Vídeo: Calcular Limites Utilizando Técnicas Algébricas

Calcular Limites Utilizando Técnicas Algébricas

17:47

Transcrição do vídeo

Calcular limites utilizando técnicas algébricas.

Neste vídeo, aprenderemos como utilizar técnicas como a fatorização para calcular o limite de uma função. Primeiro, vamos relembrar a definição de um limite, que é, para uma função 𝑓 de 𝑥, que está definida próximo do valor em que 𝑥 é igual a 𝑎, quando 𝑥 tende para 𝑎, 𝑓 de 𝑥 tende para 𝐿. Chamamos este valor de limite. E aqui, escrevemos a notação habitual para a descrição de um limite.

Agora, se 𝑓 de 𝑥 é uma função racional com 𝑎 no seu domínio, podemos simplesmente dizer que o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, é igual a 𝑓 de 𝑎. Como estamos a inserir o valor de 𝑎 na nossa função, este método é frequentemente descrito como substituição direta. Um ponto importante a ser observado aqui é que, mesmo que 𝑎 não esteja no domínio da nossa função 𝑓, ainda podemos determinar o limite quando 𝑥 tende para 𝑎. Isso acontece porque o limite diz respeito aos valores quando 𝑥 tende para 𝑎 mas não é igual a 𝑎. E veremos como isto entra em jogo daqui a pouco.

Neste vídeo, focaremos em funções que assumem a forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, onde 𝑃 e 𝑄 são funções polinomiais. Nos casos que veremos, onde 𝑥 é igual a 𝑎, 𝑃 de 𝑎 sobre 𝑄 de 𝑎 será calculado como uma indeterminação da forma zero sobre zero. Ou seja, se tentarmos calcular o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 da nossa função 𝑓 de 𝑥 por substituição direta 𝑥 igual a 𝑎 na função, a nossa substituição falhará e precisaremos de adotar outra abordagem.

Observando o nosso quociente, podemos ver que ambos 𝑃 de 𝑎 e 𝑄 de 𝑎 são iguais a zero. Recordando a fatorização de polinómios, podemos inferir que ambos 𝑃 de 𝑥 e 𝑄 de 𝑥 terão um fator comum de 𝑥 menos 𝑎. Dada essa informação, podemos reescrever a função 𝑃 maiúsculo de 𝑥 como um produto de 𝑥 menos 𝑎 vezes uma outra função, que chamaremos de 𝑝 minúsculo de 𝑥. E, é claro, a mesma lógica pode ser seguida para 𝑄 maiúsculo de 𝑥.

Isso permite reescrever o nosso quociente original como 𝑥 menos 𝑎 vezes 𝑝 minúsculo de 𝑥 dividido por 𝑥 menos 𝑎 vezes 𝑞 minúsculo de 𝑥. Nesta forma, vemos que o fator comum 𝑥 menos 𝑎 pode ser anulado das partes superior e inferior do nosso quociente. E então ficamos com 𝑝 minúsculo de 𝑥 sobre 𝑞 minúsculo de 𝑥. Vamos definir esse novo quociente como 𝑔 de 𝑥.

Agora, uma pergunta razoável a ser feita é: por que é que estamos a dar esta nova definição quando 𝑓 de 𝑥 é claramente igual a 𝑔 de 𝑥. De facto, a resposta é que, ao anular o fator comum de 𝑥 menos 𝑎, alteramos o domínio da nossa função 𝑓 de 𝑥. Portanto, temos que 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥, mas não no ponto em que 𝑥 é igual a 𝑎. A sutileza aqui é que 𝑔 de 𝑥 está definido quando 𝑥 é igual a 𝑎, enquanto que 𝑓 de 𝑥 não está.

Isso é ótimo, pois permite prosseguir para a regra geral a seguir. O limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 se 𝑓 e 𝑔 são iguais em todos os pontos num intervalo, exceto no ponto em que 𝑥 é igual a 𝑎. Novamente, é bom entender que isso funciona porque o limite diz respeito a valores de 𝑥 que estão próximos de 𝑎, mas não iguais a 𝑎. Finalmente, como 𝑔 é uma função racional com 𝑎 no seu domínio, podemos simplesmente determinar o limite por substituição direta, que é 𝑔 calculada onde 𝑥 é igual a 𝑎. Ok, são muitas informações, vamos ver um exemplo para ilustrar este conceito.

Determine o limite quando 𝑥 tende para menos oito de 𝑥 ao quadrado mais 13𝑥 mais 40 dividido por 𝑥 ao cubo mais nove 𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 menos 160.

Aqui, vemos que estamos a tentar determinar o limite de uma função racional, que chamaremos de 𝑓 de 𝑥. Para este tipo de função, se menos oito estiver no domínio 𝑓, então o limite, quando 𝑥 tende para menos oito, é simplesmente 𝑓 calculada em menos oito. A primeira coisa que podemos fazer é tentar substituir diretamente menos oito na nossa função.

Aqui, realizamos a substituição. E, continuando o nosso trabalho, descobrimos que a nossa resposta é calculada em zero sobre zero. E esta é uma indeterminação, o que significa que não podemos calcular o limite utilizando substituição direta. Também podemos concluir que menos oito não está no domínio da nossa função 𝑓. Aqui, precisamos de utilizar uma abordagem diferente. E podemos fazê-lo primeiro reconhecendo que a nossa função 𝑓 de 𝑥 está na forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, onde ambos 𝑃 e 𝑄 são funções polinomiais.

Observando a falha na substituição direta que acabámos de tentar, podemos ver que ambos 𝑃 de menos oito e 𝑄 de menos oito são iguais a zero. A partir destas informações, podemos utilizar a factorização de polinómios para concluir que 𝑥 mais oito é um fator de 𝑃 de 𝑥 e 𝑄 de 𝑥. Como a substituição direta falhou, vamos tentar fatorizar as partes superior e inferior do quociente, considerando que ambos têm um fator comum de 𝑥 mais oito.

Para o numerador, fatorizar uma equação do segundo grau deve ser uma habilidade familiar para nós. E com alguma inspeção, vemos que 𝑥 ao quadrado mais 13𝑥 mais 40 fatoriza para 𝑥 mais oito e 𝑥 mais cinco. Agora, para o denominador, normalmente, fatorizar uma cúbica é uma tarefa muito mais difícil. No entanto, dado que já sabemos que um dos fatores é 𝑥 mais oito, podemos utilizar técnicas como a divisão polinomial ou comparar coeficientes para determinar o outro fator.

Para este vídeo, vamos comparar coeficientes. E começamos reconhecendo que o nosso outro fator assumirá a forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐. Para determinar 𝑎, notamos que temos um 𝑥 multiplicado por um 𝑎𝑥 ao quadrado. E isso é igual a 𝑥 ao cubo. Segue-se, portanto, que 𝑎 é igual a um. E assim vemos que o nosso segundo fator começa com o termo 𝑥 ao quadrado.

Em seguida, para determinar 𝑐, notamos que temos oito multiplicado por 𝑐 igual a menos 160. E podemos calcular que 𝑐 é igual a menos 20. Finalmente, para determinar 𝑏, escolheremos olhar para o termo nove 𝑥 ao quadrado. Seguindo os coeficientes anteriores que temos, notamos que primeiro temos um oito multiplicado por um 𝑥 ao quadrado. Isso dá-nos oito 𝑥 ao quadrado. Também temos um 𝑥 multiplicado por 𝑏𝑥 e isso dá-nos 𝑏𝑥 ao quadrado. A soma desses dois termos é nove 𝑥 ao quadrado. E a seguir, segue que 𝑏 é igual a um.

O denominador do nosso quociente agora está totalmente fatorizado. E o nosso fator ausente foi 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos 20. Após esta fatorização, podemos anular o fator comum de 𝑥 mais oito das partes superior e inferior do quociente. E assim ficamos com 𝑥 mais cinco sobre 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 menos 20.

Agora, aqui, devemos lembrar que, ao anular o fator comum de 𝑥 mais oito, alteramos o domínio da nossa função original 𝑓 de 𝑥. Podemos dizer que 𝑓 de 𝑥 é igual ao primeiro membro da nossa equação, que chamaremos de 𝑔 de 𝑥, em todos os valores em que 𝑥 não é igual a menos oito. Segue-se agora que o limite, como 𝑥 tende para menos oito de 𝑓 de 𝑥, é igual ao limite quando 𝑥 tende para menos 𝑥 de 𝑔 de 𝑥. Fundamentalmente, isso acontece porque o limite diz respeito a valores em que 𝑥 é próximo a menos oito, mas não é igual a menos oito.

Um ponto importante é que 𝑔 de 𝑥 está definida quando 𝑥 é igual a menos oito. E assim, podemos, portanto, determinar o limite por substituição direta. Aqui, realizamos a substituição de 𝑔 de menos oito. E se prosseguirmos com os nossos cálculos, veremos que isso é calculado como menos três sobre 36. Esta fração pode ser simplificada para menos um sobre 12. Agora, respondemos à questão. E determinámos o nosso limite.

Este exemplo ilustra que, quando as nossas funções 𝑃 de 𝑥 e 𝑄 de 𝑥 são calculadas como zero, podemos utilizar a factorização de polinómios para nos ajudar com fatorizações potencialmente complicadas, como cúbicas. Vamos agora examinar outra técnica que pode nos ajudar a evitar fatorizações potencialmente complicadas primeiro concentrando-se em expressões da forma 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 ou na diferença de duas potências de 𝑛.

Como inserir 𝑥 igual a 𝑎 nesta equação sempre dará zero, a nossa amiga, a factorização de polinómios, novamente, diz-nos que todas as expressões dessa forma serão calculadas como zero. E, portanto, todas terão um fator de 𝑥 menos 𝑎. Utilizando esta regra geral, vemos que o nosso segundo fator assumirá a forma de um polinómio com termos que possuem potências decrescentes de 𝑥 e potências crescentes de 𝑎 até potências de 𝑛 menos um. Alguns exemplos disso foram apresentados em baixo.

Esta regra geral pode ser utilizada para deduzir uma fórmula muito útil da seguinte maneira. Considere o caso de uma diferença de duas potências de 𝑛, 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛, dividido pela diferença de duas potências de 𝑚, 𝑥 elevado a 𝑚 menos 𝑎 para 𝑚. Podemos utilizar a nossa regra geral para expressar as partes superior e inferior do quociente como um produto de dois fatores. Nos dois casos, um desses fatores é 𝑥 menos 𝑎.

Podemos anular esse fator comum de 𝑥 menos 𝑎 nas partes superior e inferior do quociente. Ao anular o nosso fator comum, devemos lembrar que os dois membros das nossas equações são iguais desde que o valor de 𝑥 não seja igual a 𝑎. Como o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, refere-se a valores de 𝑥 próximo de 𝑎, mas não igual a 𝑎, podemos dizer que o limite do primeiro membro é igual ao limite do segundo membro.

Considerando o numerador do quociente por um momento, agora utilizamos o seguinte truque de substituição direta, onde 𝑥 assume o valor de 𝑎. Com essa substituição, ficamos com a sequência de 𝑛 termos, dos quais todos os termos são iguais a 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. E isso é simplesmente igual a 𝑛 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos um. Embora estivéssemos a utilizar o numerador como exemplo, a mesma lógica segue para o denominador do nosso quociente e nos dá 𝑚 vezes 𝑎 elevado a 𝑚 menos um.

Em seguida, procedemos com algumas simplificações das potências de 𝑎. Descobrimos então que o nosso limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, é igual a 𝑛 sobre 𝑚 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚. Este é um resultado realmente útil para equações dessa forma, pois mesmo quando as potências 𝑛 ou 𝑚 são grandes, podemos evitar fatorizações longas ao considerar o limite. Vamos agora ver como esta técnica pode ser utilizada num exemplo.

Determine o limite quando 𝑥 tende para dois de oito 𝑥 ao cubo menos 64 dividido por 𝑥 ao quadrado menos quatro.

Aqui, temos uma função, que chamaremos de 𝑓 de 𝑥. Dado que essa é uma função racional, a primeira coisa que podemos tentar é uma substituição direta de 𝑥 igual a dois na nossa função. Aqui, realizamos a substituição. E quando calculamos a nossa resposta, descobrimos que nos resta a indeterminação de zero sobre zero. Em vez disso, precisaremos de seguir para um método diferente com base na fatorização.

Para este método, notamos primeiro que a nossa função 𝑓 de 𝑥 está na forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, onde ambos 𝑃 e 𝑄 são funções polinomiais. Ao inspecionar o numerador do quociente, percebemos que ambos os termos têm um fator de oito. Podemos, portanto, fatorizar nosso numerador como oito vezes 𝑥 ao cubo menos oito. E, como este oito é constante, podemos tirá-lo do nosso limite da seguinte forma. Se, em vez disto, determinamos o limite quando 𝑥 tende para dois de 𝑥 ao cubo menos oito dividido por 𝑥 ao quadrado menos quatro e multiplicar esta coisa toda pela nossa constante oito, isso dar-nos-á a mesma resposta.

Para prosseguir, podemos observar que o oito no nosso numerador e o quatro no nosso denominador podem ser escritos como potências de dois, que é dois ao cubo e dois ao quadrado, respetivamente. Depois de fazer isso, vemos que o nosso limite agora assume a seguinte forma. Aqui, diremos que a parte superior do nosso quociente é igual à diferença de duas potências de 𝑛, com 𝑛 sendo três, e a parte inferior do nosso quociente é igual à diferença de duas potências de 𝑚, com 𝑚 sendo dois.

Dada esta forma, podemos utilizar a regra geral a seguir, que nos diz que o limite será igual a 𝑛 sobre 𝑚 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚. Nesta altura, pode perceber que as partes superior e inferior do quociente terão um fator comum de 𝑥 menos dois. Em vez disso, poderíamos anular este fator comum e prosseguir com a fatorização. No entanto, esta regra geral permite-nos avançar diretamente para o nosso limite.

Nos casos em que 𝑛 ou 𝑚 são grandes, isso ajuda-nos a evitar uma fatoração demorada. Introduzindo os nossos valores na nossa regra geral, onde 𝑎 é dois, 𝑛 é três e 𝑚 também é dois, descobrimos que o nosso limite é de três sobre dois multiplicado por dois elevado a três menos dois. Também não devemos esquecer de multiplicar esta coisa inteira pelo oito que colocámos fora do nosso limite.

Três menos dois é, é claro, apenas um. E assim, podemos simplificar isto anulando o dois e o outro sobre dois. Concluímos, então, que a nossa resposta é igual a oito vezes três, o que é 24. Descobrimos agora que o limite, quando 𝑥 tende para dois da nossa função 𝑓 de 𝑥, é igual a 24. E respondemos à nossa questão.

A regra geral que utilizámos neste vídeo fornece-nos um atalho útil que pode ser utilizado quando a nossa função 𝑓 de 𝑥 pode ser escrita desta forma. Novamente, embora para a nossa questão as potências envolvidas sejam relativamente baixas, quando 𝑛 e 𝑚 forem suficientemente grandes, poderá economizar muito mais tempo. Um ponto interessante a ser observado é que algumas das técnicas que mostrámos neste vídeo também podem ser utilizadas para calcular os limites de funções que incluem radicais. Especificamente, onde 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, onde 𝑃 ou 𝑄 incluem um termo radical, como a raiz quadrada de 𝑥.

Embora estas não sejam classificadas como funções racionais, algumas das nossas ferramentas ainda funcionarão. Um exemplo será se tomarmos o limite quando 𝑥 tende para oito da raiz cúbica de 𝑥 menos dois dividido por 𝑥 menos oito. Se tentássemos uma abordagem de substituição direta, ficaríamos novamente com a indeterminação de zero sobre zero.

Contudo, se em vez disso, fatorizássemos, retirando especificamente um fator da raiz cúbica de 𝑥 menos dois do nosso denominador, poderíamos então proceder de uma maneira familiar. Ao anular o fator comum nas partes superior e inferior do quociente e, em seguida, substituir diretamente 𝑥 igual a oito na expressão restante para finalmente determinar uma resposta de um sobre 12. Embora aqui mostremos um exemplo em que as nossas técnicas atuais de trabalho, em alguns casos, precisaremos de um método diferente com base na multiplicação por um conjugado. Esta técnica pode ser ilustrada utilizando um exemplo.

Determine o limite quando 𝑥 tende para oito de 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 dividido pela raiz quadrada de 𝑥 mais um menos três.

Aqui, vemos que estamos a assumir o limite de uma função 𝑓 de 𝑥, que assume a forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Quando tentamos uma abordagem de substituição direta para resolver isto, a nossa expressão é calculada na indeterminação zero sobre zero. E, em vez disso, precisaremos de utilizar uma abordagem diferente. A primeira coisa que podemos notar é que o nosso numerador pode ser fatorizado como 𝑥 vezes 𝑥 menos oito. Dado o nosso conhecimento da fatorização de polinómios, podemos até esperar este fator de 𝑥 menos oito, dado que a função 𝑃 calculada em que 𝑥 igual a oito nos deu um zero.

Infelizmente, o denominador do quociente é menos simples de calcular. Mas podemos entender como avançar, vendo-o como um binómio na forma 𝑎 menos 𝑏, onde 𝑎 é igual à raiz quadrada de 𝑥 menos um e 𝑏 é igual a três. O conjugado de qualquer binómio é determinado invertendo o símbolo entre os dois termos. O conjugado do nosso binómio será então 𝑎 mais 𝑏. E, neste caso, essa é a raiz quadrada de 𝑥 mais um mais três.

Agora, multiplicar um binómio pelo seu conjugado é uma ferramenta útil porque nos deixa com a diferença de dois quadrados. Dado que o nosso denominador contém uma raiz quadrada, podemos utilizar essa relação para calcular a nossa função. Agora, multiplicar pelo conjugado sobre si mesmo é o mesmo que multiplicar por um. No entanto, a parte inferior do quociente simplifica para uma diferença de dois quadrados.

E com algum trabalho, vemos que o nosso denominador se torna 𝑥 menos oito. Depois disso, podemos anular o fator comum de 𝑥 menos oito na parte superior e inferior do quociente. E no segundo membro da nossa equação, ficamos com 𝑥 multiplicado pela raiz quadrada de 𝑥 mais um mais três.

Agora, como a nossa função original 𝑓 de 𝑥 é igual ao segundo membro da equação em todos os pontos em que 𝑥 não é igual a oito, podemos dizer o limite, quando 𝑥 tende para oito da nossa função original 𝑓 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende para oito da nossa nova função, que chamaremos 𝑔 de 𝑥. Isso acontece porque o limite diz respeito a valores de 𝑥 que são arbitrariamente próximos de oito, mas não iguais a oito.

Nesta forma, podemos realizar uma substituição direta de 𝑥 igual a oito na nossa função 𝑔 para determinar o limite. Executando a substituição e depois calculando a nossa resposta nos deixa com um valor de 48. E este é, de fato, o limite que estávamos à procura de encontrar.

Agora, vale a pena recapitular aqui que, originalmente, não conseguimos determinar o nosso limite utilizando a substituição direta, porque ficamos com a indeterminação de zero sobre zero. Em vez disso, após fatorizar e utilizar o nosso método conjugado para anular um fator comum, a substituição direta foi possível. Portanto, devemos procurar utilizar esse método para questões desta forma quando observamos um radical no nosso quociente.

Vamos agora recapitular alguns pontos-chave para resumir. Ao considerar o limite de uma função racional 𝑓 de 𝑥, que é escrita como 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, e calcular por substituição direta, podemos ficar com a indeterminação de zero sobre zero. Nesses casos, se a função 𝑓 de 𝑥 for quase igual a 𝑔 de 𝑥. Ou seja, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑥 em todos os valores de 𝑥 além de onde 𝑥 é igual a 𝑎. Então, o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑔 de 𝑥.

Assumindo que 𝑎 está no domínio da nossa nova função 𝑔, ou seja, 𝑔 de 𝑥 é definido onde 𝑥 é igual a 𝑎, podemos determinar a nosso limite por substituição direta, ou seja, assumindo o valor de 𝑔 de 𝑎. Podemos determinar esta função 𝑔 de 𝑥 através de vários métodos, como fatorização ou multiplicação por um conjugado do numerador ou denominador.

Os métodos que mostramos neste vídeo envolvem o anulamento de um fator comum de 𝑥 menos 𝑎 das partes superior e inferior do quociente. Como assumir o limite envolve valores de 𝑎 que são próximos, mas não iguais a 𝑎, não importa que, ao anular o fator comum, alteremos o domínio da nossa função original 𝑓 de 𝑥. Finalmente, quando a nossa função assume certas formas, existem alguns atalhos úteis que podemos utilizar para determinar o limite diretamente, evitando potencialmente algumas fatorizações longas.

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