Vídeo: Encontrando o Limite de uma Diferença de Potências

Encontre lim_(𝑥 → 0) ((𝑥 − 4)² − 16)/𝑥.

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Transcrição do vídeo

Encontre o limite quando 𝑥 tende a zero de 𝑥 menos quatro ao quadrado menos 16 sobre 𝑥.

A primeira coisa a tentar aqui é a substituição direta: podemos simplesmente substituir zero na expressão? Nós substituímos 𝑥 por zero e obtemos zero menos quatro ao quadrado menos dezesseis sobre zero. Zero menos quatro é menos quatro e menos quatro ao quadrado é 16. Então, simplificando ainda mais, descobrimos que substituindo diretamente o zero na expressão, obtemos a forma indeterminada zero sobre zero.

Nós vamos ter que ser mais inteligentes aqui. Precisamos simplificar essa expressão antes de substituir. A primeira coisa que fazemos é distribuir. 𝑥 menos quatro ao quadrado se torna 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 mais 16. Podemos então cancelar o mais 16 e o ​​menos 16. Então ficamos com apenas 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 no numerador.

Ambos os termos no numerador têm um fator de 𝑥. E assim podemos fatorar o numerador em 𝑥 vezes 𝑥 menos oito. E o fator de 𝑥 no numerador cancela com o 𝑥 no denominador, deixando-nos com apenas 𝑥 menos oito. Como essas duas expressões são iguais, seus limites devem ser iguais. E enquanto vimos que a substituição direta no lado esquerdo deu a forma indeterminada de zero a zero, a substituição direta no lado direito — substituindo 𝑥 igual a zero — dá menos oito. E, portanto, o valor do limite que procuramos é menos oito.

Uma pergunta razoável a ser feita agora é se essas duas expressões devem ser iguais, então por que substituir o zero no lado esquerdo dá uma resposta diferente de substituir o zero ao lado direito? No lado esquerdo, temos a forma indeterminada zero sobre zero e no lado direito, temos menos oito. A resposta é que no nosso último passo da álgebra, onde cancelamos o fator de 𝑥 no numerador com o 𝑥 no denominador, transformamos algo que é indefinido quando 𝑥 é zero em algo que é definido.

As duas expressões são iguais para todos os valores diferentes de zero de 𝑥. Mas para 𝑥 é zero, a expressão do lado esquerdo é indefinida. Como estamos pegando o limite quando 𝑥 tende a zero, não nos importamos com o valor da expressão quando 𝑥 é zero. Nós só nos preocupamos com valores próximos. Os limites então são realmente iguais. E como vimos, na verdade são iguais a menos oito.

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