Vídeo: Dividindo Polinômios

Temos que fatorar −35𝑥³ + 7𝑥² − 42𝑥⁴ em dois fatores. Dado que um desses fatores é 𝑥 − 6𝑥², qual é o outro?

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Transcrição do vídeo

Temos que fatorar menos 35𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado menos 42𝑥 elevado a quatro em dois fatores. Dado que um desses fatores é 𝑥 menos seis 𝑥 ao quadrado, qual é o outro?

Nós temos esse polinômio. E nos dizem que ele tem dois fatores, um dos quais é 𝑥 menos seis 𝑥 ao quadrado. E a questão é qual é o outro fator. Bem, podemos configurar isso como um problema de divisão polinomial.

Se dividirmos este polinômio por um dos seus fatores, então o quociente deve ser o outro fator. Mas antes de iniciarmos este longo processo de divisão, precisamos reorganizar os termos tanto do divisor quanto do dividendo. Preferiríamos que os termos em um divisor fossem escritos do grau mais alto para o menor grau.

Então, em vez de escrever 𝑥 menos seis 𝑥 ao quadrado, devemos escrever menos seis 𝑥 ao quadrado mais 𝑥. Isso representa o mesmo polinômio, e agora o termo 𝑥 ao quadrado vem antes do termo 𝑥. E o mesmo é verdade para o dividendo. Nós temos o termo 𝑥 elevado a quatro no final quando deveria estar na frente dos termos 𝑥 ao cubo e 𝑥 ao quadrado.

Agora os termos estão escritos na ordem correta. E assim podemos começar o processo de divisão. Dividimos o termo de maior grau do dividendo, menos 42𝑥 elevado a quatro, pelo maior grau de termo do divisor, menos seis 𝑥 ao quadrado.

Teria sido mais difícil descobrir quais termos precisávamos dividir se os termos do divisor e do dividendo não tivessem sido escritos em ordem. Dividindo, temos sete 𝑥 ao quadrado que faz parte do nosso quociente. E nós escrevemos isso. Agora precisamos subtrair sete 𝑥 ao quadrado vezes o divisor, menos seis 𝑥 ao quadrado mais 𝑥, do dividendo.

Mas antes de fazermos isso, expandimos os parênteses. Então subtraímos menos 42𝑥 elevado a quatro mais sete 𝑥 ao cubo. E subtraindo, obtemos menos 42𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado.

Observe como os termos semelhantes em nosso problema de subtração se alinharam bem. Isso porque tomamos o tempo para ordenar os termos no divisor e no dividendo. Fizemos uma rodada, mas precisamos continuar. Nosso novo dividendo é menos 42𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado.

O maior termo é menos 42𝑥 ao cubo. E dividimos isso pelo termo de maior grau do divisor, menos seis 𝑥 ao quadrado. Realizando esta divisão, obtemos sete 𝑥 que adicionamos ao quociente.

E agora precisamos subtrair sete 𝑥 vezes o nosso divisor. Expandindo, descobrimos que precisamos subtrair menos 42𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado, o que, é claro, nos dá zero.

Agora paramos de dividir e olhamos para o que temos. Temos um resto de zero e um quociente de sete 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥. Portanto, nosso fator misterioso é sete 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥.

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