Vídeo: Produtos Internos e Dualidade

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Produtos Internos e Dualidade

14:11

Transcrição do vídeo

Tradicionalmente, os produtos internos são introduzidos muito cedo num curso de álgebra linear, geralmente logo no início. Então, pode parecer estranho que eu os tenha empurrado até aqui na série. Eu fiz isso porque existe uma maneira padronizada de introduzir o tópico que requer nada mais do que uma compreensão básica dos vetores. Mas uma compreensão mais completa do papel que os produtos internos desempenham na matemática só pode realmente ser encontrada à luz de transformações lineares. Antes disso, deixe-me abordar brevemente a forma padronizada como os produtos são introduzidos, o que pressuponho ser, pelo menos, uma revisão parcial para vários espectadores.

Numericamente, se tiver dois vetores da mesma dimensão, duas listas de números com o mesmo comprimento, fazer o seu produto interno significa emparelhar todas as coordenadas, multiplicando esses pares e adicionando os resultados. Assim, o vetor um, dois interno com três, quatro será um vezes três mais dois vezes quatro. O vetor seis, dois, oito, três interno um, oito, cinco, três será seis vezes um mais dois vezes oito mais oito vezes cinco mais três vezes três.

Felizmente, este cálculo tem uma interpretação geométrica muito boa. Para pensar no produto interno entre dois vetores 𝐕 e 𝐖, imagine projetar 𝐖 na reta que passa pela origem e pela ponta de 𝐕. Multiplicando o comprimento desta projeção pelo comprimento de 𝐕, tem o produto interno 𝐕 interno 𝐖. Exceto quando esta projeção de 𝐖 estiver a apontar no sentido oposto a 𝐕, este produto interno seria na verdade negativo.

Então, quando dois vetores estão geralmente a apontar no mesmo sentido, o seu produto interno é positivo. Quando são perpendiculares, ou seja, a projeção de um sobre o outro é o vetor nulo, o produto interno é zero. E se estiverem a apontar em sentidos opostos, o produto ponto é negativo.

Agora, esta interpretação é estranhamente assimétrica; trata os dois vetores de maneira muito diferente. Quando eu aprendi isto, fiquei surpreendido por a ordem não importar. Poderia, em vez disto, projetar 𝐕 em 𝐖; multiplicar o comprimento do projetado 𝐕 pelo comprimento de 𝐖 e obtinha o mesmo resultado. Quer dizer, não parece um processo realmente diferente? Aqui está a intuição de porque é que a ordem não importa: se 𝐕 e 𝐖 tivessem o mesmo comprimento, poderíamos aproveitar alguma simetria, já que projetar 𝐖 em 𝐕 e multiplicar o comprimento dessa projeção pelo comprimento de 𝐕 é uma imagem espelhada completa de projetar 𝐕 em 𝐖 e, em seguida, multiplicar o comprimento dessa projeção pelo comprimento de 𝐖.

Agora, se multiplicar um deles, digamos 𝐕 por alguma constante, por exemplo dois, para que não tenham o mesmo comprimento, a simetria é quebrada. Mas vamos pensar em como interpretar o produto interno entre este novo vetor dois vezes 𝐕 e 𝐖. Se pensar em 𝐖 a ser projetado em 𝐕, então o produto interno dois 𝐕 interno 𝐖 será exatamente o dobro do produto interno 𝐕 interno 𝐖. Isto acontece porque, quando mutiplica 𝐕 por dois, não altera o comprimento da projeção de 𝐖, mas duplica o comprimento do vetor no qual está a projetar.

Mas, por outro lado, digamos que esteja a pensar em projetar 𝐕 em 𝐖. Bem, neste caso, o comprimento da projeção é a coisa a ser multiplicada quando multiplicamos 𝐕 por dois. O comprimento do vetor que está projetado permanece constante. Portanto, o efeito genérico ainda é apenas duplicar o produto interno. Portanto, mesmo que a simetria seja quebrada neste caso, o efeito que esta multiplicação tem sobre o valor do produto interno é o mesmo em ambas as interpretações.

Há também uma outra grande questão que me confundiu quando aprendi estas coisas pela primeira vez. Por que diabos este processo numérico de combinar coordenadas, multiplicar pares e adicioná-los tem algo a ver com projeção? Bem, para dar uma resposta satisfatória e também para fazer justiça à significância do produto interno, precisamos de descobrir algo um pouco mais profundo a acontecer aqui, que muitas vezes se dá pelo nome “dualidade”. Mas antes de entrar nisso, eu preciso de passar algum tempo a falar sobre transformações lineares de várias dimensões para uma dimensão, que é apenas a reta numérica. Estas são funções que recebem um vetor 2D e devolvem um número. Mas as transformações lineares são, é claro, muito mais restritas do que uma comum função com um objeto 2D e uma imagem 1D. Assim como as transformações em dimensões superiores, como as que falámos no capítulo 3, existem algumas propriedades formais que tornam estas funções lineares. Mas vou ignorá-las propositadamente aqui para não distrair do nosso objetivo final e, em vez disso, focar numa determinada propriedade visual que seja equivalente a todas as coisas formais.

Se considerar uma reta de pontos uniformemente espaçados e aplicar uma transformação, uma transformação linear manterá estes pontos uniformemente espaçados, quando aterram no espaço de chegada, que é a reta numérica. Caso contrário, se houver algum conjunto de pontos que não fique uniforme, a sua transformação não é linear. Assim como nos casos que vimos anteriormente, uma destas transformações lineares é completamente determinada pelo local onde se tomam 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu. Mas desta vez, cada um destes vetores da base aterra simplesmente num número. Então, quando registamos onde ficam como colunas de uma matriz, cada uma destas colunas tem apenas um único número. Esta é uma matriz um por dois.

Vamos ver um exemplo do que significa aplicar uma destas transformações a um vetor. Digamos que tenha uma transformação linear que leva 𝑖-chapéu para um e 𝑗-chapéu para menos dois. Para ver onde um vetor com coordenadas, digamos, quatro, três, termina, pense em decompor esse vetor em quatro vezes 𝑖-chapéu e três vezes 𝑗-chapéu. Uma consequência da linearidade é que, após a transformação, o vetor será quatro vezes o local onde o 𝑖-chapéu aterra, um, mais três vezes o local onde o 𝑗-chapéu aterra, menos dois, o que neste caso implica que aterre em menos dois. Quando faz este cálculo puramente numérico, é a multiplicação de um vetor por uma matriz.

Agora, esta operação numérica de multiplicar uma matriz um por dois por um vetor parece exatamente considerar o produto interno de dois vetores. Esta matriz um por dois não se parece com um vetor que nós colocamos de lado? De facto, poderíamos dizer agora que há uma boa associação entre matrizes um por dois e vetores 2D, definidos inclinando a representação numérica de um vetor de lado para obter a matriz associada ou inclinando a matriz novamente para obter o vetor associado.

Já que estamos apenas a olhar para expressões numéricas agora, saltitar entre vetores e matrizes um por dois pode parecer uma coisa tola de se fazer. Mas isto sugere algo realmente impressionante da visão geométrica. Existe algum tipo de conexão entre transformações lineares que levam vetores a números e aos próprios vetores.

Deixe-me mostrar um exemplo que esclarece a importância e que, por acaso, também responde ao quebra-cabeça do produto interno anterior. Desaprenda o que aprendeu e imagine que ainda não sabe que o produto interno está relacionado com projeção. O que vou fazer aqui é considerar uma cópia da reta numérica e colocá-la na diagonal e colocar de alguma forma com o número zero na origem. Agora pense no vetor unitário bidimensional, cuja ponta está onde está o número um na linha numérica. Eu quero dar a este sujeito um nome, 𝐮-chapéu. Este sujeito desempenha um papel importante no que está prestes a acontecer, então mantenha-os no fundo da sua mente. Se projetarmos vetores 2D diretamente nesta reta numérica diagonal, na verdade, acabamos por definir uma função que faz corresponder vetores 2D a números. Além disso, esta função é na verdade linear, uma vez que passa o nosso teste visual de que qualquer conjunto de pontos uniformemente espaçados permanece uniformemente espaçado quando aterra na reta numérica.

Só para esclarecer, embora eu tenha incorporado a reta numérica no espaço 2D assim, as imagens da função são números, não vetores 2D. Deve pensar numa função que aceita duas coordenadas e gera uma única coordenada. Mas este vetor 𝐮-chapéu é um vetor bidimensional que vive no espaço dos objetos. Está situado de tal forma que se sobrepõe à incorporação da reta numérica.

Com esta projeção, acabamos por definir uma transformação linear de vetores 2D para números, para que possamos determinar algum tipo de matriz um por dois que descreva essa transformação. Para determinar essa matriz um por dois, ampliemos esta configuração da reta numérica diagonal e pense em onde o 𝑖-chapéu e o 𝑗-chapéu aterram, já que estes pontos de aterragem serão as colunas da matriz.

Essa parte é super interessante; podemos raciocinar através dela com uma ideia de simetria realmente elegante. Uma vez que 𝑖-chapéu e 𝐮-chapéu são ambos vetores unitários, projetar 𝑖-chapéu na reta que passa através de 𝐮-chapéu parece totalmente simétrico a projetar 𝐮-chapéu no eixo O𝑥. Então, quando perguntamos: em que número 𝑖-chapéu aterriza quando é projetado? A resposta será a mesma que onde 𝐮-chapéu aterrar quando é projetado no eixo O𝑥. Mas projetar 𝐮-chapéu no eixo O𝑥 significa apenas tomar a coordenada em 𝑥 de 𝐮-chapéu. Então, por simetria, o número em que 𝑖-chapéu aterra quando é projetado naquela reta numérica diagonal será a coordenada em 𝑥 de 𝐮-chapéu. Não é fantástico?

O raciocínio é quase idêntico para o caso do 𝑗-chapéu. Pense nisto por um momento. Pelas mesmas razões, coordenada em 𝑦 de 𝐮-chapéu dá-nos o número em que 𝑗-chapéu aterra quando é projetado na cópia da reta numérica.

Faça uma pausa e pondere isto por um momento; eu acho fantástico. Assim, as entradas da matriz um por dois que descreve a transformação da projeção serão as coordenadas do 𝐮-chapéu. E calcular esta transformação da projeção para vetores arbitrários no espaço, o que requer a multiplicação desta matriz por estes vetores, é computacionalmente idêntico a considerar um produto interno com 𝐮-chapéu. É por isso que considerar o produto escalar com um vetor unitário pode ser interpretado como projetar um vetor no span do vetor unitário e considerar o comprimento.

Então, e os vetores não unitários? Por exemplo, digamos que tomamos o vetor unitário 𝐮-chapéu, mas aumentamo-lo um fator de três. Numericamente, cada uma das suas coordenadas é multiplicada por três. Assim, olhando para a matriz associada a este vetor, transforma um 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu para três vezes os valores em que aterraram antes. Como tudo isto é linear, isso implica, de modo mais geral, que a nova matriz pode ser interpretada como projetar qualquer vetor na cópia da reta numérica e multiplicar onde ela aterra por três. É por isso que o produto interno com um vetor não unitário pode ser interpretado como primeiro projetar naquele vetor, em seguida ampliando o comprimento dessa projeção pelo comprimento do vetor.

Reserve um momento para pensar sobre o que aconteceu aqui. Tivemos uma transformação linear do espaço 2D para a reta numérica, que não foi definida em termos de vetores numéricos ou produtos internos numéricos; foi definida apenas projetando o espaço numa cópia diagonal da reta numérica. Mas como a transformação é linear, ela foi necessariamente descrita por uma matriz um por dois. E como multiplicar uma matriz um por dois por um vetor 2D é o mesmo que inclinar essa matriz de lado e obter um produto interno, essa transformação estava inevitavelmente relacionada com algum vetor 2D.

A lição aqui é que sempre que tiver uma destas transformações lineares, cujo espaço das imagens é a reta numérica, não importa como esteja definida, haverá um único vetor 𝐕 correspondente a essa transformação, no sentido de que aplicar a transformação é a mesma coisa que considerar um produto interno com esse vetor.

Para mim, isto é absolutamente lindo. É um exemplo de algo em matemática chamado “dualidade”. A dualidade aparece de muitas maneiras e formas diferentes ao longo da matemática e é super difícil de definir. Falando com alguma liberdade, refere-se a situações em que tem uma correspondência natural, mas surpreendente, entre dois tipos de coisas matemáticas. No caso da álgebra linear que acabou de aprender, você diria que o dual de um vetor é a transformação linear que codifica. E o dual de uma transformação linear de um espaço para dimensão um é um dado vetor naquele espaço.

Então, para resumir, à superfície, o produto interno é uma ferramenta geométrica muito útil para entender projeções e testar se os vetores tendem ou não a apontar no mesmo sentido. E isso é provavelmente a coisa mais importante a lembrar-se acerca o produto interno. Mas a um nível mais profundo, fazer o produto interno de dois vetores é uma forma de deslocar um deles para o mundo das transformações. De novo, numericamente, isto pode parecer um ponto desnecessário enfatizar; são apenas dois cálculos que parecem semelhantes. Mas a razão pela qual eu acho isto tão importante, é que ao longo da matemática, quando está a lidar com um vetor, uma vez que realmente conheça a sua personalidade, às vezes percebe que é mais fácil entendê-lo não como uma seta no espaço, mas como forma física de uma transformação linear. É como se o vetor fosse realmente apenas uma abreviação conceptual para uma determinada transformação, já que é mais fácil para nós pensar em setas e espaço em vez de mover todo esse espaço para a reta numérica.

No próximo vídeo, você verá outro exemplo muito interessante desta dualidade em ação enquanto falo sobre o produto externo.

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