Video: Equações Lineares Numa Variável

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Neste vídeo, veremos equações lineares numa variável. Agora, primeiro, certifica-te de que entendemos o que significam as diferentes partes deste título. Então, antes de mais, uma variável, isto significa apenas que as equações que examinaremos envolverão apenas uma letra desconhecida; portanto, podem envolver 𝑥 ou 𝑦 ou 𝑎, mas haverá apenas uma letra envolvida em cada das equações que virmos.

A palavra linear significa que o expoente desta variável, qualquer que seja, nunca será maior que um, portanto as nossas equações podem envolver, por exemplo, a letra 𝑥 e podem envolver termos constantes, como mais três, mas não envolvem termos como 𝑥 ao quadrado ou 𝑥 ao cubo ou qualquer coisa que seja mais do que um simples 𝑥.

Então, aqui estão alguns exemplos do tipo de equações que podemos observar. Todas envolvem apenas uma letra, seja 𝑎, 𝑚, 𝑥 ou 𝑦, e o expoente mais alto desta letra é sempre apenas um.

Agora, examinaremos os diferentes tipos de equações lineares que podes encontrar, e há três tipos diferentes que examinaremos.

O primeiro tipo que veremos são as equações que têm uma única solução. E o que isso significa é que, qualquer que seja a variável na equação, suponha que seja 𝑥, existe apenas um único valor de 𝑥 que satisfaz essa equação específica.

Então, veremos o que queremos dizer com isto no contexto de um exemplo. Portanto, a equação que vamos analisar é a seguinte: cinco 𝑥 mais três igual a dezoito.

Agora, olhando para esta equação, podes determinar o valor de 𝑥 diretamente, mas vamos pensar numa maneira formal de resolver esta equação. Queremos calcular o valor de 𝑥 que funciona nesta equação. Portanto, a primeira coisa que precisamos de fazer é examinar este termo mais três. E para eliminar este termo mais três, eu teria que fazer o oposto, que é subtrair três. Então, eu teria que fazer isso nos dois membros desta equação. Então, nos dois membros da equação, eu precisaria de subtrair três. E se o fizesse na próxima linha do meu trabalho, bem, se eu subtrair três, então tenho apenas cinco 𝑥 no primeiro membro, e no segundo membro, se subtrair três dos dezoito, só tenho quinze.

No próximo passo, tenho cinco 𝑥 e só quero um 𝑥, então precisarei de dividir os dois membros desta equação por cinco. E assim, se eu dividir cinco 𝑥 por cinco, obtenho 𝑥. E se eu dividir o outro membro por cinco, quinze dividido por cinco, ficarei com três.

Então, o que tenho aqui é que tenho uma solução única. Diz-me que o valor de 𝑥 deve ser igual a três, e três é o único valor de 𝑥 que funcionará nesta equação. Se eu voltar ao topo e tentar substituir por qualquer outro valor de 𝑥, não funcionará. Não obterei dezoito quando multiplico por cinco e adiciono três. Portanto, este é o primeiro tipo de equação, aquelas que têm uma única solução em se tem apenas um único valor de 𝑥, ou qualquer letra que possa ser, realmente funciona na equação. E estas são todas as equações que podem ser reduzidas a um tipo específico; podem ser reduzidas a algo da forma 𝑥 igual a 𝑎, onde 𝑎 é apenas uma constante, um número, portanto, no nosso caso 𝑥 é igual a três.

O segundo tipo de equação linear é aquele que possui infinitas soluções, o que significa que, de facto, qualquer valor da variável funcionará, não importa o que escolheres; qualquer valor único que escolheres funcionará dentro da equação. Então, novamente, vamos ver isso no contexto de um exemplo.

Então, aqui tenho uma equação e estou a sugerir que, na verdade, tem infinitas soluções. Portanto, para ver o primeiro passo, é bom desembaraçar os parêntesis no segundo membro da equação.

Portanto, se eu avançar e fizer isso, tenho quatro 𝑥 mais sete igual a quatro 𝑥 mais oito menos um. Agora, no próximo passo, posso simplificar um pouco o segundo membro. E tenho mais oito menos um, então isso simplificará para mais sete.

Então, eu fiquei com isto: quatro 𝑥 mais sete igual a quatro 𝑥 mais sete. Agora, esta é uma afirmação sempre verdadeira, não importa qual o valor de 𝑥 necessário, seja três ou menos dois ou algo mais complicado, 𝜋. Isto será sempre verdadeiro para qualquer valor de 𝑥; quatro 𝑥 mais sete será sempre igual a quatro 𝑥 mais sete porque são a mesma expressão.

Se eu quiser dar um passo adiante, posso subtrair quatro 𝑥 de ambos os membros. E se fizer isso, fico com sete igual a sete, o que, é claro, é verdade.

Portanto, este tipo de equação, com infinitas soluções, é o tipo de equação em que pode ser reduzido ao que descrevemos como 𝑎 igual a 𝑎; portanto, algum número, alguma constante, é igual a si mesmo. E no nosso caso, sete é igual a sete. E se poderes reduzir uma equação a uma afirmação como esta, sabes que tem infinitas soluções.

O terceiro e último tipo é uma equação que não tem solução e, novamente, veremos isso no contexto de um exemplo. Então, tenho a equação dois 𝑥 mais três igual a dois multiplicado por 𝑥 menos um. Agora, novamente, o primeiro passo aqui pode ser desembaraçar o parêntesis no segundo membro.

E se eu fizer isso, tenho dois 𝑥 mais três igual a dois 𝑥 menos dois. Agora podes ver imediatamente que isto não funciona, isto não faz sentido, porque se eu tenho um valor de 𝑥 e fizer o dobro e adicionar três, como posso obter o mesmo resultado que se fizer o dobro e subtrair dois? Mas se eu quiser ver isto um pouco mais claramente, posso subtrair dois 𝑥 em cada membro desta equação.

E se eu fizer isso, ficarei com a afirmação três igual a menos dois. Agora, claramente, esta afirmação não faz sentido. Três não é igual a menos dois e, portanto, esta equação levou a uma contradição. E por este motivo, não há soluções; não há valores de 𝑥 que funcionem na equação original porque levam a esta contradição.

Portanto, este último tipo é o que é conhecido como uma equação em que terminamos com o resultado 𝑎 igual a 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são números diferentes, portanto, no nosso caso, três e menos dois, mas é claro que não pode ser o caso.

Portanto, estes são os três tipos diferentes de equação linear que encontrarás: um que tem uma solução única, um que possui infinitas soluções e outro que não tem solução. E saberás em que situação estará dependendo de qual destas três formas a poderás reduzir. Se podes a reduzir para 𝑥 igual 𝑎, temos uma solução única; se a podes reduzir a 𝑎 igual a 𝑎, temos infinitas soluções; e se a puderes reduzir a 𝑎 igual a 𝑏, uma contradição porque os números são diferentes, não haverá soluções para a equação original.

Então, vamos ver um exemplo.

Vou começar com este: quantas soluções existem para a equação cinco 𝑚 menos três é igual a três 𝑚 mais sete mais dois 𝑚 menos dez? Portanto, precisamos de descobrir em qual das três situações que vimos no último slide estamos neste caso.

Então, vamos ver como podemos simplificar esta equação. Agora, não há muito que eu possa fazer no primeiro membro, então deixarei cinco 𝑚 menos três, mas há coisas que posso fazer no segundo membro. Eu tenho três 𝑚 mais dois 𝑚, então isto dá-me cinco 𝑚 no total e depois tenho sete positivo menos dez, então isso dá-me menos três no geral.

Então, eu peguei na equação e reduzi-a à afirmação cinco 𝑚 menos três igual a cinco 𝑚 menos três. Agora, os dois membros são iguais; portanto, podes concluir, nesta fase, que existem infinitas soluções para esta equação. Mas se continuarmos para que possamos colocá-lo numa das formas finais que discutimos na última página, podemos subtrair cinco 𝑚 de cada membro desta equação. E se o fizer, ficarei com menos três igual a menos três, então o que podemos ver é que estamos naquela situação em que tínhamos infinitas soluções; estamos na situação em que reduzimos a equação para 𝑎 igual a 𝑎. No nosso caso, 𝑎 é menos três.

Portanto, concluímos que existem infinitas soluções para esta equação, o que significa que não importa qual é o valor de 𝑚; qualquer valor de 𝑚 que escolha, se o substituir na equação original, funcionará; será verdadeiro.

Vamos ver um segundo exemplo.

Então, quantas soluções existem para a equação quatro lotes de 𝑦 menos um mais dois lotes de 𝑦 menos três igual a seis 𝑦 mais quatro? Então, queremos simplificar um pouco esta equação, e o primeiro passo será desembaraçar os dois parêntesis no primeiro membro.

Portanto, se eu fizer isto com cuidado, tenho quatro 𝑦 menos quatro mais dois 𝑦 menos seis é igual a seis 𝑦 mais quatro. Agora precisamos de dar um passo adiante, por isso precisamos de simplificar isto juntando os termos semelhantes. Portanto, temos quatro 𝑦 mais dois 𝑦, o que significa que eu tenho seis 𝑦 no total e, em seguida, temos menos quatro menos seis, o que significa que eu tenho menos dez no geral. E o segundo membro da equação permanece como estava, seis 𝑦 mais quatro.

Então agora temos a afirmação seis 𝑦 menos dez é igual a seis 𝑦 mais quatro. Se continuarmos, se subtrairmos seis 𝑦 de ambos os membros desta equação, agora temos a afirmação que menos dez é igual a quatro. E nesta fase aqui, podemos ver bem que isso é uma contradição; menos dez não é igual a quatro e, portanto, o que isto nos diz é que estamos na terceira situação que vimos antes, onde temos dois números que não são iguais um ao outro. E, portanto, a equação não funciona; não é verdadeira.

E o que isso nos diz? Bem, isso diz-nos que estamos nesta situação em que temos 𝑎 igual a 𝑏, e 𝑎 e 𝑏 não são os mesmos e, portanto, não há soluções para esta equação.

Portanto, não existe um valor único 𝑦 de que possamos substituir na equação original e fazê-la funcionar porque temos esta contradição: menos dez igual a quatro.

Agora vamos ver um tipo diferente de questão.

Então, esta questão pede-me para criar uma equação com infinitas soluções, então eu preciso de criar uma.

Agora, isto significa que deves estar neste segundo caso, o que significa que é uma equação que pode ser reduzida a 𝑎 igual a 𝑎, onde 𝑎 é uma constante. Então, vou começar com isto e vou começar por escolher 𝑎 para ser cinco por exemplo, e então vou começar com cinco igual a cinco.

Agora que esta ainda não é uma equação particularmente complicada, quero fazer outras coisas. E o ponto principal é que, enquanto eu fizer a mesma coisa para ambos os membros desta equação, poderei construí-la até uma equação mais complicada que ainda tem infinitas soluções.

Então, a primeira coisa que vou fazer é adicionar quatro 𝑏 aos dois membros da minha equação. Então, agora tenho quatro 𝑏 mais cinco igual a quatro 𝑏 mais cinco. Ainda não é uma equação particularmente complicada, então vou tentar mudar partes desta. No primeiro membro, vou mudar este quatro 𝑏 para três 𝑏 mais 𝑏.

Agora tenho três 𝑏 mais 𝑏 mais cinco é igual a quatro 𝑏 mais cinco. E gostaria de mudar alguma coisa no segundo membro, e vou mudar isto de cinco para quatro mais um.

Então agora tenho a equação três 𝑏 mais 𝑏 mais cinco igual a quatro 𝑏 mais quatro mais um. Ainda é exatamente a mesma equação, mas acabei de alterar partes dela à medida que avancei. Gostaria de fazer talvez mais uma coisa olhando para este termo ou para esta parte aqui, quatro 𝑏 mais quatro, e o que vou fazer é remover um fator comum de quatro destes dois termos, pelo que posso escrevê-los como quatro multiplicado por um parêntesis. E assim, o primeiro membro continua o mesmo.

Mas no segundo membro, vou eliminar este fator comum de quatro. Agora, no parêntesis, terei 𝑏 mais um, de modo que, quando desembaraçar este parêntesis, ainda fico com quatro 𝑏 mais quatro, e ainda preciso disto mais um fora do parêntesis.

Então agora tenho uma equação de aparência muito mais complicada do que a que comecei, mas ainda é exatamente a mesma equação.

Comecei com uma afirmação do que queria terminar, cinco igual a cinco, e depois certifiquei-me de fazer a mesma coisa nos dois membros, então apresentei este quatro 𝑏 extra nos dois membros. Depois, manipulei-os de maneira diferente, mas nunca adicionei ou subtraí nada de um membro que não fizesse no outro. Acabei por escrever numa forma um pouco diferente e deixou-me com uma equação de aparência muito diferente, mas que ainda possui infinitas soluções.

Um exemplo final, vamos criar uma equação com uma solução única. Então, a minha equação é trabalhar apenas para um valor específico da variável, então vou escolher a letra que vou utilizar nesta equação é a letra 𝑝, e eu vou escolher a solução para minha equação que gostaria que fosse menos três. Então, vou começar com 𝑝 igual a menos três.

Agora eu quero construir a minha equação, então, novamente, preciso de ter certeza de que faço exatamente a mesma coisa em ambos os membros desta equação. Então, primeiro que tudo, vou fazer o dobro dos dois membros da minha equação. E se fizer isso, bem, se eu dobrar 𝑝, terei dois 𝑝, e se dobrar menos três, terei menos seis.

Então agora eu tenho a equação dois 𝑝 igual a menos seis. Agora eu gostaria de fazer outra coisa; isto- então eu gostaria de subtrair quatro de ambos os membros da equação. Então, no primeiro membro, terei dois 𝑝 menos quatro, e no segundo membro, bem, se eu tiver menos seis e subtrair quatro, agora terei menos dez.

Em seguida, acho que gostaria de escrever o dois 𝑝 de maneira diferente e gostaria de pensar em cinco 𝑝 menos três 𝑝, então vou só substituir dois 𝑝 por cinco 𝑝 menos três 𝑝. Então agora tenho cinco 𝑝 menos três 𝑝 menos quatro igual a menos dez.

A última coisa, bem, acho que gostaria de ter 𝑝 nos dois membros desta equação. Então, eu gostaria de mover este menos três 𝑝. Eu gostaria de tê-lo neste membro da equação aqui. Portanto, para conseguir isso, preciso de adicionar três 𝑝 a ambos os membros desta equação.

Portanto, se eu adicionar três 𝑝 a ambos os membros, bem no primeiro membro, agora terei cinco 𝑝 menos quatro e, no segundo membro, terei três 𝑝 menos dez.

E vou terminar nesta equação. Então, o que eu fiz, comecei com uma afirmação, comecei com 𝑝 igual a menos três, e depois acabei por construir a partir daí. Fiz a mesma coisa para os dois membros, fazendo o dobro, subtraindo quatro e adicionando três 𝑝, mas construí uma equação de aparência muito mais complicada do que a que comecei inicialmente. Mas ainda é exatamente a mesma equação. E se eu fosse começar aqui e resolver, acabaria com a mesma solução: 𝑝 igual a menos três.

Portanto, tens um resumo dos três tipos diferentes de equações lineares que podes encontrar, como determinar qual o tipo de equação que possuis e como podes trabalhar para trás para criar uma equação que possui uma solução única, infinitas soluções, ou nenhuma solução.