Vídeo: A Regra da Cadeia

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as derivadas de funções compostas usando a regra da cadeia.

15:25

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a derivar funções compostas aplicando a regra da cadeia. Vamos ver como aplicar isso às funções simples inicialmente. E, em seguida, consideraremos funções mais complexas, como funções trigonométricas e trigonométricas inversas.

Em primeiro lugar, um lembrete sobre o que são funções compostas. Elas são essencialmente funções de uma função. Suponha que temos duas funções, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais cinco e 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo. As funções compostas 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 são o que obtemos se compusermos essas duas funções em qualquer ordem. Nós aplicamos em uma, e depois aplicamos na outra.

𝑓 de 𝑔 de 𝑥 significa que aplicamos 𝑔 primeiro, dando 𝑥 ao cubo. E então, tomamos isso como nossa entrada para a função 𝑓, que dará dois 𝑥 ao cubo mais cinco. 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, no entanto, é a função composta que obteríamos se aplicássemos 𝑓 primeiro para dar dois 𝑥 mais cinco e depois tomaríamos isso como nossa entrada para a função 𝑔, o que daria dois 𝑥 mais cinco tudo ao cubo. E se nós distribuímos os parênteses e simplificamos, isso dá oito 𝑥 ao cubo mais 60 𝑥 ao quadrado mais 150𝑥 mais 125.

Então, sabemos como compor funções. Mas e encontrar suas derivadas? Bem, neste caso, se você for solicitado a encontrar as derivadas de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 ou 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, não seria muito ruim. Porque podemos compor as funções primeiro, manipulá-las algebricamente e depois derivar o polinômio resultante.

Mas suponha, em vez disso, que a potência de 𝑥 na função 𝑔 de 𝑥 tenha sido 10 ou 20 em vez de apenas três, seria extremamente demorado e entediante distribuir todos esses parênteses para gerar um polinômio. Então, seria muito mais útil termos uma regra que nos permitisse derivar uma função composta. E, de fato, existe uma. É chamada de regra da cadeia.

Vamos ilustrar a regra da cadeia encontrando primeiro a derivada da função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Então, definimos as funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 como sendo dois 𝑥 mais cinco e 𝑥 ao cubo, respectivamente. E vimos que a função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 era dois 𝑥 mais cinco tudo ao cubo, o que simplifica para oito 𝑥 ao cubo mais 60 𝑥 ao quadrado mais 150𝑥 mais 125. Agora, vamos considerar encontrar a derivada dessa função.

Para fazer isso, precisamos nos lembrar da regra de potência, que nos diz que a derivada em relação a 𝑥 de 𝑎, que é uma constante, multiplicada por 𝑥 à potência de 𝑛 é 𝑎𝑛𝑥 elevado a 𝑛 menos um. E lembramos também que, para encontrar a derivada de uma soma ou diferença, podemos apenas derivar cada termo separadamente e depois adicioná-los.

Então, derivando 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 então dá a derivada de 𝑔 ​​de 𝑓 de 𝑥 linha, que é 24𝑥 ao quadrado mais 120𝑥 mais 150. Lembre-se, a derivada de uma constante é apenas zero. Então, quando nós derivamos esse termo de mais 125, ele dá zero. Agora vamos ver se podemos manipular essa derivada para ver se podemos identificar qualquer relação com as derivadas de 𝑓 e 𝑔 individualmente.

Primeiro vamos tirar um fator comum de seis para dar seis multiplicado por quatro 𝑥 ao quadrado mais 20𝑥 mais 25. Podemos então notar que quatro 𝑥 ao quadrado mais 20𝑥 mais 25 são na verdade um quadrado perfeito. É igual a dois 𝑥 mais cinco tudo ao quadrado. E como dois 𝑥 mais cinco é nossa expressão para 𝑓 de 𝑥, isso é realmente igual a 𝑓 de 𝑥 ao quadrado. Mas e quanto ao seis? Bem, seis é igual a duas vezes três. Então, podemos escrever essa derivada inteira como duas vezes três vezes 𝑓 de 𝑥 tudo ao quadrado. Mas como isso ajuda?

Bem, para ver isso, precisamos encontrar as derivadas de 𝑓 e 𝑔. Aplicando a regra de potência, vemos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a dois e 𝑔 linha de 𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado. Então, dois em nossa derivada da função composta é o mesmo que 𝑓 linha de 𝑥. Agora, três vezes 𝑓 de 𝑥 tudo ao quadrado é, na verdade, a derivada de 𝑔 calculada em 𝑓 de 𝑥. 𝑔 linha de 𝑥 é três 𝑥 ao quadrado. Então, 𝑔 linha de 𝑓 de 𝑥 é três 𝑓 de 𝑥 ao quadrado.

Então, o que encontramos? Bem, para este exemplo, descobrimos que a derivada de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 é igual à derivada de 𝑓, que é a derivada da função interna, multiplicada pela derivada de 𝑔, que é a função externa, com a função interna ainda dentro. Agora esta é uma ilustração da regra da cadeia. Não é uma prova, mas está além do escopo do que vamos ver neste vídeo.

Então, a regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 linha de 𝑥 multiplicada por 𝑔 linha de 𝑓 de 𝑥. Também podemos expressar a regra da cadeia usando a notação de Leibniz. Se 𝑦 é igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, e nós deixamos 𝑢 igual 𝑓 de 𝑥 de modo que 𝑦 se torne 𝑔 de 𝑢, uma função de 𝑢, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 multiplicado por d𝑢 por d𝑥.

Isso pode parecer um pouco complicado, mas na verdade é um processo relativamente simples, como veremos em nossos exemplos. A notação de Leibniz é realmente útil porque torna a regra da cadeia um pouco mais intuitiva. Lembre-se que encontrar derivadas é tudo sobre pequenas variações em 𝑥. Então, vamos permitir que Δ𝑢 represente uma pequena variação em 𝑢 como resultado de uma pequena variação em 𝑥.

Para encontrar a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 d𝑦 por d𝑥, consideramos a diferença do quociente de Δ𝑦 por Δ𝑥. Vemos que, multiplicando o numerador e o denominador por Δ𝑢, que deve ser diferente de zero, e depois reordenando os termos, obtemos Δ𝑦 sobre Δ𝑢 multiplicado por Δ𝑢 por Δ𝑥. Como Δ𝑥 tende a zero, também Δ𝑢 e Δ𝑦, dando d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 multiplicado por d𝑢 por d𝑥. Essa é a regra da cadeia. A regra da cadeia nos permite derivar uma ampla classe de funções complexas. Vamos ver alguns exemplos.

Encontre a primeira derivada da função 𝑦 igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos seis elevado a seis.

Agora vemos que este é um exemplo de uma função composta. Se considerarmos que a primeira função é cinco 𝑥 ao quadrado menos seis e a segunda sendo 𝑥 elevado a seis. Nós tomamos cinco 𝑥 ao quadrado menos seis como entrada para a nossa segunda função, dando cinco 𝑥 ao quadrado menos seis, tudo elevado a seis. Como esta é uma função composta, podemos aplicar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que se 𝑦 é uma função de 𝑢 e 𝑢 é uma função de 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 multiplicado por d𝑢 por d𝑥. Então, precisamos decidir como vamos definir a função 𝑢. Bem, nós tomamos 𝑢 como nossa primeira função. É a parte dentro dos parênteses, 𝑢 é igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos seis. 𝑦, portanto, se torna uma função de 𝑢. 𝑦 é igual a 𝑢 elevado a seis e 𝑢 é uma função de 𝑥.

Precisamos encontrar ambos d𝑦 por d𝑢 e d𝑢 por d𝑥, o que podemos fazer aplicando a regra de potência. No caso de d𝑦 por d𝑢, só precisamos pensar em todos os 𝑥 na regra de potência como sendo 𝑢s. Temos então que d𝑦 por d𝑢 é igual a seis 𝑢 elevado a cinco, e d𝑢 por d𝑥 é igual a 10𝑥. Escrevemos a regra da cadeia e fazemos as substituições relevantes, dando d𝑦 por d𝑥 igual a seis 𝑢 elevado a cinco multiplicado por 10𝑥.

Agora aqui está um ponto realmente importante. Essa derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 deve estar em termos de 𝑥 e, no momento, ainda temos a variável 𝑢 envolvida. Então, devemos nos certificar de reverter nossa substituição. 𝑢 é igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos seis, então temos seis multiplicado por cinco 𝑥 ao quadrado menos seis elevado a cinco multiplicado por 10𝑥. Simplificando então, temos que a primeira derivada da função 𝑦 é igual a cinco 𝑥 ao quadrado menos seis elevado a seis é 60𝑥 multiplicado por cinco 𝑥 ao quadrado menos seis elevado a cinco.

Agora, isso ilustra uma aplicação realmente poderosa da regra da cadeia, na verdade, uma regra geral para encontrar a derivada de um parêntese elevado a um expoente. Se expressarmos a derivada como 10𝑥 multiplicada por seis multiplicada por cinco 𝑥 ao quadrado menos seis elevado a cinco, então veremos que o que temos é a derivada do parêntese, ou a derivada do que está dentro do parêntese, que é 10𝑥, multiplicada pela potência original, seis, multiplicado por esse parêntese com o expoente reduzido em um do que era originalmente.

Isso nos dá a extensão da regra da cadeia para a regra de potência. Isso nos diz que se temos uma função 𝑓 de 𝑥 elevada a um expoente, então a derivada é igual a 𝑓 linha de 𝑥, que é a derivada do que está dentro dos parênteses, multiplicada por 𝑛 e então multiplicada por 𝑓 de 𝑥 com o expoente reduzido por um, 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Isso é particularmente útil se tivermos realmente expoentes altos. Então, vamos ver como podemos aplicar essa regra a outro exemplo.

Determine a derivada de 𝑦 é igual a menos dois 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro elevado a 55.

Agora é onde realmente vemos a importância da regra da cadeia. Quando temos um expoente tão alto quanto 55, certamente não queremos distribuir todos os parênteses. Em vez disso, vamos usar a regra da cadeia estendida a regra de potência, que nos diz que a derivada de 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 é 𝑓 linha de 𝑥 multiplicado por 𝑛 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um.

Então, 𝑓 de 𝑥 será aquela função dentro dos parênteses, menos dois 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro. Podemos aplicar a regra de potência para derivar 𝑓 de 𝑥, dando menos quatro 𝑥 menos três. Agora podemos trabalhar d𝑦 por d𝑥. É igual a 𝑓 linha de 𝑥, que é menos quatro 𝑥 menos três, multiplicado por 𝑛, que é 55, multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um, que é menos dois 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro elevado a 54.

Não há necessidade de expandir os parênteses. Então, descobrimos que d𝑦 por d𝑥 é igual a 55 multiplicado por menos quatro 𝑥 menos três multiplicado por menos dois 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais quatro elevado a 54. E fizemos isso aplicando a extensão da regra de cadeia à regra de potência. Também podemos aplicar a regra da cadeia mais de uma vez dentro do mesmo problema. Então, vamos considerar um exemplo disso.

Encontre a primeira derivada da função 𝑦 igual à raiz quadrada de oito 𝑥 menos o sen de nove 𝑥 à potência de oito.

Aqui temos 𝑦 é igual à raiz quadrada de outra função, então temos uma função composta. Portanto, vamos aplicar a regra da cadeia. Vamos definir 𝑢 para ser a função sob a raiz quadrada, então 𝑢 é igual a oito 𝑥 menos sen de nove 𝑥 à potência de oito. Então, 𝑦 é igual à raiz quadrada de 𝑢, que podemos expressar usando a notação de índice como 𝑢 elevado a um meio.

A regra da cadeia nos diz que d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 multiplicado por d𝑢 por d𝑥. Então, precisamos encontrar cada uma dessas derivadas. d𝑦 por d𝑢 é relativamente simples. Usando a regra de potência, obtemos um meio 𝑢 elevado a menos um meio. Para d𝑢 por d𝑥, a derivada de oito 𝑥 é apenas oito. Mas e a derivada do sen de nove 𝑥 elevado a oito?

Nós realmente precisamos aplicar a regra da cadeia novamente. Podemos deixar 𝑔 igual a essa função. E podemos mudar um pouco a notação para escrevê-la como sen de nove 𝑥 elevado a oito. É uma notação equivalente, mas pode deixar um pouco mais claro como vamos encontrar a derivada.

Lembramos a extensão da regra da cadeia à regra de potência, que nos dizia que se tivéssemos uma função 𝑓 de 𝑥 elevada a um expoente 𝑛, então sua derivada era 𝑓 linha de 𝑥 multiplicado por 𝑛 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Aqui, temos uma função, sen de nove 𝑥 elevado a um expoente oito, para que possamos aplicar a extensão da regra da cadeia à regra de potência. Precisamos recordar mais uma regra que é que a derivada em relação a 𝑥 de sen de 𝑎𝑥 que é 𝑎 cos 𝑎𝑥.

Então começamos. A derivada da parte dentro dos parênteses é nove cos nove 𝑥. Então, multiplicamos pelo expoente oito. E então, temos a função dentro dos parênteses escrita novamente, mas com o expoente reduzido em um. Simplificando dá 72 cos nove 𝑥 sen elevado a sete nove 𝑥. Então, agora que encontramos d𝑦 por d𝑢 e d𝑢 por d𝑥, podemos substituir na regra da cadeia.

Temos então que d𝑦 por d𝑥 é igual a um meio 𝑢 elevado a menos um meio multiplicado por oito menos 72 cos nove 𝑥 sen nove 𝑥 à potência de sete. Devemos também lembrar de substituir 𝑢 em termos de 𝑥. Então, 𝑢 é igual a oito 𝑥 menos sen de nove 𝑥 elevado a oito. Nós também simplificaremos as frações. Dividindo pelo denominador de dois deixa coeficientes de quatro e 36 no numerador.

E lembramos também que 𝑢 elevado a menos um meio é igual a um sobre a raiz de 𝑢. Assim, nossa derivada d𝑦 por d𝑥 simplifica para quatro menos 36 cos nove 𝑥 sen nove 𝑥 elevado a sete tudo sobre a raiz quadrada de oito 𝑥 menos sen nove 𝑥 elevado a oito. Então, nessa questão, vimos que podemos aplicar a regra da cadeia mais de uma vez dentro do mesmo problema. Na verdade, podemos aplicá-la quantas vezes forem necessárias.

Vamos nos lembrar então de alguns dos principais pontos que vimos neste vídeo. A regra da cadeia é útil para derivar funções compostas, que são funções de outras funções. Se 𝑦 é igual à função composta em 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a 𝑓 linha de 𝑥, que é a derivada da função interna, multiplicada por 𝑔 linha de 𝑓 de 𝑥. Essa é a derivada da função externa com a função interna ainda dentro.

Também vimos que, se fizermos a substituição 𝑢 igual a 𝑓 de 𝑥, então 𝑦 se tornará uma função de 𝑢. E a regra da cadeia pode ser expressa como d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 multiplicado por d𝑢 por d𝑥. Encontramos a derivada de 𝑦 em relação a 𝑢 e multiplicamos pela derivada de 𝑢 em relação a 𝑥. Devemos nos certificar de que desfazemos nossa substituição no final, de modo que d𝑦 por d𝑥 seja apenas em termos de 𝑥.

Também vimos a extensão da regra da cadeia à regra de potência, que nos diz que a derivada de uma função 𝑓 de 𝑥 à potência de 𝑛 é 𝑓 linha de 𝑥 multiplicado por 𝑛 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Finalmente, vimos que podemos aplicar a regra da cadeia quantas vezes quisermos dentro de um problema específico. A regra da cadeia é uma ferramenta realmente poderosa. E isso abre uma classe muito ampla de funções que podemos derivar.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.