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Vídeo: Encontrando Ângulos Utilizando a Razão Seno

Aprenda a utilizar o inverso da razão senoi para calcular um ângulo em um triângulo retângulo. Isso inclui o uso do teorema de Pitágoras para calcular primeiro, um comprimento lateral quando os lados dados não são os comprimentos necessários para uso da razão seno.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como usar a razão seno para calcular ângulos em triângulos retângulos.

Primeiro de tudo, vamos lembrar de qual é a razão seno. Eu tenho aqui um diagrama de um triângulo retângulo no qual rotulei um dos ângulos como 𝜃. E depois rotulei os três lados em relação a esse ângulo 𝜃. Então temos o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Agora, a razão seno, lembre-se, é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa deste triângulo. Então, a definição é que, para um ângulo particular 𝜃, o seno de 𝜃 é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa. Agora, essa forma da razão é muito útil se pretendemos calcular os comprimentos do cateto oposto ou da hipotenusa. Mas este vídeo é sobre o cálculo de ângulos. E para fazer isso, precisamos de outra especificação dessa razão. E isso está envolvendo o que nos referimos como a inversa da função seno.

A inversa da função seno funciona basicamente assim. Diz que, se eu sei o valor dessa razão, então eu quero trabalhar para trás para saber qual é o ângulo 𝜃, ao qual essa razão pertence. Então, é representado usando essa notação aqui, seno e, em seguida, o expoente um negativo, o que significa o inverso de seno ou seno inverso. E assim dizemos que 𝜃 é igual ao seno inverso do valor desta razão: cateto oposto dividido pela hipotenusa. Se você olhar na calculadora, verá que, logo acima do botão seno, há, de fato, esse seno inverso também. Mas isso dependeria da sua calculadora. Geralmente é apenas acima do botão, e você tem que pressionar shift para clicar nele. Agora, vamos ver como podemos usar essa razão seno inverso para calcular o tamanho de um ângulo.

Então aqui está a nossa primeira pergunta. Temos um triângulo retângulo no qual temos o comprimento de dois lados. E somos solicitados a calcular o ângulo 𝜃 até o grau mais próximo.

Assim como com qualquer problema de trigonometria, meu primeiro passo é rotular todos os três lados do triângulo em relação a este ângulo 𝜃. Então temos o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Agora, olhando para este triângulo, posso ver que é a razão seno que eu preciso, porque me deram o comprimento do cateto oposto e da hipotenusa. Portanto, é O e H, que é a parte SOH em SOHCAHTOA. Agora, neste vídeo, todos eles estarão envolvendo seno porque, especificamente, trata-se do vídeo sobre a função seno. Mas, em geral, se você não sabe qual das razões usar, é assim que você trabalharia, determinando qual par de lados está envolvido na razão.

Por isso lembramos da definição de seno, que é: seno do ângulo 𝜃 é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa. E agora vou anotar essa razão para esse triângulo específico. Temos seno de 𝜃, que é desconhecido, é igual a nove sobre 16. Então eu sei o valor da razão. E eu quero trabalhar para trás, a fim de encontrar o ângulo ao qual essa razão pertence. Então é por isso que vou usar a inversa da função seno da qual falamos. E isso me diz que esse ângulo 𝜃 é igual ao seno inverso de nove sobre 16. Então eu preciso usar minha calculadora para calcular isso. E lembre-se, você pode precisar usar shift para chegar ao botão inverso do seno. Mas isso dependerá da sua calculadora. E quando eu digitar isso, vou obter um valor de 34.22886 para 𝜃. Agora a questão pede 𝜃 para o grau mais próximo. Então precisamos arredondar a resposta. E isso diz que 𝜃 é igual a 34 graus.

Então, para essa questão, identificamos que era a relação seno de que precisávamos porque tínhamos o cateto oposto e a hipotenusa. Anotamos a razão para essa questão. E usamos a inversa da função seno para calcular o ângulo desconhecido 𝜃.

A segunda pergunta, então, é dado um diagrama de um triângulo retângulo e perguntamos, desta vez, qual é o valor de seno 𝜃. Estamos apenas sendo solicitados a calcular a razão, e não o valor do ângulo.

Primeiro passo, eu vou rotular os três lados em relação a este ângulo 𝜃. E porque a questão quer a relação seno, vamos lembrar sua definição. Então, para responder a essa pergunta, o que precisamos fazer é escrever o valor dessa razão seno, o cateto oposto dividido pela hipotenusa. Mas, olhando para o diagrama, percebo que na verdade não temos o valor do cateto oposto. Temos somente o comprimento dos outros dois lados, o cateto adjacente e a hipotenusa. Mas podemos descobrir o comprimento do cateto oposto. É um triângulo retângulo. E nos deram o comprimento de dois dos lados. Então, precisamos lembrar de um assunto que vem de outra área da matemática. Precisamos lembrar do teorema de Pitágoras.

Agora, o teorema de Pitágoras, você verá muitas vezes escrito como 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Mas a matemática por trás disso, o que ela nos diz, é que, se você tem um triângulo retângulo, se você pegar os dois menores lados, no caso nossos catetos, somá-los ao quadrado, obtém o mesmo resultado que a hipotenusa ao quadrado. Então, o que isso nos permite fazer, é calcular o comprimento do terceiro lado, se eu conheço os outros dois. Então, vamos usar o teorema de Pitágoras para descobrir o comprimento do cateto oposto. Vamos usar uma letra diferente para não gerar confusão com O e zero, então vamos nos referir a ele como 𝑦. Agora escrevemos o teorema de Pitágoras para este triângulo. Então, ele nos dirá que sete ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a 25 ao quadrado. E o que temos é uma equação que conseguimos resolver, para calcular o valor de 𝑦.

O primeiro passo é substituir sete ao quadrado e 25 ao quadrado com seus valores calculados. Então temos que 49 mais 𝑦 ao quadrado é igual a 625. Em seguida, precisamos subtrair 49 de ambos os lados dessa equação. E isso nos diz que 𝑦 ao quadrado é igual a 576. Então, para calcular o valor de 𝑦, preciso encontrar a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Então, temos 𝑦 igual à raiz quadrada de 576. E isso é igual a 24. Portanto, usar o teorema de Pitágoras permitiu-nos calcular o comprimento desse terceiro lado do triângulo, o cateto oposto.

Portanto, temos todas as informações de que precisamos para concluir a pergunta. A pergunta pediu para escrever a razão seno, então é o cateto oposto dividido pela hipotenusa. E olhando para o triângulo, podemos ver que isso será 24 dividido por 25. Podemos deixar a resposta assim de forma fracionária. Ou neste caso, podemos calculá-la como um decimal, que seria 0.96. Então, qualquer um desses dois formatos seria perfeitamente aceitável. Agora, apenas um lembrete, essa pergunta não nos pede para calcular o valor do ângulo. Só nos pediu o valor do seno 𝜃. Então, estamos bem para parar por aqui. Se nos pedissem o valor de 𝜃, teríamos que usar a inversa da função seno neste ponto.

O próximo problema é um problema contextualizado. Diz-nos que uma rampa tem quatro metros de comprimento e 30 centímetros de altura. Para que a rampa seja segura para usuários de cadeiras de rodas, o ângulo de inclinação deve ser inferior a cinco graus. E nos pedem para determinar se a rampa é segura?

Então, não recebemos um diagrama. E se você não tiver um, eu sempre sugiro que você desenhe um diagrama, para começar. Então, vamos ter um diagrama do piso, que é horizontal, o ponto em que essa rampa alcança, que é vertical, e depois a própria rampa. Então aqui está o nosso diagrama dessa rampa. Agora precisamos colocar as informações da pergunta sobre isso. Nos disseram que tem quatro metros de comprimento. Então, essa medida aqui, para o comprimento da rampa, é de quatro metros. E nos disseram que tem 30 centímetros de altura. Agora precisamos ter cuidado porque essas unidades estão diferentes. Então, vamos converter isso em metros. E, portanto, esse comprimento é de 0.3 metros.

Agora nos perguntam sobre o ângulo de inclinação. Então esse é o ângulo entre a rampa e o chão. É esse ângulo aqui. Assim, podemos ver que temos um triângulo retângulo. E, portanto, este é um problema que pode ser resolvido usando trigonometria. Como em todas as perguntas anteriores, vamos começar marcando os três lados do triângulo em relação a esse ângulo 𝜃. E podemos ver então que nos é dado o comprimento do cateto oposto e da hipotenusa. Então, sabemos que é a razão seno que vamos usar. Então, vamos escrever a razão seno usando as informações da pergunta, e isso nos dirá que seno 𝜃 é igual a 0.3 dividido por quatro. Mas queremos calcular o valor de 𝜃, esse ângulo. Então vamos usar a inversa da função seno. Que é 𝜃 igual ao seno inverso dessa razão, de 0,3 sobre quatro, assim como está escrito aqui. Agora, podemos usar uma calculadora para encontrar este ângulo 𝜃, usando o botão inverso do seno. E fazendo isso, o ângulo 𝜃 é igual a 4.301 e assim por diante. Agora a pergunta era: “A rampa é segura?”. E isso nos diz que será segura se o ângulo de inclinação for menor que cinco graus. Então, como nosso valor de 𝜃, 4.3, é menor que cinco, nossa resposta para a pergunta é: Sim, essa rampa é segura.

Portanto, para qualquer problema contextualizado, sugiro sempre desenhar um diagrama primeiro. E a partir disso se torna muito semelhante a outras perguntas que vimos. Você rotula os lados, escreve a razão seno e, em seguida, usa a inversa da função seno para calcular o ângulo que está procurando.

OK. Nossa última questão nos pede para calcular a medida do ângulo 𝐴𝐵𝐶, dando a nossa resposta para o segundo mais próximo. Então, primeiro de tudo, o ângulo 𝐴𝐵𝐶, é o ângulo formado quando nos movemos de 𝐴 para 𝐵 para 𝐶, então é esse ângulo aqui.

Agora a pergunta nos pede a resposta para o segundo mais próximo. Então, teremos que lembrar como converter respostas de graus em graus, minutos e segundos mais tarde. Agora, como esse é um problema envolvendo trigonometria, vamos começar da maneira usual. Vamos rotular os três lados deste triângulo em relação a esse ângulo 𝜃. Então temos seus nomes aqui. E isso confirma que é a razão seno que vamos precisar, então, nesta questão, temos o comprimento do cateto oposto e da hipotenusa. Assim, como em todas as perguntas anteriores, vamos agora escrever a razão seno substituindo as informações que conhecemos. Então, vamos fazer que o seno do ângulo 𝜃 é igual a cinco sobre 18. Mas, queremos calcular esse ângulo 𝜃, então precisamos usar a inversa da função seno. E, portanto, temos que 𝜃 é igual ao seno inverso dessa razão, cinco sobre 18.

Podemos calcular isso usando a calculadora. E isso nos dá que 𝜃 é igual a 16.1276 e assim por diante. Agora, esta resposta está em graus, mas a pergunta nos pediu para dar a resposta para o segundo mais próximo. Portanto, precisamos lembrar como converter uma resposta de graus em graus, minutos e segundos. Então temos 16 graus completos, primeiro de tudo. E então temos esse decimal, 0.12762 e assim por diante que precisa ser convertido em minutos e segundos.

Agora lembre-se, um minuto é um sexagésimo de um grau. Então, para converter isso em quantos minutos completos existem, primeiro preciso multiplicar por 60. Se fizermos isso, então, dará 7.6572 e assim por diante. Isso nos diz que há sete minutos completos. E, também temos esse decimal de 0.65721 sobrando. Finalmente, essa parte precisamos converter em segundos. Temos 0.657 minutos. E um segundo é um sexagésimo de um minuto. Novamente, precisamos multiplicar isso por 60 para calcular quantos segundos representa. Isso nos dá 39.432. Então, temos 39 segundos para o segundo mais próximo. Assim, escrevendo tudo isso junto, temos 16 graus, sete minutos e 39 segundos. E, portanto, essa é a resposta para a medida do ângulo 𝐴𝐵𝐶 para o segundo mais próximo.

Em resumo, nós nos lembramos da definição da razão seno como o cateto oposto dividido pela hipotenusa. Vimos como a inversa da função seno pode ser usada para calcular o valor de um ângulo. E então nós aplicamos para responder a algumas perguntas.