Vídeo: Solução de Divisão Circular

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Solução de Divisão Circular

08:52

Transcrição do vídeo

No meu último vídeo, fiz a seguinte pergunta: se você pegar 𝑛 pontos em um círculo, conecte cada par deles com uma linha, em quantas seções essas linhas cortam o círculo?

O que era estranho é que quando 𝑛 é menor que seis e quando 𝑛 é 10 por algum motivo, a resposta é sempre uma potência de dois. Mas para todos os outros valores de 𝑛, a resposta parece completamente não relacionada as potências de dois.

O que eu amo nesse problema é que ele reúne muitos conceitos diferentes: funções de contagem, gráficos, uma das equações mais famosas de Euler e o triângulo de Pascal.

Você pode estar se perguntando se a alteração do posicionamento dos pontos altera o número de seções. Na verdade, pode! Por exemplo, observe como a pequena região no meio desaparece se ajustarmos as coisas para que as três linhas passem pelo mesmo ponto.

Mas se adicionarmos a restrição, então não há três linhas que possam passar pelo mesmo ponto. O número de seções depende apenas do número de pontos, não do posicionamento deles, como você está prestes a ver.

Eu acho que é justo chamar isso de um problema difícil. E na solução de problemas difíceis, é uma boa ideia fazer perguntas mais simples sobre a mesma configuração. Neste caso, tenho duas perguntas para você: 1) Quantas linhas existem? e 2) em quantos pontos essas linhas se cruzam dentro do círculo?

Para a primeira questão, cada linha corresponde unicamente a um par de pontos. E da mesma forma, cada par de pontos nos dá uma linha única.

Felizmente, contar o número de pares em um conjunto é bastante comum em matemática e temos uma notação específica para isso: “𝑛 escolher dois”, que calculamos como 𝑛 vezes 𝑛 menos um dividido por dois.

Para ver de onde vem esta fórmula, observe que você tem 𝑛 opções para o primeiro elemento do par, que multiplicamos por 𝑛 menos uma das opções restantes para o segundo elemento. Mas isso duplicaria a contagem de cada par, então dividimos por dois.

Por exemplo, quando 𝑛 é igual a sete, sete escolher dois é sete vezes seis sobre dois ou 21. Portanto, há 21 pares de pontos e, portanto, 21 linhas.

Se tivermos cem pontos; contar linhas diretamente seria um pesadelo. Mas podemos calcular como 100 escolher dois, que é 100 vezes 99 dividido por dois, ou 4950.

O número de pontos de interseção é um pouco mais sutil. Enquanto cada ponto de intersecção corresponde a um par único de linhas, existem muitos pares de linhas que não se cruzam no círculo. Então, não podemos contar apenas os pares de linhas. O que podemos fazer é associar cada ponto de intersecção a um conjunto de quatro pontos no círculo.

Já que esta associação ocorre de outra maneira, cada quádruplo de pontos dá um único ponto de interseção. Apenas olhe isso! Não é tão elegante? Isso significa que o número de pontos de interseção é o mesmo que o número de quádruplos dos nossos 𝑛 pontos iniciais.

A função 𝑛 escolher quatro conta quádruplos em um conjunto de tamanho 𝑛. E vamos calculá-lo tomando 𝑛 vezes 𝑛 menos um vezes 𝑛 menos dois vezes 𝑛 menos três, tudo dividido por uma vez dois vezes três vezes quatro.

A derivação dessa fórmula é semelhante à de 𝑛 escolher dois. Você multiplica 𝑛, o número de opções que você tem para cada entrada sucessiva. Então, divide pela extensão em que você contou a mais.

Por exemplo, com 𝑛 é igual a quatro, quatro escolher quatro é um. E, de fato, há apenas um ponto de interseção. Seis escolher quatro é 15. Então, quando 𝑛 é igual a seis, há 15 pontos de interseção. E se 𝑛 for 100, mesmo que a perspectiva de contar pontos de intersecção seja horrível, podemos deduzir que haverá 3921225 deles.

Agora, como isso nos ajuda a contar as seções no círculo? Você pode perguntar. Bem, será assim se considerarmos os gráficos e a fórmula de Euler. Não, não, não gráficos de função e não coisas como 𝑒 para 𝜋𝑖.

O gráfico de palavras também pode se referir a um conjunto de pontos, chamados de “vértices”, junto com um conjunto de linhas conectando alguns desses pontos que chamamos de “arestas”. Observe se contamos o número de vértices nesse gráfico, e depois subtrair o número de arestas e, em seguida, adicionar o número de regiões nas quais esse gráfico divide o espaço, junto com essa região externa, obtemos dois. Se fizermos a mesma coisa com esse outro gráfico, bem, obteremos dois novamente.

Isto não é uma coincidência. Você poderia fazer isso com qualquer gráfico. E desde que suas arestas não se cruzem, a resposta é sempre dois. Se as arestas pudessem se cruzar, você poderia simplesmente alterar o número de regiões sem alterar o número de vértices e arestas. Então, é claro, isso seria absurdo.

Essa relação é conhecida como “Fórmula Característica de Euler”. E é fácil ver de onde vem o nome, já que “Euler” é alemão por natureza.

Se você está curioso, a razão pela qual escrevemos 𝐹 para o número de regiões é porque a fórmula tradicionalmente se refere ao número de vértices, arestas e faces de poliedros 3D. Em outro vídeo, explicarei por que isso é verdade. Mas aqui, vamos usá-lo para resolver o problema do nosso círculo.

Nossa configuração já é um gráfico com 𝑛 vértices e 𝑛 escolher duas arestas, uma entre cada par de pontos. Mas não podemos aplicar diretamente a fórmula característica de Euler, já que nossas arestas se cruzam muitas vezes, 𝑛 escolher quatro vezes para ser exato.

No entanto, se considerarmos cada ponto de interseção como sendo um vértice, ou seja, nossas linhas originais devem ser cortadas nesses pontos, e se incluirmos também os segmentos do círculo que conectam nossos 𝑛 pontos externos como novas arestas, teríamos um gráfico perfeitamente adequado para a fórmula de Euler.

Em particular, o número de regiões nesta figura é o número de arestas em nosso novo gráfico menos o número de vértices mais dois.

Como nosso novo gráfico retém os 𝑛 vértices originais e adiciona outros 𝑛 escolher quatro para os pontos de interseção, substituiremos o termo menos 𝑉 por menos 𝑛 menos 𝑛 escolher quatro.

Para encontrar o número de arestas, observe que os pontos de interseção podem ser vistos como adicionando duas arestas cada, pois cada uma pega duas linhas existentes e depois as divide em quatro partes menores. Por exemplo, três linhas que se cruzam em dois pontos seriam cortadas em três mais duas vezes dois igual a sete partes menores. Quatro linhas que se cruzam em três pontos seriam cortadas em quatro mais duas vezes três iguais a dez partes menores.

E no nosso diagrama circular, 𝑛 escolher duas linhas que se interceptam em 𝑛 escolher quatro pontos são cortadas em 𝑛 escolher dois mais duas vezes 𝑛 escolher quatro partes menores mais outro 𝑛 para os segmentos do círculo que agora consideramos ser arestas.

Voltando à nossa fórmula, podemos substituir 𝐸 por 𝑛 escolher dois mais duas vezes 𝑛 escolher quatro mais 𝑛. Agrupando termos semelhantes, vemos que o nosso gráfico corta o plano 2D em dois mais 𝑛 escolher dois mais 𝑛 escolher quatro partes. Como estamos preocupados em contar as regiões dentro do círculo, podemos desconsiderar essa região externa e escrever nossa resposta final como um mais 𝑛 escolher dois mais 𝑛 escolher quatro.

Ótimo! Nós encontramos a resposta. Mas por que na terra essa fórmula se relaciona com potências de dois para 𝑛 menor que seis, e então novamente quando 𝑛 é 10? Não é apenas uma coincidência; tem a ver com o triângulo de Pascal. O triângulo de Pascal é construído assim: cada termo é a soma dos dois termos acima dele. Se você somar cada linha, você obtém uma potência sucessiva de dois. Para se convencer disso, observe que cada termo é adicionado à linha seguinte duas vezes, portanto, a soma de cada linha deve ser o dobro da soma da linha anterior.

A função 𝑛 escolher 𝑘 está intimamente relacionada com este triângulo, em que a entrada 𝑘-ésima da 𝑛-ésima linha, onde a contagem começa em zero, é sempre 𝑛 escolher 𝑘. Por exemplo, para encontrar cinco escolher três no triângulo, conte a partir de zero, uma, duas, três, quatro, quinta linha; então vá em zero, um, dois, três. E, de fato, cinco escolher três é igual a 10. Isso significa que a resposta ao nosso problema do círculo para ponto 𝑛 é a soma das entradas zero, segunda e quarta da 𝑛-ésima linha do triângulo de Pascal.

Por exemplo, se 𝑛 for igual a cinco, podemos ver que basta adicionar um, 10 e cinco. Como cada termo é a soma dos dois acima, isso é o mesmo que adicionar a quarta linha inteira, o que sabemos que é uma potência de dois. Da mesma forma, para valores menores de 𝑛, a resposta será a soma da 𝑛 menos a primeira linha e, portanto, uma potência de dois.

No entanto, quando 𝑛 é igual a seis e vamos relacionar os termos com a quinta linha, observe que não estamos adicionando a linha inteira desde que perdemos o último termo. Então nós só temos 31. Quando 𝑛 é igual a 10, estamos somando precisamente a metade da nona linha. Então a resposta é metade de dois elevado a nove, que é dois elevado a oito.

Então, para recapitular, primeiro transforme nosso diagrama em um gráfico adequado para a fórmula característica de Euler, adicionando todos os pontos de interseção como vértices e cortando todas as arestas. Em seguida, conte o número de linhas e pontos de interseção relacionando-os aos pares e quádruplos de nossos pontos de partida. E, finalmente, use a fórmula de Euler para deduzir o número de seções e relacionar isso com potências de dois usando o triângulo de Pascal.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.