isto não é suficiente para estabelecer se a partícula está a acelerar ou a desacelerar, pois não sabemos em que direção se está a mover. Então, vamos calcular a velocidade em 𝑡 igual a dois segundos. Isto é três vezes dois ao quadrado menos duas vezes dois, que é oito. Como a velocidade e a aceleração são positivas em 𝑡 igual a dois segundos, sabemos que estão a agir no mesmo sentido. Portanto, a partícula em si deve estar a acelerar quando 𝑡 é igual a dois.

No nosso último exemplo, veremos como a regra em cadeia nos pode ajudar a resolver problemas que envolvem movimento retilíneo.

Uma partícula move-se ao longo do eixo O𝑥. Quando o deslocamento a partir da origem é de 𝑠 metros, a sua velocidade é dada por 𝑣 igual a quatro sobre três mais 𝑠 metros por segundo. Determine a aceleração da partícula quando 𝑠 for igual a três metros.

Aqui, temos uma função para a velocidade em termos de 𝑠. Pedem-nos para determinar a aceleração. Agora, a aceleração é definida como a variação da velocidade em ordem ao tempo ou a derivada de 𝑣 em ordem a 𝑡. Não podemos derivar facilmente 𝑣 em ordem a 𝑡 sem realizar um passo extra. Então, vamos utilizar a diferenciação implícita. Derivamos ambos os membros da nossa equação em ordem a 𝑡. E à esquerda, temos d𝑣 sobre d𝑡. À direita, temos d sobre d𝑡 de quatro sobre três mais 𝑠.

Para tornar isto mais fácil, vamos mudar isto para quatro vezes três mais 𝑠 elevado a menos um. E assim a derivada desta expressão em ordem a 𝑡 é igual à derivada desta em ordem a 𝑠 vezes d𝑠 sobre d𝑡. Em seguida, utilizamos a regra das potências na extensão da regra em cadeia. E vemos que a derivada de quatro vezes três mais 𝑠 elevado a menos um em ordem a 𝑠 é menos quatro vezes três mais 𝑠 elevado a menos dois. E assim vemos que d𝑣 sobre d𝑡 é igual a menos quatro vezes três mais 𝑠 elevado a menos dois vezes d𝑠 sobre d𝑡. Podemos escrever três mais 𝑠 elevado a menos dois como um sobre três mais 𝑠 ao quadrado. Mas também sabemos que d𝑠 sobre d𝑡 é 𝑣. Então, podemos ver que temos uma expressão para a aceleração em termos de 𝑣 e 𝑠.

Precisamos de calcular isto quando 𝑠 é igual a três. Então, vamos começar por calcular 𝑣 quando 𝑠 é igual a três. Quando 𝑠 é igual a três, 𝑣 é igual a quatro sobre três mais três, o que simplifica para dois terços. E quando 𝑠 é igual a três, a aceleração é, portanto, menos quatro sobre três mais três tudo ao quadrado vezes dois terços, o que é igual a menos dois sobre 27 metros por segundo quadrado.

Este exemplo demonstra um resultado raramente utilizado, mas útil. Quando dada uma função para 𝑣 em termos de 𝑠, podemos dizer que a derivada de 𝑣 em ordem a 𝑡 é igual à derivada de 𝑣 em ordem a 𝑠 vezes d𝑠 sobre d𝑡.

Neste vídeo, vimos que podemos utilizar o cálculo para derivar equações que podem ser utilizadas para descrever o movimento de um objeto em termos das suas três variáveis ​​cinemáticas 𝑠, 𝑣 e 𝑡. Aprendemos que, dada a equação do deslocamento 𝑠 em termos de 𝑡, a sua velocidade é d𝑠 sobre d𝑡, a sua aceleração é d𝑣 sobre d𝑡, que também pode ser expressa como a segunda derivada de 𝑠 em ordem a 𝑡. Também vimos que podemos determinar uma expressão para a aceleração dada uma função 𝑣 em termos de 𝑠 utilizando a regra em cadeia, de modo que d𝑣 sobre d𝑡 seja igual a d𝑣 sobre d𝑠 vezes d𝑠 sobre d𝑡.

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