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Neste vídeo, aprenderemos como realizar operações sobre vetores em três dimensões, como adição, subtração e multiplicação escalar. Começaremos por relembrar algumas propriedades principais dos vetores em 3D. Sabemos que um vetor no espaço 3D tem norma e direção. Se considerarmos o plano de coordenadas tridimensional como se mostra, os vetores unitários na direção de O𝑥, O𝑦 e O𝑧 são denotados por 𝐢, 𝐣 e 𝐤, respetivamente. Qualquer vetor pode, portanto, ser escrito na forma 𝑥𝐢 mais 𝑦𝐣 mais 𝑧 ou 𝑧𝐤. Os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 serão o número de unidades percorridas nessas direções. Se o ponto 𝐴 tiver coordenadas em 𝑥, em 𝑦, em 𝑧, o vetor 𝐀 será igual a 𝑥𝐢 mais 𝑦𝐣 mais 𝑧𝐤. Isto também pode ser escrito na forma de componente, como se mostra.
Vamos agora considerar como podemos adicionar e subtrair vetores em três dimensões. Se considerarmos dois vetores 𝐀 e 𝐁 com coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois, respetivamente, podemos adicionar e subtrair os dois vetores considerando as suas coordenadas correspondentes. O vetor 𝐀 mais o vetor 𝐁 terá coordenadas 𝑥 um mais 𝑥 dois, 𝑦 um mais 𝑦 dois e 𝑧 um mais 𝑧 dois. Da mesma forma, 𝐀 menos 𝐁 terá coordenadas 𝑥 um menos 𝑥 dois, 𝑦 um menos 𝑦 dois e 𝑧 um menos 𝑧 dois. Este método permite-nos adicionar ou subtrair dois ou mais vetores. Vamos agora ver alguns exemplos.
Se o vetor 𝐀 for igual a menos cinco 𝐢 menos oito 𝐣 mais seis 𝐤 e o vetor 𝐁 for igual a quatro 𝐢 menos três 𝐣 mais 13𝐤, determine o vetor 𝐀 menos o vetor 𝐁.
Recordamos que se o vetor 𝐀 é igual a 𝑥 um 𝐢 mais 𝑦 um 𝐣 mais 𝑧 um 𝐤 e o vetor 𝐁 é igual a 𝑥 dois 𝐢 mais 𝑦 dois 𝐣 mais 𝑧 dois 𝐤, então o vetor 𝐀 menos vetor 𝐁 é igual a 𝑥 um menos 𝑥 dois 𝐢 mais 𝑦 um menos 𝑦 dois 𝐣 mais 𝑧 um menos 𝑧 dois 𝐤. Nesta questão, precisamos de subtrair quatro 𝐢 menos três 𝐣 mais 13𝐤 de menos cinco 𝐢 menos oito 𝐣 mais seis 𝐤. Subtrair quatro 𝐢 menos três 𝐣 mais 13𝐤 é o mesmo que menos quatro 𝐢 mais três 𝐣 menos 13𝐤. Podemos então reunir os termos semelhantes. Menos cinco 𝐢 menos quatro é igual a menos nove 𝐢. Menos oito 𝐣 mais três 𝐣 é igual a menos cinco 𝐣. Finalmente, seis 𝐤 menos 13𝐤 é igual a menos sete 𝐤.
O vetor 𝐀 menos o vetor 𝐁 é igual a menos nove 𝐢 menos cinco 𝐣 menos sete 𝐤.
Vamos agora examinar um problema de adição.
Dado que os dois vetores 𝐀 igual a menos dois, menos três, zero e 𝐁 igual a menos três, três, menos dois, determine o vetor 𝐀 mais o vetor 𝐁.
Para adicionar quaisquer dois vetores em três dimensões, adicionamos simplesmente as suas coordenadas correspondentes. Isto significa que se o vetor 𝐀 tem coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um e o vetor 𝐁 tem coordenadas 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois, então o vetor 𝐀 mais o vetor 𝐁 terá coordenadas 𝑥 um mais 𝑥 dois, 𝑦 um mais 𝑦 dois e 𝑧 um mais 𝑧 dois. Nesta questão, adicionamos as coordenadas em 𝑥 menos dois e menos três. Adicionamos as coordenadas em𝑦 menos três e mais três. Finalmente, adicionamos 𝑧 ou as coordenadas em 𝑧 zero e menos dois. Menos dois mais menos três é o mesmo que menos dois menos três. Isto é igual a menos cinco. Menos três mais três é igual a zero. Finalmente, zero mais menos dois é o mesmo que zero menos dois, o que é igual a menos dois.
Se o vetor 𝐀 for igual a menos dois, menos três, zero e o vetor 𝐁 for igual a menos três, três, menos dois, o vetor 𝐀 mais o vetor 𝐁 será igual a menos cinco, zero, menos dois.
Vamos agora ver o que acontece quando multiplicamos um vetor por um escalar. Quando multiplicamos qualquer vetor por um escalar, multiplicamos cada uma das coordenadas do vetor pelo escalar. Isto significa que se o vetor 𝐀 tem coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, multiplicar isto pelo escalar ou constante 𝑘 dá-nos um vetor com coordenadas 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 e 𝑘𝑧. Vamos agora examinar uma questão que envolve multiplicação escalar.
Qual é o vetor que resulta da ampliação do vetor 𝐀 igual a menos seis, menos três, menos um por um fator de menos seis?
Quando multiplicamos qualquer vetor por um escalar, multiplicamos simplesmente cada uma das coordenadas do vetor pelo escalar. Nesta questão, queremos multiplicar o vetor menos seis, menos três, menos um pelo escalar ou constante menos seis. Lembramos que ao multiplicar dois números negativos, obtemos uma resposta positiva. Isto significa que menos seis multiplicado por menos seis é mais 36. Menos seis multiplicado por menos três é igual a 18. E menos seis multiplicado por menos um é igual a seis. Se o vetor 𝐀 é igual a menos seis, menos um, multiplicar isto pelo escalar menos seis dá-nos o vetor 36, 18, seis.
A nossa próxima questão envolve multiplicar por um escalar e subtrair dois vetores.
Se o vetor 𝐀 for igual a menos oito, nove, nove e o vetor 𝐁 for igual a menos seis, quatro, nove, determine dois quintos do vetor 𝐀 menos quatro quintos do vetor 𝐁.
Começaremos esta questão calculando dois quintos do vetor 𝐀. Ao multiplicar qualquer vetor por um escalar ou constante, multiplicamos simplesmente cada uma das coordenadas por este escalar. Nesta questão, precisamos de multiplicar as coordenadas menos oito, nove e nove por dois quintos. Menos oito multiplicado por dois quintos é igual a menos dezasseis quintos. Nove multiplicado por dois quintos é igual a dezoito quintos. Isto significa que dois quintos do vetor 𝐀 tem coordenadas menos dezasseis quintos, dezoito quintos e dezoito quintos. Podemos repetir este processo para calcular quatro quintos do vetor 𝐁. Precisamos de multiplicar o vetor menos seis, quatro, nove por quatro quintos. Isto dá-nos o vetor com coordenadas menos vinte e quatro quintos, dezasseis quintos e trinta e seis quintos.
O nosso próximo passo é subtrair quatro quintos do vetor 𝐁 de dois quintos do vetor 𝐀. Ao subtrair dois vetores, subtraímos simplesmente as suas coordenadas correspondentes. Começamos por subtrair menos vinte e quatro quintos de menos dezasseis quintos. Menos 16 menos menos 24 é igual a mais oito. Portanto, a coordenada em 𝑥 é oito quintos. Subtrair dezasseis quintos de dezoito quintos dá-nos dois quintos. A coordenada em 𝑦 do nosso vetor é de dois quintos. Finalmente, precisamos de subtrair trinta e seis quintos de dezoito quintos. Como 18 menos 36 é menos 18, 𝑧 ou a coordenada em 𝑧 é menos dezoito quintos. Dois quintos do vetor 𝐀 menos quatro quintos do vetor 𝐁 é igual a oito quintos, dois quintos, menos dezoito quintos.
Embora não seja necessário nesta questão, poderíamos fatorizar um quinto, dando-nos o escalar de um quinto multiplicado pelo vetor oito, dois, menos 18.
Na nossa próxima questão, determinaremos o vetor em falta na expressão vetorial.
Se o vetor 𝐀 é igual a menos um, um, um e o vetor 𝐁 é igual a um, um, menos dois, determine o vetor 𝐂 para o qual dois 𝐂 mais cinco 𝐀 é igual a cinco 𝐁.
Existem muitas maneiras de abordar este problema. Uma maneira será começar por reorganizar a nossa equação para isolar o vetor 𝐂. Podemos fazer isto primeiro subtraindo cinco 𝐀 de ambos os membros. Isto dá-nos dois 𝐂 igual a cinco 𝐁 menos cinco 𝐀. Podemos então dividir ambos os membros desta equação por dois, de modo que o vetor 𝐂 seja igual a cinco 𝐁 menos cinco 𝐀 dividido por dois. O segundo membro pode ser reescrito como um meio de cinco 𝐁 menos cinco 𝐀.
Agora podemos calcular cinco multiplicado pelo vetor 𝐁 e cinco multiplicado pelo vetor 𝐀. Ao multiplicar qualquer vetor por um escalar, multiplicamos simplesmente cada uma das coordenadas individuais por este escalar. Para calcular cinco 𝐁, multiplicamos o vetor um, um, menos dois por cinco. Isto dá-nos o vetor cinco, cinco, menos 10. Da mesma forma, cinco multiplicado pelo vetor 𝐀 é igual a cinco multiplicado pelo vetor menos um, um, um. Isto é igual a menos cinco, cinco, cinco.
Agora podemos subtrair estes dois vetores. E fazemos isto subtraindo as coordenadas correspondentes. Cinco menos menos cinco é igual a 10. Cinco menos cinco é igual a zero. E menos 10 menos cinco é igual a menos 15. Cinco 𝐁 menos cinco 𝐀 é igual a 10, zero, menos 15. Sabemos que o vetor 𝐂 é igual a um meio disto. É igual a um meio do vetor 10, zero, menos 15. Um meio de 10 é igual a cinco, um meio de zero é zero e um meio de menos 15 é menos 15 sobre dois ou menos quinze meios. O vetor 𝐂 para o qual dois 𝐂 mais cinco 𝐀 é igual a cinco 𝐁 é cinco, zero, menos 15 sobre dois.
Na nossa questão final, também consideraremos a norma dos vetores em três dimensões.
𝐕 e 𝐖 são dois vetores, onde vetor 𝐕 é igual a menos um, cinco, menos dois e vetor 𝐖 é igual a três, um, um. Comparando o módulo do vetor 𝐕 menos vetor 𝐖 e o módulo do vetor 𝐕 menos o módulo do vetor 𝐖, que quantidade é maior?
Lembramos que a norma de qualquer vetor 𝐀 com coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 é igual à raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑧 ao quadrado. Determinamos a soma dos quadrados das coordenadas individuais e, em seguida, fazemos a raiz quadrada da resposta. Isto significa que a norma do vetor 𝐕 é igual à raiz quadrada de menos um ao quadrado mais cinco ao quadrado mais menos dois ao quadrado. Isto é igual à raiz quadrada de um mais 25 mais quatro. A norma do vetor 𝐕 é igual à raiz quadrada de 30. Podemos repetir este processo para o vetor 𝐖. Isto é igual à raiz quadrada de três ao quadrado mais um ao quadrado mais um ao quadrado, o que simplifica para a raiz quadrada de nove mais um mais um, que é a raiz quadrada de 11. A norma do vetor 𝐖 é a raiz quadrada de 11.
Antes de calcular um valor numérico para a norma do vetor 𝐕 menos a norma do vetor 𝐖, primeiro calcularemos o vetor 𝐕 menos o vetor 𝐖. Sabemos que para subtrair dois vetores, subtraímos as coordenadas correspondentes. Menos um menos três é igual a menos quatro. Cinco menos um é igual a mais quatro. E menos dois menos um é igual a menos três. O vetor 𝐕 menos o vetor 𝐖 é igual a menos quatro, quatro, menos três. A norma disto é igual à raiz quadrada de menos quatro ao quadrado mais quatro ao quadrado mais menos três ao quadrado. Isto simplifica para a raiz quadrada de 16 mais 16 mais nove. A norma do vetor 𝐕 menos vetor 𝐖 é, portanto, igual à raiz quadrada de 41.
Agora precisamos de calcular os valores decimais da norma do vetor 𝐕 menos o vetor 𝐖 e da norma do vetor 𝐕 menos a norma do vetor 𝐖. A raiz quadrada de 41 é igual a 6.4031 e assim por diante. A raiz quadrada de 30 menos a raiz quadrada de 11 é igual a 2.1606 e assim por diante. Isto significa que a raiz quadrada de 41 é maior do que a raiz quadrada de 30 menos a raiz quadrada de 11. Podemos, portanto, concluir que a noma do vetor 𝐕 menos vetor 𝐖 é maior do que o módulo do vetor 𝐕 menos a norma do vetor 𝐖. A quantidade maior é a norma o do vetor 𝐕 menos vetor 𝐖.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos neste vídeo que para adicionar ou subtrair vetores em três dimensões, adicionamos ou subtraímos simplesmente as coordenadas correspondentes. Se o vetor 𝐀 tem coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um e o vetor 𝐁 tem coordenadas 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois, então para calcular o vetor 𝐀 mais o vetor 𝐁, adicionamos as coordenadas e para calcular o vetor 𝐀 menos vetor 𝐁, subtraia as coordenadas correspondentes. Também vimos que, para multiplicar um vetor por um escalar, multiplicamos cada coordenadas do vetor pelo escalar. Se o vetor 𝐀 tiver coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, multiplicar isto pelo escalar 𝑘 dar-nos-á o vetor com as coordenadas 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 e 𝑘𝑧.
